積分botの問題を解いてみた1

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問題1

$\int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (2 s \arctan \frac{x}{\ln \cos x})}{(x^{2} + \ln^{2} \cos x)^{s}} d x = \frac{π}{2 \ln^{2 s} 2}$

一見難しそうですがラプラス変換を使えば簡単に解けます

$\begin{array}{rcl} Re \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} e^{- (a + i b) t} d t & = & Re Γ (s) e^{- s \ln (a + i b)} \\ = & Re Γ (s) e^{- \frac{s}{2} \ln (a^{2} + b^{2}) - s \arctan \frac{b}{a}} (a, b > 0) \\ = & \frac{Γ (s) \cos (s \arctan \frac{b}{a})}{(a^{2} + b^{2})^{\frac{s}{2}}} \end{array}$
これをそのまま元の式に使います。
$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (2 s \arctan \frac{x}{\ln \cos x})}{(x^{2} + \ln^{2} \cos x)^{s}} d x = Re \int_{0}^{π / 2} \frac{1}{Γ (2 s)} \int_{0}^{\infty} t^{2 s - 1} e^{- (- \ln \cos x + i x) t} d t d x \end{array}$
$\begin{array}{r} = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{2 s - 1}}{Γ (2 s)} \int_{0}^{π / 2} \cos^{t} x \cos t x d x d t = I \end{array}$
後ろの積分は複素積分で求められますが今回は省略します。
$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \cos^{s - 1} x \cos t x d x = \frac{π}{2^{s} s B (\frac{s + t + 1}{2}, \frac{s - t + 1}{2})} \end{array}$ より
$\begin{array}{rcl} I & = & π \int_{0}^{\infty} \frac{t^{2 s - 1}}{2^{t + 1}} \frac{d t}{Γ (2 s)} \\ = & \frac{π}{2 \ln^{2 s} 2} \end{array}$
となる。

上の積分は $s \leq 1 / 2$ で収束するのですが
$s = 1 / 2$ の時は違う値を返します。本来は複素積分で解くべき問題なのでしょう。 $s = 1 / 2$ は積分の順序交換ができなくなるのだと思いますがよくわかっていません。

問題2

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \ln (x^{2} + \ln^{2} \cos x) d x = π \ln \ln 2 \end{array}$

問題1の結果を用いれば簡単にとけます。

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \ln (x^{2} + \ln^{2} \cos x) d x = \frac{d}{d s} \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos (2 s \arctan \frac{x}{\ln \cos x})}{(x^{2} + \ln^{2} \cos x)^{s}} d x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} = & \frac{d}{d s} \frac{π}{2 \ln^{2 s} 2} \\ = & π \ln \ln 2 \end{array}$

あっさりです。

問題3

$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} \frac{\ln \cos^{2} x}{x^{2}} d x = - π \end{array}$

先程までの問題とは違い、対数ではなく三角関数に二乗がついています。
また、積分範囲が0から∞なので
ロバーチェフスキーのディリクレ積分公式が使えそうです。

$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} \frac{\ln \cos^{2} x}{x^{2}} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} \frac{\ln \cos^{2} x}{\sin^{2} x} d x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} = & \int_{0}^{π / 2} \frac{\ln \cos^{2} x}{\sin^{2} x} d x \\ = & - \cot x \ln \cos^{2} x + 2 \int_{0}^{π / 2} d x \\ = & - π \end{array}$

問題4

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \frac{\ln \cos x}{x^{2} + \ln^{2} \cos x} d x = \frac{π}{2} (1 - \frac{1}{\ln 2}) \end{array}$

この問題は自力で解けませんでした。
便利さんから解法を教わりました。
ここには便利さんの解法を載せさせてもらいます。

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \frac{\ln \cos x}{x^{2} + \ln^{2} \cos x} d x = \frac{1}{2} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{d x}{\ln \cos x + i x} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} = & \frac{1}{2} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{d x}{\ln \frac{1 + e^{2 i x}}{2}} \\ = & \frac{1}{2} P . V . \oint_{| z | = 1} \frac{1}{\ln \frac{1 + z}{2}} \frac{d z}{z} \\ = & \frac{π}{2} (R e s_{z = 0} - \frac{1}{2} R e s_{z = 1}) \frac{1}{z \ln \frac{1 + z}{2}} \\ = & \frac{π}{2} (1 - \frac{1}{\ln 2}) \end{array}$