Cauchy-Schwarzの不等式の一般化を満たす関数
今回は研究録の内容の紹介になります.
Cauchy-Schwarzの不等式は有名ですが,$f$,$g$を関数として次のような一般化を考えます.
$a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_n\geq 0$に対し
$\left (\displaystyle\sum_{i=1}^n \sqrt {a_ib_i}\right)^2\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n f(a_i,b_i)\sum_{i=1}^n g(a_i,b_i)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^na_i\sum_{i=1}^n b_i.$
このような$f,g$はどのようなものでしょうか.次の命題が成り立ちます.
正数の組から正数への関数$f(x,y),g(x,y)$が任意の正数列$a_i,b_i$($i=1,2,\dots,n$)に対して
$\left (\displaystyle\sum_{i=1}^n \sqrt {a_ib_i}\right)^2\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n f(a_i,b_i)\sum_{i=1}^n g(a_i,b_i)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^na_i\sum_{i=1}^n b_i$
を満たすための必要十分条件は次の$3$条件がすべて満たされることである.
1.$f(a,b)g(a,b)=ab$,
2.$f(ka,kb)=kf(a,b)$,
3.$f(1,b)\leq f(1,a)$,$\dfrac{f(1,a)}{a}\leq \dfrac{f(1,b)}{b}$($b\leq a$).
必要性を示す.$n=1$のときを考えると$f(a,b)g(a,b)=ab$は明らか.$n=2$のときを考えると
$(\sqrt{a_1b_1}+\sqrt{a_2b_2})^2\leq (f(a_1,b_1)+f(a_2,b_2))(g(a_1,b_1)+g(a_2,b_2))$
$\leq (a_1+b_1)(a_2+b_2)$
整理すると
$2\sqrt{a_1b_1}\sqrt{a_2b_2}\leq f(a_1,b_1)\dfrac{a_1b_1}{f(a_2,b_2)}+f(a_2,b_2)\dfrac{a_1b_1}{f(a_1,b_1)}$
$\leq a_1b_2+a_2b_1$.
各辺を$\sqrt{a_1b_1}\sqrt{a_2b_2}$で割ると
$2\leq \dfrac{f(a_1,b_1)}{f(a_2,b_2)}\dfrac{\sqrt{a_2b_2}}{\sqrt{a_1b_1}}+\dfrac{f(a_2,b_2)}{f(a_1,b_1)}\dfrac{\sqrt{a_1b_1}}{\sqrt{a_2b_2}}\leq \dfrac{\sqrt{a_1b_2}}{\sqrt{a_2b_1}}+\dfrac{\sqrt{a_2b_1}}{\sqrt{a_1b_2}}$...(☆)
$a_2=\lambda a_1$,$b_2=\lambda b_1$として
$2\leq \dfrac{f(a_1,b_1)}{f(\lambda a_1,\lambda b_1)}\lambda+\dfrac{f(\lambda a_1,\lambda b_1)}{f(a_1,b_1)}\lambda\leq 2$.
よって$f(\lambda a,\lambda b)=\lambda f(a,b) $.さて⭐︎を書き直せば
$2\leq \dfrac{f(1,a)}{f(1,b)}\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\dfrac{f(1,b)}{f(1,a)}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\leq \sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$.
$x+\frac{1}{x}$は$x\geq 1$で増加だから$a\geq b$のとき
$\dfrac{f(1,a)}{f(1,b)}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\leq \sqrt{\dfrac{a}{b}}$,$\dfrac{f(1,b)}{f(1,a)}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\leq \sqrt{\dfrac{a}{b}}$.
これは3番目の条件を意味する.
逆に$f,g$が上の3条件を満たすとき
$\dfrac{f(1,a)}{f(1,b)}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\leq \sqrt{\dfrac{a}{b}}$,$\dfrac{f(1,b)}{f(1,a)}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\leq \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
がなりたつので
$2\leq \dfrac{f(1,a)}{f(1,b)}\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\dfrac{f(1,b)}{f(1,a)}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\leq \sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$.
$a=\dfrac{b_i}{a_i}$,$b=\dfrac{b_j}{a_j}$とおくと,
$2\leq \dfrac{f(a_i,b_i)}{f(a_j,b_j)}\dfrac{\sqrt{a_jb_j}}{\sqrt{a_ib_i}}+\dfrac{f(a_j,b_j)}{f(a_i,b_i)}\dfrac{\sqrt{a_ib_i}}{\sqrt{a_jb_j}}\leq \dfrac{\sqrt{a_ib_j}}{\sqrt{a_jb_i}}+\dfrac{\sqrt{a_jb_i}}{\sqrt{a_ib_j}}$.
この式を変形すると
$2\sqrt{a_ib_i}\sqrt{a_jb_j}\leq f(a_i,b_i)\dfrac{a_jb_j}{f(a_j,b_j)}+f(a_j,b_j)\dfrac{a_ib_i}{f(a_i,b_i)}$
$\leq a_ib_j+a_jb_i$.
よって
$2\displaystyle\sum_{1\leq i< j\leq n}\sqrt{a_ib_i}\sqrt{a_jb_j} \leq \displaystyle\sum_{1\leq i< j\leq n}(a_ib_j+a_jb_i)$.$\Box$
$f$が決まれば$g$も決まるので実質不等式の間に入る関数を求めたことになりました.ではこの関数の集合はどのようなもので何か構造を持つのか?という疑問が生じます.研究録では部分的な解答が与えられています.例えば正規化作用素単調関数$F$を用いて$f(x,y)=xF(\frac{y}{x})$で定まる関数はこの条件を満たします.
$H$をHilbert空間,$B(H)$を$H$上の有界線形作用素全体の集合とする.$J$を区間,$f:J\to \mathbb{R}$を連続関数とする.$f$が作用素単調関数であるとは,$\sigma(A),\sigma(B)\subseteq J$である自己共役な$A,B\in B(H)$に対し
$A\leq B\implies f(A)\leq f(B)$が成り立つときをいう.さらに$f(1)=1$を満たすとき正規であるという.
証明ですが,
$\dfrac{f(1,a)}{a}\leq \dfrac{f(1,b)}{b}$($b\leq a$)以外は明らかです.これも$f>0$が作用素単調であることと$\dfrac{t}{f(t)}$が作用素単調であることが同値であることから示されます.
さらに別の不等式ではどうかということが考えられます.筆者はチェビシェフの和の不等式で同様の一般化を試みましたが,何の成果も得られませんでした.
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