積分botの問題を解いてみた1

\begin{eqnarray} \Re\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-(a+ib)t}dt&=&\Re\Gamma(s) e^{-s\ln(a+ib)}\\ &=&\Re\Gamma(s) e^{-\frac{s}{2}\ln(a^{2}+b^{2})-s\arctan\frac{b}{a}}(a,b>0)\\ &=&\frac{\Gamma(s)\cos\left(s\arctan\frac{b}{a}\right)}{(a^2+b^2)^{\frac{s}{2}}}\\ \end{eqnarray}
これをそのまま元の式に使います。
\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos\left(2s\arctan\frac{x}{\ln\cos x}\right)}{(x^2+\ln^2\cos x)^s}dx=\Re\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\Gamma(2s)}\int_{0}^{\infty}t^{2s-1}e^{-(-\ln\cos x+ix)t}dtdx\\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} =\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2s-1}}{\Gamma(2s)}\int_{0}^{\pi/2} \cos^tx \cos txdxdt=I\\ \end{eqnarray}
後ろの積分は複素積分で求められますが今回は省略します。
\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi/2}\cos^{s-1}x\cos txdx=\frac{\pi}{2^s sB\left(\frac{s+t+1}{2},\frac{s-t+1}{2}\right)} \end{eqnarray}より
\begin{eqnarray} I&=&\pi\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2s-1}}{2^{t+1}}\frac{dt}{\Gamma(2s)}\\ &=&\frac{\pi}{2\ln^{2s}2} \end{eqnarray}
となる。

\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi/2}\ln(x^2+\ln^2\cos x)dx=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos\left(2s\arctan\frac{x}{\ln\cos x}\right)}{(x^2+\ln^2\cos x)^s}dx\\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} &=&\frac{d}{ds}\frac{\pi}{2\ln^{2s}2}\\ &=&\pi\ln\ln2 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}\frac{\ln\cos^2x}{x^2}dx=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2x}{x^2}\frac{\ln\cos^2x}{\sin^2x}dx \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} &=&\int_{0}^{\pi/2}\frac{\ln\cos^2x}{\sin^2x}dx\\ &=&-\cot x\ln\cos^2x+2\int_{0}^{\pi/2}dx\\ &=&-\pi \end{eqnarray}

\begin{align} \int_{0}^{\pi/2}\frac{\ln\cos x}{x^2+\ln^2\cos x}dx =\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{\ln\cos x+ix} \end{align}
\begin{eqnarray} &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dx}{\ln\frac{1+e^{2ix}}{2}}\\ &=&\frac{1}{2}P.V.\oint_{|z|=1} \frac{1}{\ln\frac{1+z}{2}}\frac{dz}{z}\\ &=&\frac{\pi}{2}\left(Res_{z=0}-\frac{1}{2}Res_{z=1}\right)\frac{1}{z\ln\frac{1+z}{2}}\\ &=&\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{\ln2}\right) \end{eqnarray}