環論1(環・体の定義)

環論について、簡単に基本的な定義をまとめておきます。なお、体の定義もやっておいた方が良いと思い、環論としているものの、体の定義が出てきます。

(環)

空でない集合$A$に二つの演算＋と$\times$(加法と乗法、あるいは和・積、$\times$は「$\cdot$」と書く)が定義されていて、次の性質を満たすとき、$A$を環という。
(1)$A$は＋に関してアーベル群になる。(+に関して単位元は0とする)
(2)(積の結合法則)すべての$a,b,c\in A$に対して、$(ab)c = a(bc)$
(3)(分配法則)すべての$a,b,c \in A$に対して、
$a(b + c) = ab + ac , (a+b)c = ac + bc$
(4)乗法について単位元$1$がある。つまり、$1a = a1 = a$がすべての$a\in A$に対して成り立つ

$a,b$が環$A$の元で、$ab= ba$なら、$a,b$は可換であるという。$A$の任意の元$a,b$が可換なら、$A$は可換環という。そうでなければ、非可換環という。

また、$a\in A$に対して、$b \in A$で$ab = ba = 1$となる元があれば、$b$を$a$の逆元といい、$a^{-1}$と表す。$a^{-1}$が存在するとき、$a$を可逆元、または単元という。$a^{-1}$が$a$によって一意に定まり、$a,b$が単元なら、$ab$も単元である。

$A$の単元全体の集合を$A^\times$と書く。$A^\times$は$A$の乗法に関して群になる。これを$A$の乗法群という。

$A = \{0\} , 0 + 0 = 0 , 0\cdot 0 = 0$と定義すると、$A$は環になる。この環を零環、あるいは自明な環という。

$A$を環とするとき、次の(1),(2)が成り立つ。
(1)任意の$a\in A$に対し、$0a = a0 = 0$である。
(2)$1=0$なら、$A$は自明な環である。

証明
(1) $a\in A$なら、$0a = (0+0)a = 0a + 0a$なので、$0a = 0$である。
$a0$についても同様にやると$a0 = 0$が導ける。

(2)もし、$1=0$なら、任意の元$a\in A$について、$a = 1a = 0a = 0$となるので、$A$の元は0のみとなる。

$ \mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \mathbb{R} , \mathbb{C} $は通常の加法と乗法で可換環である。成分が実数である$n\times n $行列の集合を$M_n( \mathbb{R} )$とし、行列の和と積について考えると、$M_n( \mathbb{R} )$は非可換環である。

(可除環)

空でない集合$K$に二つの演算+と$\times$が定義されていて、次の条件を満たすとき、$K$を可除環という。
(1)演算+と$\times$により$K$は環になる。
(2)$1\ne 0$、つまり、$K$は零環ではない。
(3)任意の$K \ni a \ne 0$が乗法に関して可逆元である。

0で割ること以外の加減乗除ができる集合が可徐環である。$K$が可徐環であるとき、環として可換なら体という。

(こっちの方がもしかしたら、わかりやすいかもしれない。$X$が可換環で、任意の0でない元$x\in X$に対して、$x\cdot x^{-1}=x^{-1}x = 1$となるような元$x^{-1}\in X$が存在するとき、$X$を体という)

$ \mathbb{Z} $は通常の加法と減法により環だが、体ではない。

$ \mathbb{Q} , \mathbb{R} , \mathbb{C} $は通常の加法と乗法により体であり、それぞれ有理数体、実数体、複素数体という。

$n$を整数とする。集合としては

$ \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} = \{\overline{0} , \overline{1},\cdots,\overline{n-1}\}$

と定義する。0から$n-1$までの整数$x,y$により$\overline{x} , \overline{y}$という形をした$ \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$の二つの元に対し、$x+y$を$n$で割った余りが$r$なら、$\overline{x}+\overline{y} = \overline{r}$と定義する。$\overline{x}\cdot \overline{y} = {\overline{x}\overline{y}}$も$xy$を使って同様に定義する。

上のように定義した演算により、$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$は可換環になる。

証明
$\overline{0} , \overline{1}$がそれぞれ$+,\times$に関する単位元であることは明らかである。

$\overline{x} \ne 0$なら、$\overline{n-x}$が$\overline{x}$の＋に関する逆元である。

($\overline{x} + \overline{n-x} = \overline{n-x + x} = \overline{n} = \overline{0}$となる)

+に対し結合法則が成り立つことを示す。

$\overline{x} , \overline{y} , \overline{z}\in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$とする。$x+y$を$n$で割った余りを$r_1(0\le r_1 < n)$とするとき、

$x+ y = nq_1 + r_1$となる整数$q_1$が存在する。

このとき、$\overline{x}+\overline{y} = \overline{r_1}$である。同様にして、整数$q_2 , r_2(0\le r_2 < n)$が存在して、$r_1 + z = nq_2 + r_2$となり、$\overline{r_1}+\overline{z} = \overline{r_2}$である。
したがって、$(x+y)+ z = n(q_1 + q_2)+r_2$となる。これより、$(x+ y)+z$を$n$で割った余りは、$(\overline{x}+\overline{y})+\overline{z} = \overline{r_2}$。$x +(y + z)$についても同様にして、$x+(y + z)$を$n$で割った余りを$r_3$とすると、$\overline{x}+(\overline{y}+\overline{z}) = \overline{r_3}$であることが分かる。