x^n-2 は既約

$$\sum_{k=0}^{n-1} a_{k} 2^{\frac{k+l}{n}} = 0$$
が成り立つ．$b_0,b_1,\ldots,b_{2n-2}$を次のように定義する．
$$b_i = \begin{cases} 1 ~ (i \lt n) \\ 2 ~ (i \geq n) \\ \end{cases}$$

　$(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}) = (2^{\frac{0}{n}},2^{\frac{1}{n}},\ldots,2^{\frac{n-1}{n}})$，また$x_{n+i}=x_i$と定めると，$2^{\frac{k+l}{n}} = b_{k+l}x_{k+l}$であるから，これは次の$n$本の$n$元$1$次方程式の解となる．
$$\sum_{k=0}^{n-1} a_{k} b_{k+l} x_{k+l} = 0 ~~ (l = 0,1,\ldots,n-1)$$
したがって$a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}$について次の式が成り立つ．
$$\mathrm{det} \left(\begin{array}{cccc}b_{n-1}a_0 & b_{n-2}a_{1} & \ldots & b_0a_{n-1} \\b_{n}a_{n-1} & b_{n-1}a_0 & \ldots & b_1a_{n-2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\b_{2n-2}a_1 & b_{2n-3}a_2 & \ldots & b_{n-1}a_0 \end{array}\right) = 0 ~~ ... (\square)$$
　ここで，この行列の対角部分を除く左下半分の成分は全て偶数であり，右辺も偶数であるから，対角成分の総積，すなわち$a_0^{n}$は偶数である．$(\square)$の左辺に対して，$1)$最も左の列の全ての成分を$2$で割る $\rightarrow$ $2)$最も左の列を最も右に移動する という基本変形を行うことによって$(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},\dfrac{1}{2}a_0)$も$(\square)$を満たすことが分かる．この操作は無限に行うことができるので，$a_0=a_1= \cdots =a_{n-1}=0$．よって示された．