大学数学基礎解説

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確率論小ゼミ第１回〜集合体, σ-集合体, 可測空間

確率論,σ-集合体,ゼミ

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更新履歴

(2023-05-05 01:05) 公開
(2023-05-05 20:30) 大部分修正
(2023-05-08 01:30) 表現一部変更
(2023-12-28 16:52) 定理2(3)解答一部変更

確率論のモチベ

高校で学ぶ確率の曖昧さ

　高校で学ぶ確率はかなり曖昧のものである．その曖昧さのせいで，確率に苦手意識を持っている人は多いのではないだろうか．しかし，確率論を学ぶことによって，その曖昧さを払拭できるかもしれない．事実私も高校の頃，確率は大の苦手で，確率の問題を見た瞬間に逃げていたが，確率論を学んだ今では，大抵の問題はラクラク解くことができている．

　例えば，次の例題を見てもらいたい．

1から6までの数字が書かれている6面体サイコロを3つ同時に振る．但し，どの出目も同様に確からしいとする．このとき，3つの出目の和が5となる確率はいくらか．

大抵は，次のように解くだろう．

3つの出目の和が5となる事象を

A

とする．すると，

A = {(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)}

であるから，求める確率は，

P (A) = \frac{6}{6^{3}} = \frac{1}{36}

この答えは別に間違っているわけではないが，このような答えを書く際，もしくはそれ以前に，次のような疑問を感じた人はいないだろうか．

$P (\cdot)$ って関数？だとすると， $P$ の定義域と値域って何？
全事象（標本空間）を $Ω$ （有限）としたとき，何で $P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}$ で定義されてるん？
$Ω$ の要素数が無限にあるとき， $P (A)$ ってどうなるん？

ってか，これに疑問を持った人ははっきり言って数学科に向いてますw

この確率論小ゼミとは

この確率論小ゼミでは，確率の概念を1から丁寧にわかりやすく解説していくつもりである．但し，ある程度集合論（大学教養レベル）の知識を有しているのが望ましい．今回は，集合体, $σ$ -集合体, 可測空間について解説していく．

集合体

集合体とは

集合体

標本空間 $Ω$ 上の集合体とは，次の[1], [2], [3]を満たす集合族 $A$ のことである.
[1] $Ω \in A$
[2] $A \in A ⟹ A^{c} \in A$
[3] $A, B \in A ⟹ A \cup B \in A$

この定義を言葉で書くと，次のようになる．

全体集合（標本空間）は $A$ に入っている．
$A$ から1つの要素を取り出したとき，その補集合も $A$ に入っている．
$A$ から2つの要素を取り出したとき，その和集合も $A$ に入っている．

$A$ （\mathscr{A}）はAの花文字よ．集合族であることを強調するために花文字が使われてるんよ．文献によっては， $A$ （\mathcal{A}）だったり， $A$ （\mathfrak{A}）だったりするから，そこら辺は臨機応変に対応してねw

$A$ は集合族，つまり集合の集合である．
$A^{c}$ は $A$ の補集合であり， $Ω$ 上であれば， $A^{c} = Ω ∖ A$ と書ける．

集合体の例

さて，次の例で集合体について理解を深めよう．

$Ω = {1, 2, 3}$ とする．このとき，次の集合族 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ は $Ω$ 上の集合体である．
$\begin{aligned} A_{1} & = {\emptyset, Ω} \\ A_{2} & = {\emptyset, {1}, {2, 3}, Ω} \\ A_{3} & = 2^{Ω} = {\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, Ω} \end{aligned}$

A_{1}

について

$Ω \in A$ よりok．
$\emptyset^{c} = Ω \in A$ よりok．
$\emptyset, Ω \in A ⟹ \emptyset \cup Ω = Ω \in A$ よりok．

A_{2}

について

$Ω \in A$ よりok．
${1}^{c} = {2, 3} \in A$ よりok．
${1}, {2, 3} \in A ⟹ {1} \cup {2, 3} = Ω \in A$ よりok．

A_{3}

について

$Ω \in A$ よりok．
${1}^{c} = {2, 3} \in A$ ， ${2}^{c} = {1, 3} \in A$ ， ${3}^{c} = {1, 2} \in A$ よりok．
$A, B \in A$ とする．このとき， $A, B \subset Ω$ より， $A \cup B \subset Ω$ である．よって， $A \cup B \in 2^{Ω} = A$ ．

集合体の性質

$n$ をある自然数とし， $A$ を $Ω$ 上の集合体とする．このとき，次が成り立つ．
$A_{1}, \dots, A_{n} \in A ⟹ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} \in A$

証明を見る

n = 1

のとき，

A_{1} \in A

であるから，

⋃_{i = 1}^{1} A_{i} \in A

を得る．
一方，

n

まで成り立つと仮定すると，

n + 1

のとき，

A_{1}, \dots, A_{n}, A_{n + 1} \in A ⟹ ⋃_{i = 1}^{n + 1} A_{i} = \underset{\in A (∵ 仮定)}{\underset{⏟}{(⋃_{i = 1}^{n} A_{i})}} \cup A_{n + 1} \in A

故に，全ての

n

に対して，

A_{1}, \dots, A_{n} \in A ⟹ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} \in A

が成り立つ．

_{◼}

この定理より，任意の $n$ に対して，
$\begin{matrix} (1) & A_{1}, \dots, A_{n} \in A ⟹ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} \in A \end{matrix}$
が成り立つことがわかったが， $n \to \infty$ にしたとき，( $1$ )式は成り立つだろうか．即ち，次が成り立つか考えよう．

$A$ を $Ω$ 上の集合体とする．このとき，次は成り立つだろうか．
$\begin{matrix} (2) & A_{1}, A_{2}, \dots \in A ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in A \end{matrix}$

答え

模範解答を見る

(

2

)式は常に成り立たない．

例えば，無限集合

Ω

に対して，集合族

A

を

A = {A \subset Ω; | A | < + \infty or | A^{c} | < + \infty}

で定義する．このとき，

\underset{―}{A は Ω 上の集合体となる}

．

下線部の証明を見る
1. $| Ω | = + \infty$ であるが， $| Ω^{c} | = | \emptyset | = 0 < + \infty$ より， $Ω \in A$ ．
2. $A \in A$ とする．このとき， $A$ もしくは $A^{c}$ が有限集合となるため，対称性により $A^{c} \in A$ ．
3. $A, B \in A$ とする． $A, B$ が有限集合であるとき， $A \cup B$ も有限集合である．従って， $A \cup B \in A$ ．一方， $A$ もしくは $B$ が無限集合であるとき，仮定により，その補集合は有限集合であるから， $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ も有限集合となる．従って， $A \cup B \in A$ ． $_{◼}$

今，

Ω = N = {1, 2, \dots}

とし，

i = 1, 2, \dots

に対して，

A_{i} = {2 i}

とする．このとき，

⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} = {2, 4, \dots}, {(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{c} = {1, 3, \dots}

であるから，

| ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} | = + \infty

，

| {(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{c} | = + \infty

より，

⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \notin A

が分かる．

つまり，集合体は無限和の演算 $(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})$ には対応していないことから扱いづらいものとなっている．例えば，先ほどの問題の模範解答を見てもらいたい．
$Ω = {1, 2, \dots}$ と定義したわけだが，これを「『表が出るまでコインを投げ続ける』という試行の標本空間」とし， $A_{i}$ を「ちょうど $2 i$ 回目で表が出る事象」とすれば， $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}$ は「偶数回目で表が出る事象」とみなせるが，これは集合体 $A$ に入っていないことから，この事象の確率が定義できなくなってしまう（確率の定義は小ゼミ第2回で説明）．
この問題点を解決するために， $σ$ -集合体というものを次に導入する．

ネタバレすると，確率 $P$ の定義域が $σ$ -集合体なんよ．

$σ$ -集合体

$σ$ -集合体とは

σ

-集合体（

σ

-field）

標本空間 $Ω$ 上の $σ$ -集合体（ $σ$ -field）とは，次の[1], [2], [3']を満たす集合族 $F$ のことである.
[1] $Ω \in F$
[2] $A \in F ⟹ A^{c} \in F$
[3'] $A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F$

この $σ$ -集合体は，集合体の定義[3]： $A, B \in A ⟹ A \cup B \in A$ を[3']： $A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F$ に変えたものである．

$σ$ -集合体の性質

$F, F_{1}, F_{2}, \dots$ を $Ω$ 上の $σ$ -集合体とする．このとき，以下が成り立つ．

$F$ は集合体である．
$G = ⋂_{n = 1}^{\infty} F_{n}$ は $Ω$ 上の $σ$ -集合体である．
$A \subset 2^{Ω}$ とする．このとき， $A$ を含む最小な $Ω$ 上の $σ$ -集合体が存在する．

証明を見る
集合体の定義[3]が成り立つことを示せば良い． $A, B \in F$ とする．今， $\emptyset = Ω^{c} \in F$ が成り立つから， $A_{1} = A, A_{2} = B, A_{3} = A_{4} = \dots = \emptyset$ とすれば， $A_{1}, A_{2}, \dots \in F$ である．よって， $A \cup B = ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F ．_{◼}$

証明を見る
1. 全ての $n$ に対して， $Ω \in F_{n}$ であるから， $Ω \in ⋂_{n = 1}^{\infty} F_{n} = G ．$
2. $A \in G$ とする．このとき，全ての $n$ に対して， $A \in F_{n}$ であり， $A^{c} \in F_{n}$ となるから， $A^{c} \in ⋂_{n = 1}^{\infty} F_{n} = G ．$
3. $A_{1}, A_{2}, \dots \in G$ とする．このとき，全ての $n$ に対して， $A_{1}, A_{2}, \dots \in F_{n}$ であり， $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F_{n}$
  となるから， $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in ⋂_{n = 1}^{\infty} F_{n} = G ．$
よって， $G$ は $Ω$ 上の $σ$ -集合体である． $_{◼}$

証明を見る
$F_{A}$ を $A$ を含む $Ω$ 上の $σ$ -集合体の集合とする．即ち，
$F_{A} = {F | A \subset F, F は σ -集合体}$
であるとする．今， $G$ を
$G = ⋂_{F \in F_{A}} F$
により定義すると，(2)と同様に $G$ も $Ω$ 上の $σ$ -集合体となることが示せる．よって， $F_{A}$ が空集合でないことに注意すると，任意の $F \in F_{A}$ に対して，
$A \subset G \subset F$
が成り立つから， $G$ は $A$ を含む最小な $σ$ -集合体となる． $_{◼}$

この(3)の定理は特に重要で，例えば，サイコロを1回だけ投げたとき，我々が ${出目が5, 6}, {出目が4, 5, 6}$ という情報だけに興味を持ったとき，これらが起こったか，起こらなかったかという情報をまとめることができて，それが最小な $σ$ -集合体となる．

最小な $σ$ -集合体の生成

最小な

σ

-集合体の生成

$A \subset 2^{Ω}$ とする．このとき， $A$ を含む最小な $Ω$ 上の $σ$ -集合体を $σ (A)$ で表す．

最小な $Ω$ 上の $σ$ -集合体の構成については，実際に次の問を解いて理解を深めて欲しい．

$A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ が $Ω$ の分割であるとする．つまり，
$Ω = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset (i \neq j; i, j = 1, 2, 3, 4)$
である．このとき， $A = {A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}}$ を含む最小な $Ω$ 上の $σ$ -集合体 $σ (A)$ を構成せよ．

模範解答を見る

F = {\emptyset, Ω}

から始める．

まず， $A$ の要素 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ が入っていないといけないので，これらを $F$ に入れる．すると，
$F = {\emptyset, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, Ω}$
次に $Ω$ 上の $σ$ -集合体の定義[2]：
$A \in F ⟹ A^{c} \in F$
を満たすように $F$ を更新する．すると，
$F = {\emptyset, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}, A_{1} \cup A_{2} \cup A_{4}, A_{1} \cup A_{3} \cup A_{4}, A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}, Ω}$
続いて $Ω$ 上の $σ$ -集合体の定義[3']：
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F$
を満たすように $F$ を更新する（というよりも「 $σ$ -集合体は集合体なので，集合体の定義[3]： $A, B \in F \Rightarrow A \cup B \in F$ を満たすように $F$ を更新する」と言ったほうがわかりやすいかもしれない）．すると，
$F = {\emptyset, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{1} \cup A_{2}, A_{1} \cup A_{3}, A_{1} \cup A_{4}, A_{2} \cup A_{3}, A_{2} \cup A_{4}, A_{3} \cup A_{4}, A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}, A_{1} \cup A_{2} \cup A_{4}, A_{1} \cup A_{3} \cup A_{4}, A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}, Ω}$
今度は，先ほど追加された要素に対して， $σ$ -集合体の定義[2]を適用させ， $F$ を更新する．しかし，それらの要素は全て入っており，これ以上更新する要素もない．これで， $A$ を含む最小な $σ$ -集合体が構成できた．
よって，
$σ (A) = {\emptyset, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{1} \cup A_{2}, A_{1} \cup A_{3}, A_{1} \cup A_{4}, A_{2} \cup A_{3}, A_{2} \cup A_{4}, A_{3} \cup A_{4}, A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}, A_{1} \cup A_{2} \cup A_{4}, A_{1} \cup A_{3} \cup A_{4}, A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}, Ω}$

可測空間

可測空間とは

可測空間

$F$ を標本空間 $Ω$ 上の $σ$ -集合体とする．このとき，組 $(Ω, F)$ を可測空間という．また， $F$ の元 $A$ は $Ω$ 上の $F$ -可測集合という．

この可測集合が，高校数学（数A 確率）の授業で習った「事象」という言葉に当たる．

演習問題

$(Ω, F)$ を可測空間とする．このとき，以下が成り立つことを示せ．

$\emptyset \in F$
$A_{1}, \dots, A_{n} \in F ⟹ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} \in F$
$A, B \in F ⟹ A \cap B \in F$
$A_{1}, A_{2}, \dots \in F ⟹ \underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}, \underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} \in F$

解答

模範解答を見る
$\emptyset = Ω^{c} \in F$ ． $_{◼}$

模範解答を見る
$A_{n + 1} = A_{n + 2} = \dots = \emptyset$ とすれば，(1)より $A_{1}, A_{2}, \dots \in F$ であるから，
$⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F ．_{◼}$

模範解答を見る
$A, B \in F$ より， $A^{c}, B^{c} \in F$ であるから，(2)より $A^{c} \cup B^{c} \in F$ となる．よって， $A \cap B = (A^{c} \cup B^{c})^{c} \in F$ ． $_{◼}$

模範解答を見る
次の等式が成り立つことに注意する．
$\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = inf_{n \geq 1} sup_{m \geq n} A_{m} = ⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}$
任意の正の整数 $n$ に対して， $B_{n} = ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}$ とする．これは， $C_{i} = A_{i} (i \geq n)$ ， $C_{i} = \emptyset (i < n)$ とすれば， $C_{i} \in F (i = 1, 2, \dots)$ であるから，
$B_{n} = ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋃_{i = 1}^{\infty} C_{i} \in F$
が成り立つ．従って， $B_{1}, B_{2}, \dots \in F$ より， $B_{1}^{c}, B_{2}^{c}, \dots \in F$ であり， $⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i}^{c} \in F$ となり， $⋂_{i = 1}^{\infty} B_{i} = {(⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i}^{c})}^{c} \in F$ を得る．よって，
$\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = ⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m} = ⋂_{n = 1}^{\infty} B_{n} \in F ．$
一方， $A_{1}^{c}, A_{2}^{c}, \dots \in F$ であるから， $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}^{c} \in F$ を得る．よって，
$\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = sup_{n \geq 1} inf_{m \geq n} A_{m} = ⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{m = n}^{\infty} A_{m} = {(⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{m = n}^{\infty} A_{m}^{c})}^{c} = {(\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}^{c})}^{c} \in F ．_{◼}$

$A, B \subset Ω$ とする．このとき， $A, A \cup B$ を含む最小な $Ω$ 上の $σ$ -集合体を構成せよ．

解答

模範解答を見る

σ ({A, A \cup B}) = {\emptyset, A, A^{c}, A \cup B, A^{c} \cap B^{c}, A \cup B^{c}, A^{c} \cap B, Ω}

おわりに

この記事で確率論に興味を持ってくだされば幸いですw
実は，この記事を作っている最中，不慮の事故で1回データが消えてしまったのですが，何とかめげずに1から作り，そして書き切ることができましたToT

参考文献

[1]

小池祐太, 測度論的確率論, 閲覧日 2023年5月4日, https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kyuta/probability.pdf

投稿日：2023年5月4日

更新日：2023年12月28日

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マシロ

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テキトーに不定期に統計・確率論について載せていきます.

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確率論小ゼミ第１回〜集合体, σ-集合体, 可測空間

目次
確率論のモチベ
高校で学ぶ確率の曖昧さ
この確率論小ゼミとは
集合体
集合体とは
集合体の例
集合体の性質
$\sigma$-集合体
$\sigma$-集合体とは
$\sigma$-集合体の性質
最小な$\sigma$-集合体の生成
可測空間
可測空間とは
演習問題
おわりに
参考文献

確率論小ゼミ第１回 〜集合体, σ-集合体, 可測空間

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確率論のモチベ

高校で学ぶ確率の曖昧さ

この確率論小ゼミとは

集合体

集合体とは

集合体の例

集合体の性質

答え

σ-集合体

σ-集合体とは

σ-集合体の性質

最小なσ-集合体の生成

可測空間

可測空間とは

演習問題

解答

解答

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$σ$ -集合体

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$σ$ -集合体の性質

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