数学作問2 解説

$F(x)$を用いて問題の極限を表すと,
$$\lim_{n\to\infty}n\bigl(F({\sqrt[n]{2n\pi}})-F({\sqrt[n]{n\pi}})\bigl)$$
平均値の定理より,
$$\bigl(F({\sqrt[n]{2n\pi}})-F({\sqrt[n]{n\pi}})\bigl)=F^{\prime}(c_n)({\sqrt[n]{2n\pi}}-{\sqrt[n]{n\pi}})$$
となるような$c_n$が存在する.$({\sqrt[n]{n\pi}}< c_n<{\sqrt[n]{2n\pi}})$
よって,
$$\lim_{n\to\infty}nF^{\prime}(c_n)({\sqrt[n]{2n\pi}}-{\sqrt[n]{n\pi}})$$
$$\lim_{n\to\infty}n\cdot\sqrt[n]{n\pi}\cdot\sin{(c^{2}_n)}\cdot({\sqrt[n]{2}}-1)$$
次の極限値を求める.
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$$
$\sqrt[n]{n}$は常に1以上であることから,0以上である数列$p_n$を用いて,次のようにおける.
$$\sqrt[n]{n} = 1 + p_n $$
$$ n=(1+p_n)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_nC_k p_n^k>{}_nC_2p_n^2$$
ここから,
$$n>\dfrac{1}{2}n(n-1)p_n^2$$
となり,$p_n$について解くと,
$$p_n<\sqrt{\dfrac{2}{n-1}}$$
から,はさみうちの原理より,
$$\lim_{n\to\infty} p_n =0$$
よって,
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\pi}\cdot\sin{(c^{2}_n)}\cdot\dfrac{2^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}$$

また,$c_n$は,はさみうちの原理より$1$となる.
次の極限は微分の定義($g(x)=2^x$のときの$g^{\prime}(0)$)より,
$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}-0}=\log{2}$$
よってまとめると,
$$ \lim_{n\to\infty}n\int_{\sqrt[n]{n\pi}}^{\sqrt[n]{2n\pi}}\sin{x^2}\,dx=\log{2}\cdot \sin{1}$$