π^π^π^πは整数か？(2次までの超Taylor編)
はじめに
少し前のことですが、
このような
動画を見ました。
その時に思ったのは、「これ、$\tetIV{x}$の$x=\pi$におけるTaylor展開使えば求まるのでは」ということでした。
実際にこの計算を行おうとすると、$\tetIV{x}$の微分を求めなければなりません。$(\tetIV{x})'=\tetIV{x}(x^{\tetII{x}-1}+\tetIII{x}\log x(x^{x-1}+\tetII{x}\log x(1+\log x)))$(
Wolfram Mathematica
を用いて計算)より、$x=\pi$の時の微分係数が$\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$よりも大きくなるはずなので計算が頓挫したのですが、これは次の考えにつながります。
「では超Taylor展開を使えばいいのでは?」
つい先日Y.K.氏によりそれが見つけられたとのことなので超Taylor、それを使ってひたすらに計算をしていこうと思います。
材料
$a_n$:$\pi$の小数第$n$桁目まで($a_0=3$)
$b_n:=a_n+10^{-n}$
$e_n$:$e$の小数第$n$桁目まで($e_0=2$)
\begin{align}
(\tetIV{x})^`&=\frac{x\cdot\tetIV{x}(x^{\tetII{x}-1}+\tetIII{x}\log x(x^{x-1}+\tetII{x}\log x(1+\log x)))}{\tetIV{x}}\\
&=\tetIII{x}(1+x^x\log x\cdot(1+x\log x\cdot(1+\log x)))
\end{align}
$$
(\tetIV{x})^{``}=\frac{\tetII x(2+\log x\cdot(\tetII x(1+x\log x\cdot(1+\log x))^2+x(4+\log x\cdot(6+x+\log x\cdot(1+2x+x\log x)))))}{1+x^x\log x\cdot(1+x\log x\cdot(1+\log x))}\\$$
2024/12/17追記：超導関数は
Wolfram Mathematica
を用いて計算
手法
$x=a_n$における$k$次の$f(x)=\tetIV x$の超Taylor級数$T_k(x)$を考え、比$\frac{T_k(b_n)}{T_k(a_n)}$が$1+10^{\lfloor-\log_{10}T_k(a_n)\rfloor}$よりも小さくなるような最大の$n$を考える。
$n$が現在計算されている$\pi$の桁数よりも小さいなら、現時点で計算は可能となるため、計算する最大限の努力をする。
計算
まず、$f(x)$の1次の超Taylor級数を計算する。
\begin{align}
T_1(x)&=f(a_n)\l(\frac x{a_n}\r)^{f^`(a_n)}\\
&=\tetIV{a_n}\l(\frac x{a_n}\r)^{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}
\end{align}超Taylor
よって比$\frac{T_1(b_n)}{T_1(a_n)}$は、
\begin{align}
\frac{T_1(b_n)}{T_1(a_n)}&=\frac{\tetIV{a_n}\l(\frac {b_n}{a_n}\r)^{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}}{\tetIV{a_n}\l(\frac {a_n}{a_n}\r)^{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}}\\
&=\l(\frac {b_n}{a_n}\r)^{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}\\
&=\l(1+\frac{10^{-n}}{a_n}\r)^{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}\\
&>1+\frac{10^{-n}}{{a_n}}\cdot{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}
\end{align}
と表される。
そのため、
\begin{align}
&\phantom{\Rightarrow}\frac{T_1(b_n)}{T_1(a_n)}<1+10^{\lfloor-\log_{10}T_1(a_n)\rfloor}\\
&\Rightarrow1+\frac{10^{-n}}{{a_n}}\cdot{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}<1+10^{-\log_{10}T_1(a_n)}\\
&\Leftrightarrow\frac{10^{-n}}{{a_n}}\cdot{\tetIII{a_n}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}<\frac1{T_1(a_n)}\\
&\Leftrightarrow{\tetIV{a_n}\cdot a_n^{\tetII{a_n}-1}(1+{a_n}^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))}<10^n
\end{align}
以上より、$n$は、$\tetIV{a_m}<10^m$を満たす最小の$m$より大きく、現在計算されている円周率の桁数よりも大きくなってしまうため、現状では計算できない。
同様に2次の超Taylor級数でも計算する。
\begin{align}
T_2(x)&=f(a_n)e^{\frac{f^`(a_n)}{f^{``}(a_n)}\l(\l(\frac x{a_n}\r)^{f^{``}(a_n)}-1\r)}\\
&=\tetIV{a_n}\cdot e^{\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^2}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}\l(\l(\frac x{a_n}\r)^{\frac{1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}}-1\r)}
\end{align}超Taylor
\begin{align}
\frac{T_2(b_n)}{T_2(a_n)}&=\frac{
\tetIV{a_n}\cdot e^{\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^2}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}\l(\l(\frac{b_n}{a_n}\r)^{\frac{1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}}-1\r)}}
{\tetIV{a_n}\cdot e^{\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^2}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}\l(\l(\frac{a_n}{a_n}\r)^{\frac{1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}}-1\r)}}\\
&=e^{\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^2}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}\l(\l(\frac{b_n}{a_n}\r)^{\frac{1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}}-1\r)}\\
&>e^{\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^2}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}\l(\frac{10^{-n}}{a_n}\cdot\frac{1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))}{\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n)))))}\r)}\\
&=e^{\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^3}{(\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n))))))^2}\frac{10^{-n}}{a_n}}\\
&>(1+10^{-n})^\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^3}{a_n(\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n))))))^2}\\
&>1+10^{-n}\cdot\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^3}{a_n(\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n))))))^2}
\end{align}
\begin{align}
&\phantom{\Rightarrow}\frac{T_2(b_n)}{T_2(a_n)}<1+10^{\lfloor-\log_{10}T_2(a_n)\rfloor}\\
&\Rightarrow1+10^{-n}\cdot\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^3}{a_n(\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n))))))^2}<1+10^{-\log_{10}T_2(a_n)}\\
&\Leftrightarrow10^{-n}\cdot\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^3}{a_n(\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n))))))^2}<\frac1{T_2(a_n)}\\
&\Leftrightarrow\tetIV{a_n}\cdot\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^3}{a_n(\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n))))))^2}<10^n
\end{align}
ここで、
$$\frac{\tetIII {a_n}(1+a_n^{a_n}\log a_n\cdot(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n)))^3}{a_n(\tetII {a_n}(2+\log a_n\cdot(\tetII {a_n}(1+a_n\log a_n\cdot(1+\log a_n))^2+a_n(4+\log a_n\cdot(6+a_n+\log a_n\cdot(1+2a_n+a_n\log a_n))))))^2}$$
の評価をする。
関数
$$f(x)=\frac{\tetIII x(1+x^x\log x\cdot(1+x\log x\cdot(1+\log x)))^3}{x(\tetII x(2+\log x\cdot(\tetII x(1+x\log x\cdot(1+\log x))^2+x(4+\log x\cdot(6+x+\log x\cdot(1+2x+x\log x))))))^2}$$
は連続なので、
この
グラフより、$a_n$において$f(a_n)$は$1$よりも大きい。
以上より、$n$は、$\tetIV{a_m}<10^m$を満たす最小の$m$より大きく、現在計算されている円周率の桁数よりも大きくなってしまうため、現状では計算できない。
以上より、2次までの超Taylor級数では$\tetIV\pi$が整数であるかどうかは現状わからない。
終わりに
今回はゴリ押し計算で$\tetIV\pi$が整数であるかを証明できるかどうか、判定しました。超微分の計算以外は手計算なため、間違いが含まれる可能性があります。もし見つけたら、ぜひ教えてください。
