自然変換は関手の準同型
$\mathbfcal{C}=(\mathcal{C},\mathrm{Mor},\mathrm{dom},\cdots)$を圏とする。
$(F_i)_{i\in\mathcal{C}}$を$\mathcal{C}$で添え字付けられた集合の族、各$f\in\mathrm{Mor}$に対して$f\triangleright(\cdot):F_{\mathrm{dom}(f)}\rightarrow F_{\mathrm{cod}(f)}$を写像とする。組$((F_i)_{i\in\mathcal{C}},(f\triangleright(\cdot))_{f\in\mathrm{Mor}})$が以下を満たすとき、$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathsf{Sets}$であるという。$\triangleright$を作用と呼ぶ。
$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathsf{Sets}$は、$\mathrm{Mor}$個の演算を持つ$\mathcal{C}$ソートの代数系になっている。なので、典型的な方法で準同型を定義できる。
２つの$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathsf{Sets}$：$((F_i)_{i\in\mathcal{C}},(f\triangleright_F(\cdot))_{f\in\mathrm{Mor}})$, $((G_i)_{i\in\mathcal{C}},(f\triangleright_G(\cdot))_{f\in\mathrm{Mor}})$間の準同型とは、写像$\theta_i:F_i\rightarrow G_i$の組$(\theta_i)_{i\in\mathcal{C}}$で以下を満たすものである。
この準同型を射として選ぶと、$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathsf{Sets}$は圏を成す。この圏を$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathbf{Sets}$と書く（"Sets"フォントが$\mathsf{Sets}$から$\mathbf{Sets}$になってる）。
あれれ？これって…
よく見てみると、$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathsf{Sets}$は$\mathbfcal{C}$から$\mathbf{Set}$への関手の定義そのものである。$\mathbfcal{C}$から$\mathbf{Set}$の関手全体を$\mathsf{Fun}(\mathbfcal{C},\mathbf{Set})$とすると、$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathsf{Sets}=\mathsf{Fun}(\mathbfcal{C},\mathbf{Set})$になる。
さらに準同型の定義もよく見てみると、これは自然変換の定義そのものである。$\mathsf{Fun}(\mathbfcal{C},\mathbf{Set})$と自然変換は関手圏と呼ばれる圏$[\mathbfcal{C},\mathbf{Set}]$を成すことが知られているが、$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathbf{Sets}$とはまさにそれである。$\mathbfcal{C}\text{ - }\mathbf{Sets}=[\mathbfcal{C},\mathbf{Set}]$になる。
