天才置換と楕円積分

天才置換を合理的に①　を読んで を読んで

次の例を考えてみよう.

$x=2t^2-1$とおくと$dx=4tdt$ , $1-x^2=4t^2-4t^4$より,この等式は成り立つ.また,$x=2t\sqrt{1-t^2}$ とおいても成り立つ.どうやって思いついたか考えてみよう.

$$x=\frac{1-t}{1+t}$$とおいてみよう.左辺第1項は
$$-{\int }_1^t\frac{dt}{1+t^2}$$
となるであろう.
$${\int }_0^1\frac{dt}{1+t^2}=\frac{\pi }{4}$$
である.したがって等号は成立することになる.
これは何を意味するのか?
この積分は$\arctan x$ である.
$\arctan x={\theta }_1$ , $\arctan t={\theta }_2$ とおくと,
$${\theta }_1+{\theta }_2=\frac{\pi }{4}$$
$$\tan {\theta }_1=\frac{1-\tan {\theta }_2}{1+\tan {\theta }_2}$$
を得る.

この話題は「楕円積分」に通じている.

Abelは1828年に楕円関数の変換を全て求めた.
Jacobiも1829年に同様の研究から独自に結果を得た.
Landenは1775年にLanden変換と呼ばれる変換およびそのときの母数の関係式を与えた.変換による母数の関係式をモジュラー方程式とよぶ（高瀬正仁氏による）.
$\lambda =k$ の場合,楕円関数が代数的な関数による変換をもつとすれば,$a=M^{-1}$は有理数か虚2次無理数でなければならない.
Jacobiの楕円関数$sn(u)とsn(au)$が代数方程式を満たすとき,$sn(u)$は虚数乗法をもつという($a$が虚2次無理数の場合に限る).このとき$k^2$を特異母数とよぶ.特異母数の満たす関係式を特異モジュラー方程式とよぶ.