単因子論について
はじめに
どうもこんにちは，🐟️🍊みかん🍊🐟️です．この記事は、keitadayo，らららに引き続き 積分・級数の部屋 で企画されたゴールデンウィーク企画3日目の記事です．今回は単因子論という，代数学の話をしていきます．単因子論は環上の加群における理論の一つで，それ自体面白いと思うのですが，初端から「主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理」という仰々しそうな名前の主張を示さなければならない上，事前知識を最低限しか仮定しないと準備がそこそこめんどくさいです．またこの記事は，新たに新一年生になった人に代数学を布教したいという意図も含まれているので，この記事ではとりあえずCayley-Hamiltonの定理の証明を目標として話を進めたいと思います．要するに線形代数をベクトル空間からではなく，単因子論の方面から考察してみるという記事です．例えば，単因子論を使うといい感じに最小多項式が計算できて割と嬉しいのですよね．
とはいえ，実際に計算するときに最小多項式を計算するのはそれなりに面倒であることが多いと思います．そのような計算が，行列基本変形に帰着されるというのは割と面白いことだと思うので記事にさせてもらいました．
基本的なノーテーション
まず基本的な記号などについて先に話をしておきます．まず環と体を定義します．
演算$+,\cdot$を備えた集合$R$が可換環であるとは，次の性質を満たすことを言う．($a\cdot b$は単に$ab$と書くことがある)
- 任意の$a,b\in R$に対して，$a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$が成立する．
- 任意の$a\in R$に対して$a+0=a$となる$0\in R$が存在する．
- 任意の$a\in R$に対して$a\cdot1=a$となる$1\in R$が存在する．
この$0,1$は環上においては唯一存在するので，以下の定義でも$0,1$を使う．
- 任意の$a\in R$に対して，ある$-a\in R$が存在して，
$a+(-a)=0$となるようなものが存在する． - 任意の$a,b,c\in R$に対して，
\begin{aligned} (a+b)+c&=a+(b+c)\\ (ab)c&=a(bc)\\ a(b+c)&=ab+ac \end{aligned}
また，$0$でない元$a$に対して$ab=1$となるような元$b$が存在するとき，$R$を体(field)であるといいます．体は基本的にドイツ語のKoelper(Kölper)，英語のFieldの頭文字とって$K, F$を用いることにします．また，体$K$に対してその多項式環を
$$
K[t]:=\left\{\sum_{k=0}^na_kt^k:a_k\in K, n\in\mathbb Z^+\right\}
$$
と書くことにします(直感的にわかりやすい定義にしました)．
また，特記なき場合$O_n$を$n$次の零行列，$E_n$を$n$次の単位行列(EinheitのE)とします．また$A$と$B$の直和を
$$ A\oplus B=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix} $$
とします．但し，直和において単なる元は$1\times1$行列とみなします．例えば
$$
1\oplus1=E_2
$$
です．なお，この記事では行列は全て正方行列しか扱いません．
単因子とは
この節の目標は単因子標準形を概念として理解することにあります．まず用語の定義を済ませます．
環上の行列$A$に対して，$AB=BA=E$となるような行列$B$が存在するとき，$A$を可逆行列という．
まず可逆行列である条件を述べておきます．
行列$A\in M_n(K[x])$に対して，$A$が可逆行列である条件は，$\det A\in K\setminus\{0\}$であることである．
$A$が可逆であるとすると，$A^{-1}$があって
$$
AA^{-1}=E
$$
であって，$A,A^{-1}$は$x$の多項式であるから$A\in M(K),{\rm i.e.}\det A\in K\setminus\{0\}.$
逆に$\det A\in K\setminus\{0\}.$であるとすると，$A$の余因子行列を$\tilde A$として
$$
A\tilde A=\tilde AA=E\det A
$$
なので，
$$
A^{-1}=\frac1{\det A}\tilde A
$$
が具体的に$A$の逆行列である．
さて，この節の主定理の証明や今後の議論にあると便利なので，一つ概念を導入しておこうと思います．
$d^k_A$を，$A\in M_n(K[x])$のすべての$k$次小行列式の最大公約式のうち，最高時の係数が$1$であるものとする．この$d^k_A$を行列式因子という．
ようやく本題です．一般的な形よりも主張が弱まっていますが，一般的な状況を述べようとすると単項イデアル整域を導入しなければならず，面倒なので，とりあえず体上の多項式環の場合を示しておきます．(つまり，下の命題は$K[x]$を単項イデアル整域に置き換えても成立します．)
任意の$A\in M_n(K[x])$は，ある可逆行列$P,Q\in M_n(K[x])$があって
$$
PAQ=e_1\oplus e_2\dots\oplus e_r\oplus O_{n-r}
$$
という形式に一意的に書き表すことができる．但し，$i=1,2,\dots,r$に対して各$e_i\in K[x]$はモニックな多項式であり$i\ne1$に対して$e_i$は$e_{i-1}$で割り切れる．
直和の形式に書き表せることを具体的に行っていくことにしよう．
$A$の成分の中で$0$でなく一番次数が小さいものをとり，$A$の$1$行目をその多項式の最高時の係数で割りそれを$e_1$とする．適切な置換行列を左右から書けることで$e_1$が$(1,1)$成分になるようにすることができるので，それを改めて$A$と取り直す．このとき，$A$の$1$行目，$1$列目の成分を任意にとり$f$とすると，$f$は$e_1$で割り切れる．何故ならば，例えば$(1,2)$成分$a_{1,2}$を考えて$e_1$で割り切れないものとすると，
$$
e_1=fq+r
$$
となって$\deg r<\deg e_1$となるので適切な行列基本変形によって最初の動作を行うと$A$の$(1,1)$成分が$r$となるようにできるが，これは$e_1$の取り方に反する．従って，適切な行列基本変形によって$A$から$1$行目，$1$列目から$e_1$以外の元を除くことができるので，
$$
P_1AQ_1=e_1\oplus A^\prime
$$
となるような$P_1,Q_1,A^\prime$をとることができる．$A^\prime$は数学的帰納法の仮定によって命題のような直和で表すことができることが分かる．
次に，$e_1$が$e_2$を割り切ることを確認するが，これは先と同様に$e_1$の最小性を考えることで示される．また数学的帰納法によって$e_2,e_3,\dots,e_r$で同様の関係が従うので，命題のような形式で表すことができる．
最後に，このような表示の一意性を示す．これは既に表示の可能性が得られているので，簡単な議論によって
\begin{aligned}
e_1&=d_1\\
e_i&=\frac{d_i}{d_{i-1}}&(i=2,\dots,r)
\end{aligned}
であることが分かる．よって，$r,\bm e$は一意的に定まる．
これで完了しました．この命題から，単因子を定義します．
定理2において，行列$A\in M_n(K[x])$から唯一定まる$e_1, e_2,\dots,e_r$を$A$の単因子とよび，
$$
PAQ=e_1\oplus e_2\dots\oplus e_r\oplus O_{n-r}
$$
のような形式をSmith標準形とよぶ．
最小多項式
まず，多項式に対する行列の代入を考えます．次のように定義するのが自然といえます．
行列$A\in M_n(K)$とし，$A$の多項式$f=a_0+a_1x+\dots+a_rx^r\in K[x]$への代入を
$$
f(A)=a_0+a_1A+\dots+a_rA^r
$$
この代入は和と積の構造を保ちます(代入写像が準同型になる)．また，簡単な検証によって次の命題が従います．
- $P$が$A$と同じサイズの正則行列であるとき，
$$ f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P $$ - $A, B$が正方行列であるとき，
$$ f(A\oplus B)=f(A)\oplus f(B) $$
さて，ここで$A$の最小多項式を定義するために，簡単な事実を確認しておきます．まず，$I(A)$を$f(A)=O$となる多項式$f$全体の集合とします．このとき，$I(A)$は次の事実を満たしていることが分かります．
\begin{aligned}
0&\in I(A)\\
f,g\in I(A)&\Rightarrow f+g\in I(A)\\
f\in I(A), k\in K[x]&\Rightarrow kf\in I(A)
\end{aligned}
また$I(A)$は$0$でない多項式が存在すること簡単にわかります．実際，$M_n(K)$は$n^2$次元の空間であるので，$n^2+1$個の行列があれば自明でない線形関係式$$
a_0E+a_1A+\dots+a_{n^2}A^{n^2}=O
$$
が成立するはずだからです．そこで，次のような定義を用意します．
行列$A\in M_n(K)$に対して，次数が最小でモニックである多項式を$A$の最小多項式であるといい，$p_A$で表す．
この定義には一意性が確保されるかどうかについて若干の問題がある(？)のですが，結局のところ次の主張によって解決されます．
$f(A)=O$ならば，$f$は$p_A$で割り切れる．
これは$p_A$の次数最小性に注意したうえで除法の原理を用いることで従います．さて，今回の記事の目的である次の命題を示しましょう．
$A$の最小多項式$p_A$は，$A^\prime＝xE-A$の最後の単因子$e_n$に等しい．
$\det A^\prime=e_nd^k_{A^\prime}$であるから，$A^\prime$の余因子行列を$\tilde A$とおくことで
$$
A^\prime\tilde A=e_nd^{n-1}_{A^\prime}E.
$$
行列式因子の定義から
$$
\tilde A=d^{n-1}_{A^\prime}B
$$
となる共通因数を持たない$B\in M(K[x])$がとれる．上二式を合わせると
$$
A^\prime B=e_nE
$$
となるので，$e_nE$は$xE-A$で割り切れる．よって
$$
e_n(A)E=O
$$
よって$e_n$は$p_A$で割り切れる．よってここで
$$
e_n=p_Aq
$$
と表しておくと，$p_A(A)=O$だから
$$
p_AE=AQ
$$
となる$Q\in M(K[x])$がとれる．式を整理して
$$
A^\prime B=qA^\prime Q
$$
となることが分かるので，$A^\prime=xE-A$であり，$E$が可逆なので，除法の原理を利用することにより
$$
B=qQ
$$
でなければならないことが分かる．ここで，$B$は共通因数を持たないのであったから，$q$は定数でなくてはならず，よって$q=1$である．よって$p_A=e_n.$
終わりに
どうでしたか．少し雑に書いてしまった記事ではあるので，細かい間違いなどもありそう書きもしますが，そのようなものは適宜修正しようと思います．(純粋にあんまり親切じゃないところもあるような気がしますが...)
単因子の話を最初に知ったのは線形代数の教科書からですが，面白みを知るきっかけににあったのは雪江代数を勉強してからになります．単因子論自体はしっかりやろうとすると前提知識が必要になると思うのですが，今回の記事のような線形代数的な知識だけで考察することができる部分を紹介したいということはもともと考えていたので，ちょうどいい機会でした．Twitterでは級数や積分のような解析学をやっているような人が多いように思うけれども，代数学にもいろいろな視点があったり道具があるということを知ってほしいなと思います．
長くなりましたが，このあたりでとりあえず終わりにしたいと思います．ありがとうございました．