更新履歴
- (2023-05-05 01:05) 公開
- (2023-05-05 20:30) 大部分修正
- (2023-05-08 01:30) 表現一部変更
- (2023-12-28 16:52) 定理2(3)解答一部変更
目次
-
確率論のモチベ
-
集合体
-
-集合体
-
可測空間
-
演習問題
-
おわりに
確率論のモチベ
高校で学ぶ確率の曖昧さ
高校で学ぶ確率はかなり曖昧のものである.その曖昧さのせいで,確率に苦手意識を持っている人は多いのではないだろうか.しかし,確率論を学ぶことによって,その曖昧さを払拭できるかもしれない.事実私も高校の頃,確率は大の苦手で,確率の問題を見た瞬間に逃げていたが,確率論を学んだ今では,大抵の問題はラクラク解くことができている.
例えば,次の例題を見てもらいたい.
1から6までの数字が書かれている6面体サイコロを3つ同時に振る.但し,どの出目も同様に確からしいとする.このとき,3つの出目の和が5となる確率はいくらか.
大抵は,次のように解くだろう.
3つの出目の和が5となる事象をとする.すると,
であるから,求める確率は,
この答えは別に間違っているわけではないが,このような答えを書く際,もしくはそれ以前に,次のような疑問を感じた人はいないだろうか.
- って関数? だとすると,の定義域と値域って何?
- 全事象(標本空間)を(有限)としたとき,何でで定義されてるん?
- の要素数が無限にあるとき,ってどうなるん?
ってか,これに疑問を持った人ははっきり言って数学科に向いてますw
この確率論小ゼミとは
この確率論小ゼミでは,確率の概念を1から丁寧にわかりやすく解説していくつもりである.但し,ある程度集合論(大学教養レベル)の知識を有しているのが望ましい.今回は,集合体, -集合体, 可測空間について解説していく.
集合体
集合体とは
集合体
標本空間上の集合体とは,次の[1], [2], [3]を満たす集合族のことである.
[1]
[2]
[3]
この定義を言葉で書くと,次のようになる.
- 全体集合(標本空間)はに入っている.
- から1つの要素を取り出したとき,その補集合もに入っている.
- から2つの要素を取り出したとき,その和集合もに入っている.
(\mathscr{A})はAの花文字よ.集合族であることを強調するために花文字が使われてるんよ.文献によっては,(\mathcal{A})だったり,(\mathfrak{A})だったりするから,そこら辺は臨機応変に対応してねw
- は集合族,つまり集合の集合である.
- はの補集合であり,上であれば, と書ける.
集合体の例
さて,次の例で集合体について理解を深めよう.
について
- よりok.
- よりok.
- よりok.
について
- よりok.
- よりok.
- よりok.
について
- よりok.
- ,,よりok.
- とする.このとき,より,である.よって,.
集合体の性質
をある自然数とし,を上の集合体とする.このとき,次が成り立つ.
証明を見る
のとき,であるから,を得る.
一方,まで成り立つと仮定すると,のとき,
故に,全てのに対して,
が成り立つ.
この定理より,任意のに対して,
が成り立つことがわかったが,にしたとき,()式は成り立つだろうか.即ち,次が成り立つか考えよう.
を上の集合体とする.このとき,次は成り立つだろうか.
答え
模範解答を見る
()式は常に成り立たない.
例えば,無限集合に対して,集合族を
で定義する.このとき,.
下線部の証明を見る
- であるが,より,.
- とする.このとき,もしくはが有限集合となるため,対称性により.
- とする.が有限集合であるとき,も有限集合である.従って,.一方,もしくはが無限集合であるとき,仮定により,その補集合は有限集合であるから,も有限集合となる.従って,.
今,とし,に対して,とする.このとき,
であるから,,より,
が分かる.
つまり,集合体は無限和の演算には対応していないことから扱いづらいものとなっている.例えば,先ほどの問題の模範解答を見てもらいたい.
と定義したわけだが,これを「『表が出るまでコインを投げ続ける』という試行の標本空間」とし,を「ちょうど回目で表が出る事象」とすれば,は「偶数回目で表が出る事象」とみなせるが,これは集合体に入っていないことから,この事象の確率が定義できなくなってしまう(確率の定義は小ゼミ第2回で説明).
この問題点を解決するために,-集合体というものを次に導入する.
ネタバレすると,確率の定義域が-集合体なんよ.
-集合体
-集合体とは
-集合体(-field)
標本空間上の-集合体(-field)とは,次の[1], [2], [3']を満たす集合族のことである.
[1]
[2]
[3']
この-集合体は,集合体の定義[3]:を[3']:に変えたものである.
-集合体の性質
を上の-集合体とする.このとき,以下が成り立つ.
- は集合体である.
- は上の-集合体である.
- とする.このとき,を含む最小な上の-集合体が存在する.
証明を見る
集合体の定義[3]が成り立つことを示せば良い.とする.今,が成り立つから,とすれば,である.よって,
証明を見る
- 全てのに対して,であるから,
- とする.このとき,全てのに対して,であり,となるから,
- とする.このとき,全てのに対して,であり,
となるから,
よって,は上の-集合体である.
証明を見る
をを含む上の-集合体の集合とする.即ち,
であるとする.今,を
により定義すると,(2)と同様にも上の-集合体となることが示せる.よって,が空集合でないことに注意すると,任意のに対して,
が成り立つから,はを含む最小な-集合体となる.
この(3)の定理は特に重要で,例えば,サイコロを1回だけ投げたとき,我々がという情報だけに興味を持ったとき,これらが起こったか,起こらなかったかという情報をまとめることができて,それが最小な-集合体となる.
最小な-集合体の生成
最小な-集合体の生成
とする.このとき,を含む最小な上の-集合体をで表す.
最小な上の-集合体の構成については,実際に次の問を解いて理解を深めて欲しい.
がの分割であるとする.つまり,
である.このとき,を含む最小な上の-集合体を構成せよ.
模範解答を見る
から始める.- まず,の要素が入っていないといけないので,これらをに入れる.すると,
- 次に上の-集合体の定義[2]:
を満たすようにを更新する.すると,
- 続いて上の-集合体の定義[3']:
を満たすようにを更新する(というよりも「-集合体は集合体なので,集合体の定義[3]:を満たすようにを更新する」と言ったほうがわかりやすいかもしれない).すると,
- 今度は,先ほど追加された要素に対して,-集合体の定義[2]を適用させ,を更新する.しかし,それらの要素は全て入っており,これ以上更新する要素もない.これで,を含む最小な-集合体が構成できた.
よって,
可測空間
可測空間とは
可測空間
を標本空間上の-集合体とする.このとき,組を可測空間という.また,の元は上の-可測集合という.
この可測集合が,高校数学(数A 確率)の授業で習った「事象」という言葉に当たる.
演習問題
を可測空間とする.このとき,以下が成り立つことを示せ.
解答
模範解答を見る
.
模範解答を見る
とすれば,(1)よりであるから,
模範解答を見る
より, であるから,(2)よりとなる.よって,.
模範解答を見る
次の等式が成り立つことに注意する.
任意の正の整数に対して, とする.これは,,とすれば,であるから,
が成り立つ.従って,より,であり,となり, を得る.よって,
一方,であるから,を得る.よって,
とする.このとき, を含む最小な上の-集合体を構成せよ.
解答
模範解答を見る
おわりに
この記事で確率論に興味を持ってくだされば幸いですw
実は,この記事を作っている最中,不慮の事故で1回データが消えてしまったのですが,何とかめげずに1から作り,そして書き切ることができましたToT