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大学数学基礎解説
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確率論小ゼミ第1回 〜集合体, σ-集合体, 可測空間

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更新履歴

  • (2023-05-05 01:05) 公開
  • (2023-05-05 20:30) 大部分修正
  • (2023-05-08 01:30) 表現一部変更
  • (2023-12-28 16:52) 定理2(3)解答一部変更

目次

  1. 確率論のモチベ
  2. 集合体
  3. σ-集合体
  4. 可測空間
  5. 演習問題
  6. おわりに

確率論のモチベ

高校で学ぶ確率の曖昧さ

 高校で学ぶ確率はかなり曖昧のものである.その曖昧さのせいで,確率に苦手意識を持っている人は多いのではないだろうか.しかし,確率論を学ぶことによって,その曖昧さを払拭できるかもしれない.事実私も高校の頃,確率は大の苦手で,確率の問題を見た瞬間に逃げていたが,確率論を学んだ今では,大抵の問題はラクラク解くことができている.

 例えば,次の例題を見てもらいたい.

1から6までの数字が書かれている6面体サイコロを3つ同時に振る.但し,どの出目も同様に確からしいとする.このとき,3つの出目の和が5となる確率はいくらか.

大抵は,次のように解くだろう.

3つの出目の和が5となる事象をAとする.すると,
        A={(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)}
であるから,求める確率は,
        P(A)=663=136

この答えは別に間違っているわけではないが,このような答えを書く際,もしくはそれ以前に,次のような疑問を感じた人はいないだろうか.

  • P()って関数? だとすると,Pの定義域と値域って何?
  • 全事象(標本空間)をΩ(有限)としたとき,何でP(A)=|A||Ω|で定義されてるん?
  • Ωの要素数が無限にあるとき,P(A)ってどうなるん?

ってか,これに疑問を持った人ははっきり言って数学科に向いてますw


この確率論小ゼミとは

この確率論小ゼミでは,確率の概念を1から丁寧にわかりやすく解説していくつもりである.但し,ある程度集合論(大学教養レベル)の知識を有しているのが望ましい.今回は,集合体, σ-集合体, 可測空間について解説していく.


集合体

集合体とは

集合体

標本空間Ω上の集合体とは,次の[1], [2], [3]を満たす集合族Aのことである.
[1] ΩA
[2] AA  AcA
[3] A,BA  ABA

この定義を言葉で書くと,次のようになる.

  1. 全体集合(標本空間)はAに入っている.
  2. Aから1つの要素を取り出したとき,その補集合もAに入っている.
  3. Aから2つの要素を取り出したとき,その和集合もAに入っている.

A(\mathscr{A})はAの花文字よ.集合族であることを強調するために花文字が使われてるんよ.文献によっては,A(\mathcal{A})だったり,A(\mathfrak{A})だったりするから,そこら辺は臨機応変に対応してねw

  1. Aは集合族,つまり集合の集合である.
  2. AcAの補集合であり,Ω上であれば,Ac=ΩA と書ける.

集合体の例

さて,次の例で集合体について理解を深めよう.

Ω={1,2,3}とする.このとき,次の集合族A1,A2,A3Ω上の集合体である.
        A1={,Ω}A2={,{1},{2,3},Ω}A3=2Ω={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},Ω}


A1について
  1. ΩAよりok.
  2. c=ΩAよりok.
  3. ,ΩA  Ω=ΩAよりok.

A2について
  1. ΩAよりok.
  2. {1}c={2,3}Aよりok.
  3. {1},{2,3}A  {1}{2,3}=ΩAよりok.

A3について
  1. ΩAよりok.
  2. {1}c={2,3}A{2}c={1,3}A{3}c={1,2}Aよりok.
  3. A,BAとする.このとき,A,BΩより,ABΩである.よって,AB2Ω=A

集合体の性質

nをある自然数とし,AΩ上の集合体とする.このとき,次が成り立つ.
        A1,,AnA  i=1nAiA

    証明を見るn=1のとき,A1Aであるから,i=11AiAを得る.
    一方,nまで成り立つと仮定すると,n+1のとき,
            A1,,An,An+1A  i=1n+1Ai=(i=1nAi)A ( 仮定)An+1A
    故に,全てのnに対して,
            A1,,AnA  i=1nAiA
    が成り立つ.

この定理より,任意のnに対して,
(1)        A1,,AnA  i=1nAiA
が成り立つことがわかったが,nにしたとき,(1)式は成り立つだろうか.即ち,次が成り立つか考えよう.

AΩ上の集合体とする.このとき,次は成り立つだろうか.
(2)        A1,A2,A  i=1AiA

答え

模範解答を見る(2)式は常に成り立たない.

例えば,無限集合Ωに対して,集合族A
        A={AΩ;|A|<+  or  |Ac|<+}
で定義する.このとき,A  Ω 上の集合体となる

  • 下線部の証明を見る
    1. |Ω|=+であるが,|Ωc|=||=0<+より,ΩA
    2. AAとする.このとき,AもしくはAcが有限集合となるため,対称性によりAcA
    3. A,BAとする.A,Bが有限集合であるとき,ABも有限集合である.従って,ABA.一方,AもしくはBが無限集合であるとき,仮定により,その補集合は有限集合であるから,(AB)c=AcBcも有限集合となる.従って,ABA

今,Ω=N={1,2,}とし,i=1,2,に対して,Ai={2i}とする.このとき,
        i=1Ai={2,4,},    (i=1Ai)c={1,3,}
であるから,|i=1Ai|=+|(i=1Ai)c|=+より,
        i=1AiA
が分かる.

つまり,集合体は無限和の演算(i=1Ai)には対応していないことから扱いづらいものとなっている.例えば,先ほどの問題の模範解答を見てもらいたい.
Ω={1,2,}と定義したわけだが,これを「『表が出るまでコインを投げ続ける』という試行の標本空間」とし,Aiを「ちょうど2i回目で表が出る事象」とすれば,i=1Aiは「偶数回目で表が出る事象」とみなせるが,これは集合体Aに入っていないことから,この事象の確率が定義できなくなってしまう(確率の定義は小ゼミ第2回で説明).
この問題点を解決するために,σ-集合体というものを次に導入する.

ネタバレすると,確率Pの定義域がσ-集合体なんよ.


σ-集合体

σ-集合体とは

σ-集合体(σ-field)

標本空間Ω上のσ-集合体σ-field)とは,次の[1], [2], [3']を満たす集合族Fのことである.
[1] ΩF
[2] AF  AcF
[3'] A1,A2,F  i=1AiF

このσ-集合体は,集合体の定義[3]:A,BA  ABAを[3']:A1,A2,F  i=1AiFに変えたものである.


σ-集合体の性質

F,F1,F2,Ω上のσ-集合体とする.このとき,以下が成り立つ.

  1. Fは集合体である.
  2. G=n=1FnΩ上のσ-集合体である.
  3. A2Ωとする.このとき,Aを含む最小なΩ上のσ-集合体が存在する.

  1. 証明を見る集合体の定義[3]が成り立つことを示せば良い.A,BFとする.今,=ΩcFが成り立つから,A1=A, A2=B, A3=A4==とすれば,A1,A2,Fである.よって,        AB=i=1AiF

  2. 証明を見る
    1. 全てのnに対して,ΩFnであるから,        Ωn=1Fn=G
    2. AGとする.このとき,全てのnに対して,AFnであり,AcFnとなるから,        Acn=1Fn=G
    3. A1,A2,Gとする.このとき,全てのnに対して,A1,A2,Fnであり,        i=1AiFn
      となるから,        i=1Ain=1Fn=G
    よって,GΩ上のσ-集合体である.

  3. 証明を見るFAAを含むΩ上のσ-集合体の集合とする.即ち,
            FA={F|AF, F σ-集合体}
    であるとする.今,G
            G=FFAF
    により定義すると,(2)と同様にGΩ上のσ-集合体となることが示せる.よって,FAが空集合でないことに注意すると,任意のFFAに対して,
            AGF
    が成り立つから,GAを含む最小なσ-集合体となる.

この(3)の定理は特に重要で,例えば,サイコロを1回だけ投げたとき,我々が{出目が5, 6},{出目が4, 5, 6}という情報だけに興味を持ったとき,これらが起こったか,起こらなかったかという情報をまとめることができて,それが最小なσ-集合体となる.


最小なσ-集合体の生成

最小なσ-集合体の生成

A2Ωとする.このとき,Aを含む最小なΩ上のσ-集合体をσ(A)で表す.

最小なΩ上のσ-集合体の構成については,実際に次の問を解いて理解を深めて欲しい.

A1,A2,A3,A4Ωの分割であるとする.つまり,
        Ω=A1A2A3A4,    AiAj=  (ij; i,j=1,2,3,4)
である.このとき,A={A1,A2,A3,A4}を含む最小なΩ上のσ-集合体σ(A)を構成せよ.


模範解答を見るF={,Ω}から始める.
  1. まず,Aの要素A1,A2,A3,A4が入っていないといけないので,これらをFに入れる.すると,
            F={,A1,A2,A3,A4,Ω}
  2. 次にΩ上のσ-集合体の定義[2]:
            AF  AcF
    を満たすようにFを更新する.すると,
            F={,A1,A2,A3,A4,A1A2A3,A1A2A4,A1A3A4,A2A3A4,Ω}
  3. 続いてΩ上のσ-集合体の定義[3']:
            A1,A2,F  i=1AiF
    を満たすようにFを更新する(というよりも「σ-集合体は集合体なので,集合体の定義[3]:A,BF  ABFを満たすようにFを更新する」と言ったほうがわかりやすいかもしれない).すると,
            F={,A1,A2,A3,A4,A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,A1A2A3,A1A2A4,A1A3A4,A2A3A4,Ω}
  4. 今度は,先ほど追加された要素に対して,σ-集合体の定義[2]を適用させ,Fを更新する.しかし,それらの要素は全て入っており,これ以上更新する要素もない.これで,Aを含む最小なσ-集合体が構成できた.
    よって,
            σ(A)={,A1,A2,A3,A4,A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,A1A2A3,A1A2A4,A1A3A4,A2A3A4,Ω}


可測空間

可測空間とは

可測空間

Fを標本空間Ω上のσ-集合体とする.このとき,組(Ω,F)可測空間という.また,Fの元AΩ上のF-可測集合という.

この可測集合が,高校数学(数A 確率)の授業で習った「事象」という言葉に当たる.


演習問題

(Ω,F)を可測空間とする.このとき,以下が成り立つことを示せ.

  1. F
  2. A1,,AnF  i=1nAiF
  3. A,BF  ABF
  4. A1,A2,F  lim supnAn, lim infnAnF

解答

  1. 模範解答を見る=ΩcF

  2. 模範解答を見る An+1=An+2==とすれば,(1)よりA1,A2,Fであるから,
            i=1nAi=i=1AiF  

  3. 模範解答を見るA,BFより,Ac,BcF であるから,(2)よりAcBcFとなる.よって,AB=(AcBc)cF

  4. 模範解答を見る次の等式が成り立つことに注意する.
            lim supnAn=infn1supmnAm=n=1m=nAm
    任意の正の整数nに対して,Bn=m=nAm とする.これは,Ci=Ai (in)Ci= (i<n)とすれば,CiF (i=1,2,)であるから,
            Bn=m=nAm=i=1CiF
    が成り立つ.従って,B1,B2,Fより,B1c,B2c,Fであり,i=1BicFとなり,i=1Bi=(i=1Bic)cF を得る.よって,
            lim supnAn=n=1m=nAm=n=1BnF
    一方,A1c,A2c,Fであるから,lim supnAncFを得る.よって,
            lim infnAn=supn1infmnAm=n=1m=nAm=(n=1m=nAmc)c=(lim supnAnc)cF

A,BΩとする.このとき,A,AB を含む最小なΩ上のσ-集合体を構成せよ.

解答

模範解答を見る        σ({A,AB})={,A,Ac,AB,AcBc,ABc,AcB,Ω}

おわりに

この記事で確率論に興味を持ってくだされば幸いですw
実は,この記事を作っている最中,不慮の事故で1回データが消えてしまったのですが,何とかめげずに1から作り,そして書き切ることができましたToT


参考文献

投稿日:202354
更新日:20231228
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テキトーに不定期に統計・確率論について載せていきます.

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  3. 高校で学ぶ確率の曖昧さ
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  5. 集合体
  6. 集合体とは
  7. 集合体の例
  8. 集合体の性質
  9. σ-集合体
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