東大数理院試過去問解答例(2006A06)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2006A06の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです
$f,\varphi:[1,\infty)\to\mathbb{R}$をそれぞれ連続関数及び$C^1$級関数とする。これらが次の条件
- $\varphi\geq0$
- $\int_1^\infty\varphi dx<\infty$
- $f'(x)\leq\varphi(x)f(x)$
を満たしているとき、$f$は上に有界であることを示しなさい。
補題1.及び条件(iii)から不等式
$$
f(x)\leq f(1)\exp\left(\int_1^x\varphi(t)dt\right)
$$
が得られる。ここで条件(i)からこの式の右辺は
$$
f(1)\exp\left(\int_1^\infty\varphi(t)dt\right)
$$
で上から抑えられ、条件(ii)からこの値は有限値である。以上で所望の結果が得られた。
関数$f,\varphi:[1,\infty)\to\mathbb{R}$が連続関数であり、$f$が$(1,\infty)$に於いて微分可能とする。$f,u$が$(1,\infty)$に於いて不等式
$$
f'(x)\leq \varphi(x)f(x)
$$
を満たすとき、不等式
$$
f(x)\leq f(1)\exp\left(\int_1^x\varphi(t)dt\right)
$$
を満たしている。
初めに
$$
g(x)=f(x)\exp\left(-\int_1^x\varphi(t)dt\right)
$$
と置くと、仮定から
$$
g'(x)=\left(f'(x)-f(x)\varphi(x)\right)\exp\left(-\int_1^x\varphi(t)dt\right)\leq0
$$
が従う。よって$g(x)$は広義単調減少である。$g(1)=f(1)$であるから、これにより任意の$x\in[1,\infty)$に対して$g(x)\leq f(1)$が従い、所望の結果が得られた。
