文献あり

Liuによる展開公式2

$q$ 微分を
$\begin{array}{r} D_{q, x} f (x) : = \frac{f (x) - f (x q)}{x} \end{array}$
によって定義する.

Jackson(1908)

$\begin{aligned} D_{q, x}^{n} f (x) & = x^{- n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} q^{k} f (x q^{k}) \end{aligned}$

$n$ に関する帰納法によって示される.

前回の記事で示した定理を補題として用いる.

Liu(2002)

$f (x)$ は $x = 0$ の近傍で正則関数であるとするとき,
$\begin{aligned} f (a) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ q / a; q)_{n} a^{n}}{(q, a; q)_{n}} D_{q, x}^{n} (f (x) (x; q)_{n - 1}))_{x = λ q} \end{aligned}$
が成り立つ.

以下が主要な定理である.

Liu(2013)

$f (x)$ は $x = 0$ の近傍で正則関数であるとするとき,
$\begin{aligned} \frac{(λ, λ a b / q; q)_{\infty}}{(λ a, λ b; q)_{\infty}} f (λ a) \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ, q / a; q)_{n}}{(q, λ a; q)_{n}} {(\frac{a}{q})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, λ q^{n}; q)_{k} q^{k}}{(q, λ b; q)_{k}} f (λ q^{k + 1}) \end{aligned}$
が成り立つ.

まず,
$\begin{array}{r} \frac{(b x / q; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \end{array}$
は $x = 0$ の周りで正則である. よって, それを $f (x)$ に掛けた
$\begin{array}{r} \frac{(b x / q; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} f (x) \end{array}$
も正則である. これに補題2を適用すると,
$\begin{aligned} \frac{(a b / q; q)_{\infty}}{(a; q)_{\infty}} f (a) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ q / a; q)_{n} a^{n}}{(q, a; q)_{n}} D_{q, x}^{n} {(f (x) \frac{(b x / q; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} (x; q)_{n - 1})}_{x = λ q} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ q / a; q)_{n} a^{n}}{(q, a; q)_{n}} D_{q, x}^{n} {(f (x) \frac{(b x / q; q)_{\infty}}{(x q^{n - 1}; q)_{\infty}})}_{x = λ q} \end{aligned}$
を得る. 補題1より,
$\begin{aligned} D_{q, x}^{n} {(f (x) \frac{(b x / q; q)_{\infty}}{(x q^{n - 1}; q)_{\infty}})}_{x = λ q} & = (λ q)^{- n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} q^{k} f (λ q^{k + 1}) \frac{(λ b q^{k}; q)_{\infty}}{(λ q^{n + k}; q)_{\infty}} \\ = \frac{(λ b; q)_{\infty}}{(λ; q)_{\infty}} (λ; q)_{n} (λ q)^{- n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, λ q^{n}; q)_{k}}{(q, λ b; q)_{k}} q^{k} f (λ q^{k + 1}) \end{aligned}$
を得る. よって,
$\begin{array}{r} \frac{(a b / q; q)_{\infty}}{(a; q)_{\infty}} f (a) = \frac{(λ b; q)_{\infty}}{(λ; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ, λ q / a; q)_{n}}{(q, a; q)_{n}} {(\frac{a}{λ q})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, λ q^{n}; q)_{k}}{(q, λ b; q)_{k}} q^{k} f (λ q^{k + 1}) \end{array}$
が得られる. ここで, $a$ を $λ a$ に置き換えて定理を得る.

応用として, 以下の公式を示す.

Rogersの

_{6} ϕ_{5}

和公式

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ, q / a, q / b, q / c; q)_{n}}{(λ a, λ b, λ c, q; q)_{n}} {(\frac{λ a b c}{q^{2}})}^{n} \\ = \frac{(λ, λ a b / q, λ a c / q, λ b c / q; q)_{\infty}}{(λ a, λ b, λ c, λ a b c / q^{2}; q)_{\infty}} \end{aligned}$

定理3において,
$\begin{aligned} f (x) & = \frac{(c x / q; q)_{\infty}}{(b c x / q^{2}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
とすると
$\begin{aligned} \frac{(λ, λ a b / q, λ a c / q; q)_{\infty}}{(λ a, λ b, λ a b c / q^{2}; q)_{\infty}} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ, q / a; q)_{n}}{(q, λ a; q)_{n}} {(\frac{a}{q})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, λ q^{n}; q)_{k} q^{k}}{(q, λ b; q)_{k}} \frac{(λ c q^{k}; q)_{\infty}}{(λ b c q^{k - 1}; q)_{\infty}} \\ = \frac{(λ c; q)_{\infty}}{(λ b c / q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - λ q^{2 n}) (λ, q / a; q)_{n}}{(q, λ a; q)_{n}} {(\frac{a}{q})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, λ q^{n}, λ b c / q; q)_{k} q^{k}}{(q, λ b, λ c; q)_{k}} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, λ q^{n}, λ b c / q; q)_{k} q^{k}}{(q, λ b, λ c; q)_{k}} & = \frac{(q / b, q / c; q)_{n}}{(λ b, λ c; q)_{n}} {(\frac{λ b c}{q})}^{n} \end{aligned}$
であるから, これを代入して定理を得る.