Baileyのmod 9恒等式

前の記事の命題5
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- x; q)_{n + 1} (- q / x, b, c; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} {(\frac{q^{2}}{b c})}^{n} \\ = \frac{(q^{2} / b, q^{2} / c; q)_{\infty}}{(q, q^{2} / b c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(b, c; q)_{n}}{(q^{2} / b, q^{2} / c; q)_{n}} (x^{n + 1} + x^{- n}) {(\frac{q^{2}}{b c})}^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)} \end{aligned}$
において, $b, c \to \infty$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- x; q)_{n + 1} (- q / x; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{n^{2} + n} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} (x^{n + 1} + x^{- n}) q^{\frac{3}{2} n (n + 1)} \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} x^{n} q^{\frac{3}{2} n (n - 1)} \\ = \frac{(- x, - q^{3} / x, q^{3}; q^{3})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
$x$ を $- x$ に置き換えて以下を得る.

$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n} \frac{(x; q)_{n + 1} (q / x; q)_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} q^{n^{2} + n} = \frac{(x, q^{3} / x, q^{3}; q^{3})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{array}$

Bailey(1947)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{3 n^{2}} (q; q)_{3 n}}{(q^{3}; q^{3})_{n} (q^{3}; q^{3})_{2 n}} & = \frac{(q^{4}, q^{5}, q^{9}; q^{9})_{\infty}}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{3 n^{2} + 3 n} (q; q)_{3 n} (1 - q^{3 n + 2})}{(q^{3}; q^{3})_{n} (q^{3}; q^{3})_{2 n + 1}} & = \frac{(q^{2}, q^{7}, q^{9}; q^{9})_{\infty}}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{3 n^{2} + 3 n} (q; q)_{3 n + 1}}{(q^{3}; q^{3})_{n} (q^{3}; q^{3})_{2 n + 1}} & = \frac{(q, q^{8}, q^{9}; q^{9})_{\infty}}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} \end{aligned}$

前の記事の系1
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- x q, - q / x; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} q^{2 n^{2}} & = \frac{(- x q^{3}, - q^{3} / x, q^{6}; q^{6})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
において, $x = - q^{\frac{1}{3}}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{\frac{2}{3}}, q^{\frac{4}{3}}; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{2 n}} q^{2 n^{2}} & = \frac{(q^{\frac{8}{3}}, q^{\frac{10}{3}}, q^{6}; q^{6})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
ここで, $q^{2} \mapsto q^{3}$ とすると,
$\begin{aligned} \frac{(q^{4}, q^{5}, q^{9}; q^{9})_{\infty}}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(q, q^{2}; q^{3})_{n}}{(q^{3}; q^{3})_{2 n}} q^{3 n^{2}} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(q; q)_{3 n}}{(q^{3}; q^{3})_{n} (q^{3}; q^{3})_{2 n}} q^{3 n^{2}} \end{aligned}$
と1つ目の式が示される. 命題1において, $q \mapsto q^{3}, x = q^{2}$ として
$\begin{aligned} \frac{(q^{2}, q^{7}, q^{9}; q^{9})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{2}; q^{3})_{n + 1} (q; q^{3})_{n}}{(q^{3}; q^{3})_{2 n + 1}} q^{3 n^{2} + 3 n} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(q; q)_{3 n} (1 - q^{3 n + 2})}{(q^{3}; q^{3})_{n} (q^{3}; q^{3})_{2 n + 1}} q^{3 n^{2} + 3 n} \end{aligned}$
また, $q \mapsto q^{3}, x = q$ として,
$\begin{aligned} \frac{(q, q^{8}, q^{9}; q^{9})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(q; q^{3})_{n + 1} (q^{2}; q^{3})_{n}}{(q^{3}; q^{3})_{2 n + 1}} q^{3 n^{2} + 3 n} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(q; q)_{3 n + 1}}{(q^{3}; q^{3})_{n} (q^{3}; q^{3})_{2 n + 1}} q^{3 n^{2} + 3 n} \end{aligned}$
となるので示すべきことが得られた.