Liuによる展開公式2
$q$微分を
\begin{align}
D_{q,x}f(x)\coloneqq\frac{f(x)-f(xq)}{x}
\end{align}
によって定義する.
\begin{align} D_{q,x}^nf(x)&=x^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}q^kf(xq^k) \end{align}
$n$に関する帰納法によって示される.
前回の記事 で示した定理を補題として用いる.
$f(x)$は$x=0$の近傍で正則関数であるとするとき,
\begin{align}
f(a)&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda q/a;q)_na^n}{(q,a;q)_n}D_{q,x}^n(f(x)(x;q)_{n-1}))_{x=\lambda q}
\end{align}
が成り立つ.
以下が主要な定理である.
$f(x)$は$x=0$の近傍で正則関数であるとするとき,
\begin{align}
&\frac{(\lambda, \lambda ab/q;q)_{\infty}}{(\lambda a,\lambda b;q)_{\infty}}f(\lambda a)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda, q/a;q)_n}{(q,\lambda a;q)_n}\left(\frac aq\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},\lambda q^n;q)_kq^k}{(q,\lambda b;q)_k}f(\lambda q^{k+1})
\end{align}
が成り立つ.
まず,
\begin{align}
\frac{(bx/q;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}
\end{align}
は$x=0$の周りで正則である. よって, それを$f(x)$に掛けた
\begin{align}
\frac{(bx/q;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}f(x)
\end{align}
も正則である. これに補題2を適用すると,
\begin{align}
\frac{(ab/q;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}f(a)&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda q/a;q)_na^n}{(q,a;q)_n}D_{q,x}^n\left(f(x)\frac{(bx/q;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}(x;q)_{n-1}\right)_{x=\lambda q}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda q/a;q)_na^n}{(q,a;q)_n}D_{q,x}^n\left(f(x)\frac{(bx/q;q)_{\infty}}{(xq^{n-1};q)_{\infty}}\right)_{x=\lambda q}
\end{align}
を得る. 補題1より,
\begin{align}
D_{q,x}^n\left(f(x)\frac{(bx/q;q)_{\infty}}{(xq^{n-1};q)_{\infty}}\right)_{x=\lambda q}&=(\lambda q)^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}q^k f(\lambda q^{k+1})\frac{(\lambda bq^k;q)_{\infty}}{(\lambda q^{n+k};q)_{\infty}}\\
&=\frac{(\lambda b;q)_{\infty}}{(\lambda;q)_{\infty}}(\lambda;q)_n(\lambda q)^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},\lambda q^n;q)_k}{(q,\lambda b;q)_k}q^k f(\lambda q^{k+1})
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\frac{(ab/q;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}f(a)=\frac{(\lambda b;q)_{\infty}}{(\lambda;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda,\lambda q/a;q)_n}{(q,a;q)_n}\left(\frac{a}{\lambda q}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},\lambda q^n;q)_k}{(q,\lambda b;q)_k}q^k f(\lambda q^{k+1})
\end{align}
が得られる. ここで, $a$を$\lambda a$に置き換えて定理を得る.
応用として, 以下の公式を示す.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda,q/a,q/b,q/c;q)_n}{(\lambda a,\lambda b,\lambda c,q;q)_n}\left(\frac{\lambda abc}{q^2}\right)^n\\ &=\frac{(\lambda,\lambda ab/q,\lambda ac/q,\lambda bc/q;q)_{\infty}}{(\lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda abc/q^2;q)_{\infty}} \end{align}
定理3において,
\begin{align}
f(x)&= \frac{(cx/q;q)_{\infty}}{(bcx/q^2;q)_{\infty}}
\end{align}
とすると
\begin{align}
&\frac{(\lambda,\lambda ab/q,\lambda ac/q;q)_{\infty}}{(\lambda a,\lambda b,\lambda abc/q^2;q)_{\infty}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda,q/a;q)_n}{(q,\lambda a;q)_n}\left(\frac aq\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},\lambda q^n;q)_kq^k}{(q,\lambda b;q)_k}\frac{(\lambda cq^k;q)_{\infty}}{(\lambda bcq^{k-1};q)_{\infty}}\\
&=\frac{(\lambda c;q)_{\infty}}{(\lambda bc/q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(1-\lambda q^{2n})(\lambda,q/a;q)_n}{(q,\lambda a;q)_n}\left(\frac aq\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},\lambda q^n,\lambda bc/q;q)_kq^k}{(q,\lambda b,\lambda c;q)_k}\\
\end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},\lambda q^n,\lambda bc/q;q)_kq^k}{(q,\lambda b,\lambda c;q)_k}&=\frac{(q/b,q/c;q)_n}{(\lambda b,\lambda c;q)_n}\left(\frac{\lambda bc}{q}\right)^n
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
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