Baileyのmod 9恒等式
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の命題5
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-x;q)_{n+1}(-q/x,b,c;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}\left(\frac{q^2}{bc}\right)^n\\
&=\frac{(q^2/b,q^2/c;q)_{\infty}}{(q,q^2/bc;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(q^2/b,q^2/c;q)_n}(x^{n+1}+x^{-n})\left(\frac{q^2}{bc}\right)^nq^{\frac 12n(n+1)}
\end{align}
において, $b,c\to\infty$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-x;q)_{n+1}(-q/x;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{n^2+n}&=\frac{1}{(q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(x^{n+1}+x^{-n})q^{\frac 32n(n+1)}\\
&=\frac{1}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}x^{n}q^{\frac 32n(n-1)}\\
&=\frac{(-x,-q^3/x,q^3;q^3)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
$x$を$-x$に置き換えて以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(x;q)_{n+1}(q/x;q)_n}{(q;q)_{2n+1}}q^{n^2+n}=\frac{(x,q^3/x,q^3;q^3)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{3n^2}(q;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_n(q^3;q^3)_{2n}}&=\frac{(q^4,q^5,q^9;q^9)_{\infty}}{(q^3;q^3)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{q^{3n^2+3n}(q;q)_{3n}(1-q^{3n+2})}{(q^3;q^3)_n(q^3;q^3)_{2n+1}}&=\frac{(q^2,q^7,q^9;q^9)_{\infty}}{(q^3;q^3)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{q^{3n^2+3n}(q;q)_{3n+1}}{(q^3;q^3)_n(q^3;q^3)_{2n+1}}&=\frac{(q,q^8,q^9;q^9)_{\infty}}{(q^3;q^3)_{\infty}}\\ \end{align}
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の系1
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-xq,-q/x;q^2)_n}{(q^2;q^2)_{2n}}q^{2n^2}&=\frac{(-xq^3,-q^3/x,q^6;q^6)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}
\end{align}
において, $x=-q^{\frac 13}$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(q^{\frac 23},q^{\frac 43};q^2)_n}{(q^2;q^2)_{2n}}q^{2n^2}&=\frac{(q^{\frac{8}3},q^{\frac{10}3},q^6;q^6)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}
\end{align}
ここで, $q^2\mapsto q^3$とすると,
\begin{align}
\frac{(q^4,q^5,q^9;q^9)_{\infty}}{(q^3;q^3)_{\infty}}&=\sum_{0\leq n}\frac{(q,q^2;q^3)_n}{(q^3;q^3)_{2n}}q^{3n^2}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_n(q^3;q^3)_{2n}}q^{3n^2}
\end{align}
と1つ目の式が示される. 命題1において, $q\mapsto q^3, x=q^2$として
\begin{align}
\frac{(q^2,q^7,q^9;q^9)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}&=\sum_{0\leq n}\frac{(q^2;q^3)_{n+1}(q;q^3)_n}{(q^3;q^3)_{2n+1}}q^{3n^2+3n}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{3n}(1-q^{3n+2})}{(q^3;q^3)_n(q^3;q^3)_{2n+1}}q^{3n^2+3n}
\end{align}
また, $q\mapsto q^3, x=q$として,
\begin{align}
\frac{(q,q^8,q^9;q^9)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}&=\sum_{0\leq n}\frac{(q;q^3)_{n+1}(q^2;q^3)_n}{(q^3;q^3)_{2n+1}}q^{3n^2+3n}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{3n+1}}{(q^3;q^3)_n(q^3;q^3)_{2n+1}}q^{3n^2+3n}
\end{align}
となるので示すべきことが得られた.
