東大数理院試過去問解答例(2006A06)

$f$が恒等的に$0$であれば示すことは何もない。$f$がある点$x$に於いて$f(x)>0$(resp. $f(x)<0$)を満たしていとする。このとき$f(y)=0$なる$x< y$が存在するとすると、このとき中間値の定理から$f(z)>0$(resp. $f(z)<0$)かつ$f'(z)<0$(resp. $f'(z)>0$)なる$z\in[x,y]$が存在し、これは条件(i)(iii)に反する。よって任意の$y>x$に対して$f(y)>0$(resp. $f(y)<0$)が満たされている。このとき常微分方程式(iii)を解くことで、任意の$y\geq x$に対して、
$$ f(y)=f(x)\exp\left(\int_x^y\varphi(t)dt\right) $$
であり、条件(i)(ii)からこれは有界である。$f$は$[1,x]$上連続かつ$[x,\infty)$上有界なので、$f$の有界性が従う。