確率論小ゼミ第１回 〜集合体, σ-集合体, 可測空間
更新履歴
- (2023-05-05 01:05) 公開
- (2023-05-05 20:30) 大部分修正
- (2023-05-08 01:30) 表現一部変更
- (2023-12-28 16:52) 定理2(3)解答一部変更
目次
確率論のモチベ
高校で学ぶ確率の曖昧さ
高校で学ぶ確率はかなり曖昧のものである．その曖昧さのせいで，確率に苦手意識を持っている人は多いのではないだろうか．しかし，確率論を学ぶことによって，その曖昧さを払拭できるかもしれない．事実私も高校の頃，確率は大の苦手で，確率の問題を見た瞬間に逃げていたが，確率論を学んだ今では，大抵の問題はラクラク解くことができている．
例えば，次の例題を見てもらいたい．
1から6までの数字が書かれている6面体サイコロを3つ同時に振る．但し，どの出目も同様に確からしいとする．このとき，3つの出目の和が5となる確率はいくらか．
大抵は，次のように解くだろう．
$$~~~~~~~~ A = \{(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)\} $$
であるから，求める確率は，
$$~~~~~~~~ P(A) = \frac{6}{6^3} = \frac{1}{36} $$
この答えは別に間違っているわけではないが，このような答えを書く際，もしくはそれ以前に，次のような疑問を感じた人はいないだろうか．
- $P(\cdot)$って関数？ だとすると，$P$の定義域と値域って何？
- 全事象（標本空間）を$\Omega$（有限）としたとき，何で$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$で定義されてるん？
- $\Omega$の要素数が無限にあるとき，$P(A)$ってどうなるん？
ってか，これに疑問を持った人ははっきり言って数学科に向いてますw
この確率論小ゼミとは
この確率論小ゼミでは，確率の概念を1から丁寧にわかりやすく解説していくつもりである．但し，ある程度集合論（大学教養レベル）の知識を有しているのが望ましい．今回は，集合体, $\sigma$-集合体, 可測空間について解説していく．
集合体
集合体とは
標本空間$\Omega$上の集合体とは，次の[1], [2], [3]を満たす集合族$\mathscr{A}$のことである.
[1] $\Omega \in \mathscr{A}$
[2] $A \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ A^c \in \mathscr{A}$
[3] $A, B \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ A \cup B \in \mathscr{A}$
この定義を言葉で書くと，次のようになる．
- 全体集合（標本空間）は$\mathscr{A}$に入っている．
- $\mathscr{A}$から1つの要素を取り出したとき，その補集合も$\mathscr{A}$に入っている．
- $\mathscr{A}$から2つの要素を取り出したとき，その和集合も$\mathscr{A}$に入っている．
$\mathscr{A}$（\mathscr{A}）はAの花文字よ．集合族であることを強調するために花文字が使われてるんよ．文献によっては，$\mathcal{A}$（\mathcal{A}）だったり，$\mathfrak{A}$（\mathfrak{A}）だったりするから，そこら辺は臨機応変に対応してねw
- $\mathscr{A}$は集合族，つまり集合の集合である．
- $A^c$は$A$の補集合であり，$\Omega$上であれば，$A^c = \Omega \backslash A$ と書ける．
集合体の例
さて，次の例で集合体について理解を深めよう．
$\Omega = \{1, 2, 3\}$とする．このとき，次の集合族$\mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3$は$\Omega$上の集合体である．
\begin{align}~~~~~~~~
\mathscr{A}_1 &= \{\varnothing, \Omega\}\\
\mathscr{A}_2 &= \{\varnothing, \{1\}, \{2, 3\}, \Omega\}\\
\mathscr{A}_3 &= 2^\Omega = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \Omega\}
\end{align}
$\mathscr{A}_1$について
- $\Omega \in \mathscr{A}$よりok．
- $\varnothing^c = \Omega \in \mathscr{A}$よりok．
- $\varnothing, \Omega \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ \varnothing \cup \Omega = \Omega \in \mathscr{A}$よりok．
$\mathscr{A}_2$について
- $\Omega \in \mathscr{A}$よりok．
- $\{1\}^c = \{2, 3\} \in \mathscr{A}$よりok．
- $\{1\}, \{2, 3\} \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ \{1\} \cup \{2, 3\} = \Omega \in \mathscr{A}$よりok．
$\mathscr{A}_3$について
- $\Omega \in \mathscr{A}$よりok．
- $\{1\}^c = \{2, 3\} \in \mathscr{A}$，$\{2\}^c = \{1, 3\} \in \mathscr{A}$，$\{3\}^c = \{1, 2\} \in \mathscr{A}$よりok．
- $A, B \in \mathscr{A}$とする．このとき，$A, B \subset \Omega$より，$A \cup B \subset \Omega$である．よって，$A \cup B \in 2^\Omega = \mathscr{A}$．
集合体の性質
$n$をある自然数とし，$\mathscr{A}$を$\Omega$上の集合体とする．このとき，次が成り立つ．
$$~~~~~~~~
A_1, \ldots, A_n \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathscr{A}
$$
証明を見る
$n=1$のとき，$A_1 \in \mathscr{A}$であるから，$\bigcup_{i=1}^1 A_i \in \mathscr{A}$を得る．一方，$n$まで成り立つと仮定すると，$n+1$のとき，
$$~~~~~~~~ A_1, \ldots, A_n, A_{n+1} \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i = \underbrace{\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right)}_{\in\mathscr{A} ~ (\because ~ \textrm{仮定})} \cup A_{n+1} \in \mathscr{A} $$
故に，全ての$n$に対して，
$$~~~~~~~~ A_1, \ldots, A_n \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathscr{A} $$
が成り立つ．$_{\blacksquare}$
この定理より，任意の$n$に対して，
$$~~~~~~~~\tag{1}\label{eq:1}
A_1, \ldots, A_n \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathscr{A}
$$
が成り立つことがわかったが，$n \to \infty$にしたとき，(\ref{eq:1})式は成り立つだろうか．即ち，次が成り立つか考えよう．
$\mathscr{A}$を$\Omega$上の集合体とする．このとき，次は成り立つだろうか．
$$~~~~~~~~\tag{2}\label{eq:2}
A_1, A_2, \cdots \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathscr{A}
$$
答え
模範解答を見る
(\ref{eq:2})式は常に成り立たない．例えば，無限集合$\Omega$に対して，集合族$\mathscr{A}$を
$$~~~~~~~~ \mathscr{A} = \{A \subset \Omega\,;\,|A| < +\infty ~~ \textrm{or} ~~ |A^c| < +\infty\} $$
で定義する．このとき，$\underline{\mathscr{A}~\textrm{は}~\Omega~\textrm{上の集合体となる}}$．
下線部の証明を見る
- $|\Omega| = +\infty$であるが，$|\Omega^c| = |\varnothing| = 0 < +\infty$より，$\Omega \in \mathscr{A}$．
- $A \in \mathscr{A}$とする．このとき，$A$もしくは$A^c$が有限集合となるため，対称性により$A^c \in \mathscr{A}$．
- $A, B \in \mathscr{A}$とする．$A, B$が有限集合であるとき，$A \cup B$も有限集合である．従って，$A \cup B \in \mathscr{A}$．一方，$A$もしくは$B$が無限集合であるとき，仮定により，その補集合は有限集合であるから，$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$も有限集合となる．従って，$A \cup B \in \mathscr{A}$．$_{\blacksquare}$
今，$\Omega = \mathbb{N} = \{1, 2, \cdots\}$とし，$i=1,2, \cdots$に対して，$A_i = \{2i\}$とする．このとき，
$$~~~~~~~~ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \{2, 4, \cdots\}, ~~~~ \left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)^c = \{1, 3, \cdots\} $$
であるから，$|\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i| = +\infty$，$|\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)^c| = +\infty$より，
$$~~~~~~~~ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \notin \mathscr{A} $$
が分かる．
つまり，集合体は無限和の演算$(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)$には対応していないことから扱いづらいものとなっている．例えば，先ほどの問題の模範解答を見てもらいたい．
$\Omega = \{1, 2, \cdots\}$と定義したわけだが，これを「『表が出るまでコインを投げ続ける』という試行の標本空間」とし，$A_i$を「ちょうど$2i$回目で表が出る事象」とすれば，$\bigcup_{i=1}^\infty A_i$は「偶数回目で表が出る事象」とみなせるが，これは集合体$\mathscr{A}$に入っていないことから，この事象の確率が定義できなくなってしまう（確率の定義は小ゼミ第2回で説明）．
この問題点を解決するために，$\sigma$-集合体というものを次に導入する．
ネタバレすると，確率$P$の定義域が$\sigma$-集合体なんよ．
$\sigma$-集合体
$\sigma$-集合体とは
標本空間$\Omega$上の$\sigma$-集合体（$\sigma$-field）とは，次の[1], [2], [3']を満たす集合族$\mathscr{F}$のことである.
[1] $\Omega \in \mathscr{F}$
[2] $A \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ A^c \in \mathscr{F}$
[3'] $A_1, A_2, \cdots \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{F}$
この$\sigma$-集合体は，集合体の定義[3]：$A, B \in \mathscr{A} ~ \Longrightarrow ~ A \cup B \in \mathscr{A}$を[3']：$A_1, A_2, \cdots \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{F}$に変えたものである．
$\sigma$-集合体の性質
$\mathscr{F}, \mathscr{F}_1, \mathscr{F}_2, \cdots$を$\Omega$上の$\sigma$-集合体とする．このとき，以下が成り立つ．
- $\mathscr{F}$は集合体である．
- $\displaystyle \mathscr{G} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathscr{F}_n$は$\Omega$上の$\sigma$-集合体である．
- $\mathcal{A} \subset 2^{\Omega}$とする．このとき，$\mathcal{A}$を含む最小な$\Omega$上の$\sigma$-集合体が存在する．
証明を見る
集合体の定義[3]が成り立つことを示せば良い．$A, B \in \mathscr{F}$とする．今，$\varnothing = \Omega^c \in \mathscr{F}$が成り立つから，$A_1=A,~ A_2=B,~ A_3=A_4=\cdots=\varnothing$とすれば，$A_1, A_2, \cdots \in \mathscr{F}$である．よって，$$~~~~~~~~ A \cup B = \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathscr{F}．_\blacksquare $$証明を見る
- 全ての$n$に対して，$\Omega \in \mathscr{F}_{n}$であるから，$$~~~~~~~~
\Omega \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathscr{F}_{n} = \mathscr{G}．
$$
- $A \in \mathscr{G}$とする．このとき，全ての$n$に対して，$A \in \mathscr{F}_{n}$であり，$A^{c} \in \mathscr{F}_{n}$となるから，$$~~~~~~~~
A^{c} \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathscr{F}_{n} = \mathscr{G}．
$$
- $A_{1}, A_{2}, \cdots \in \mathscr{G}$とする．このとき，全ての$n$に対して，$A_{1}, A_{2}, \cdots \in \mathscr{F}_{n}$であり，$$~~~~~~~~
\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i} \in \mathscr{F}_{n}
$$
となるから，$$~~~~~~~~ \bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i} \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathscr{F}_{n} = \mathscr{G}． $$
- 全ての$n$に対して，$\Omega \in \mathscr{F}_{n}$であるから，$$~~~~~~~~
\Omega \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathscr{F}_{n} = \mathscr{G}．
$$
証明を見る
$\mathfrak{F}_{\mathcal{A}}$を$\mathcal{A}$を含む$\Omega$上の$\sigma$-集合体の集合とする．即ち，
$$~~~~~~~~ \mathfrak{F}_{\mathcal{A}} = \{\mathscr{F}\,|\,\mathcal{A} \subset \mathscr{F},~\mathscr{F}~\textrm{は}\sigma\textrm{-集合体}\} $$
であるとする．今，$\mathscr{G}$を
$$~~~~~~~~ \mathscr{G} = \bigcap_{\mathscr{F} \in \mathfrak{F}_{\mathcal{A}}} \mathscr{F} $$
により定義すると，(2)と同様に$\mathscr{G}$も$\Omega$上の$\sigma$-集合体となることが示せる．よって，$\mathfrak{F}_\mathcal{A}$が空集合でないことに注意すると，任意の$\mathscr{F} \in \mathfrak{F}_\mathcal{A}$に対して，
$$~~~~~~~~ \mathcal{A} \subset \mathscr{G} \subset \mathscr{F} $$
が成り立つから，$\mathscr{G}$は$\mathcal{A}$を含む最小な$\sigma$-集合体となる．$_\blacksquare$
この(3)の定理は特に重要で，例えば，サイコロを1回だけ投げたとき，我々が$\{\textrm{出目が5, 6}\}, \{\textrm{出目が4, 5, 6}\}$という情報だけに興味を持ったとき，これらが起こったか，起こらなかったかという情報をまとめることができて，それが最小な$\sigma$-集合体となる．
最小な$\sigma$-集合体の生成
$\mathcal{A} \subset 2^{\Omega}$とする．このとき，$\mathcal{A}$を含む最小な$\Omega$上の$\sigma$-集合体を$\sigma(\mathcal{A})$で表す．
最小な$\Omega$上の$\sigma$-集合体の構成については，実際に次の問を解いて理解を深めて欲しい．
$A_1, A_2, A_3, A_4$が$\Omega$の分割であるとする．つまり，
$$~~~~~~~~
\Omega = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4,~~~~ A_i \cap A_j = \varnothing ~~ (i \neq j;~ i,j = 1, 2, 3, 4)
$$
である．このとき，$\mathcal{A} = \{A_1, A_2, A_3, A_4\}$を含む最小な$\Omega$上の$\sigma$-集合体$\sigma(\mathcal{A})$を構成せよ．
模範解答を見る
$\mathscr{F} = \{\textcolor{red}{\varnothing}, \textcolor{red}{\Omega}\}$から始める．- まず，$\mathcal{A}$の要素$A_1, A_2, A_3, A_4$が入っていないといけないので，これらを$\mathscr{F}$に入れる．すると，
$$~~~~~~~~ \mathscr{F} = \{\varnothing, \textcolor{red}{A_1}, \textcolor{red}{A_2}, \textcolor{red}{A_3}, \textcolor{red}{A_4}, \Omega\} $$ - 次に$\Omega$上の$\sigma$-集合体の定義[2]：
$$~~~~~~~~ A \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ A^c \in \mathscr{F} $$
を満たすように$\mathscr{F}$を更新する．すると，
$$~~~~~~~~ \mathscr{F} = \{\varnothing, A_1, A_2, A_3, A_4, \textcolor{red}{A_1 \cup A_2 \cup A_3}, \textcolor{red}{A_1 \cup A_2 \cup A_4}, \textcolor{red}{A_1 \cup A_3 \cup A_4}, \textcolor{red}{A_2 \cup A_3 \cup A_4}, \Omega\} $$ - 続いて$\Omega$上の$\sigma$-集合体の定義[3']：
$$~~~~~~~~ A_1, A_2, \cdots \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{F} $$
を満たすように$\mathscr{F}$を更新する（というよりも「$\sigma$-集合体は集合体なので，集合体の定義[3]：$A, B \in \mathscr{F} ~ \Rightarrow ~ A \cup B \in \mathscr{F}$を満たすように$\mathscr{F}$を更新する」と言ったほうがわかりやすいかもしれない）．すると，
$$~~~~~~~~ \mathscr{F} = \{\varnothing, A_1, A_2, A_3, A_4, \textcolor{red}{A_1 \cup A_2}, \textcolor{red}{A_1 \cup A_3}, \textcolor{red}{A_1 \cup A_4}, \textcolor{red}{A_2 \cup A_3}, \textcolor{red}{A_2 \cup A_4}, \textcolor{red}{A_3 \cup A_4}, A_1 \cup A_2 \cup A_3, A_1 \cup A_2 \cup A_4, A_1 \cup A_3 \cup A_4, A_2 \cup A_3 \cup A_4, \Omega\} $$ - 今度は，先ほど追加された要素に対して，$\sigma$-集合体の定義[2]を適用させ，$\mathscr{F}$を更新する．しかし，それらの要素は全て入っており，これ以上更新する要素もない．これで，$\mathcal{A}$を含む最小な$\sigma$-集合体が構成できた．
よって，
$$~~~~~~~~ \sigma(\mathcal{A}) = \{\varnothing, A_1, A_2, A_3, A_4, A_1 \cup A_2, A_1 \cup A_3, A_1 \cup A_4, A_2 \cup A_3, A_2 \cup A_4, A_3 \cup A_4, A_1 \cup A_2 \cup A_3, A_1 \cup A_2 \cup A_4, A_1 \cup A_3 \cup A_4, A_2 \cup A_3 \cup A_4, \Omega\} $$
可測空間
可測空間とは
$\mathscr{F}$を標本空間$\Omega$上の$\sigma$-集合体とする．このとき，組$(\Omega, \mathscr{F})$を可測空間という．また，$\mathscr{F}$の元$A$は$\Omega$上の$\mathscr{F}$-可測集合という．
この可測集合が，高校数学（数A 確率）の授業で習った「事象」という言葉に当たる．
演習問題
$(\Omega, \mathscr{F})$を可測空間とする．このとき，以下が成り立つことを示せ．
- $\varnothing \in \mathscr{F}$
- $A_1, \ldots, A_n \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ \displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathscr{F}$
- $A, B \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ A \cap B \in \mathscr{F}$
- $A_{1}, A_{2}, \cdots \in \mathscr{F} ~ \Longrightarrow ~ \displaystyle \limsup_{n \to \infty}A_{n},~ \liminf_{n \to \infty}A_{n} \in \mathscr{F}$
解答
模範解答を見る
$\varnothing = \Omega^c \in \mathscr{F}$． $_\blacksquare$模範解答を見る
$A_{n+1} = A_{n+2} = \cdots = \varnothing$とすれば，(1)より$A_1, A_2, \cdots \in \mathscr{F}$であるから，
\begin{equation}~~~~~~~~ \bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{F}． ~~ _\blacksquare \end{equation}模範解答を見る
$A, B \in \mathscr{F}$より，$A^c, B^c \in \mathscr{F}$ であるから，(2)より$A^c \cup B^c \in \mathscr{F}$となる．よって，$A \cap B = (A^c \cup B^c)^c \in \mathscr{F}$．$_\blacksquare$模範解答を見る
次の等式が成り立つことに注意する．
$$~~~~~~~~ \limsup_{n \to \infty}A_{n} = \inf_{n \geq 1} \sup_{m \geq n}A_{m} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m} $$
任意の正の整数$n$に対して，$B_{n} = \bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}$ とする．これは，$C_{i} = A_{i} ~ (i \geq n)$，$C_{i} = \varnothing ~ (i < n)$とすれば，$C_{i} \in \mathscr{F} ~ (i = 1, 2, \cdots)$であるから，
$$~~~~~~~~ B_{n} = \bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m} = \bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i} \in \mathscr{F} $$
が成り立つ．従って，$B_{1}, B_{2}, \cdots \in \mathscr{F}$より，$B_{1}^{c}, B_{2}^{c}, \cdots \in \mathscr{F}$であり，$\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}^{c} \in \mathscr{F}$となり，$\bigcap_{i=1}^{\infty}B_{i} = \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}^{c}\right)^{c} \in \mathscr{F}$ を得る．よって，
$$~~~~~~~~ \limsup_{n \to \infty}A_{n} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m} = \bigcap_{n=1}^{\infty}B_{n} \in \mathscr{F}． $$
一方，$A_{1}^c, A_{2}^c, \cdots \in \mathscr{F}$であるから，$\limsup_{n \to \infty}A_{n}^{c} \in \mathscr{F}$を得る．よって，
$$~~~~~~~~ \liminf_{n \to \infty}A_{n} = \sup_{n \geq 1} \inf_{m \geq n}A_{m} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty}A_{m} = \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}^{c}\right)^{c} = \left(\limsup_{n \to \infty}A_{n}^{c}\right)^{c} \in \mathscr{F}．_{\blacksquare} $$
$A, B \subset \Omega$とする．このとき，$A, A \cup B$ を含む最小な$\Omega$上の$\sigma$-集合体を構成せよ．
解答
模範解答を見る
$$~~~~~~~~ \sigma(\{A, A \cup B\}) = \{\varnothing, A, A^{c}, A \cup B, A^{c} \cap B^{c}, A \cup B^{c}, A^{c} \cap B, \Omega\} $$おわりに
この記事で確率論に興味を持ってくだされば幸いですw
実は，この記事を作っている最中，不慮の事故で1回データが消えてしまったのですが，何とかめげずに1から作り，そして書き切ることができましたToT
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