Chu-Zhangの隣接関係式2: q類似

前の記事 で, Chu-Zhangによる隣接関係式からChuによる一般的な変換公式を示した. Chu-Zhangは2012年の論文でその$q$類似を示している.
\begin{align} \Omega(a|b,c,d,e):=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^n \end{align}
とする.

まず, Abelの補題
\begin{align} \sum_{0\leq n}(A_n-A_{n-1})B_n&=\lim_{n\to\infty}A_nB_{n+1}-A_{-1}B_0+\sum_{0\leq n}A_n(B_n-B_{n+1}) \end{align}
において,
\begin{align} A_n&=\frac{(bq,cq;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac a{bc}\right)^n\\ B_n&=\frac{(d,e;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{de}\right)^n \end{align}
とすると,
\begin{align} A_n-A_{n-1}&=\frac{(bq,cq;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac a{bc}\right)^n-\frac{(bq,cq;q)_{n-1}}{(aq/b,aq/c;q)_{n-1}}\left(\frac a{bc}\right)^{n-1}\\ &=\frac{\left(a(1-bq^{n})(1-cq^n)/bc-(1-aq^n/b)(1-aq^n/c)\right)(bq,cq;q)_{n-1}}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac a{bc}\right)^{n-1}\\ &=\frac{\left(a/bc+aq^{2n}-1-a^2q^{2n}/bc)\right)(bq,cq;q)_{n-1}}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac a{bc}\right)^{n-1}\\ &=-\frac{(1-a/bc)(1-aq^{2n})(bq,cq;q)_{n-1}}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac a{bc}\right)^{n-1}\\ &=\frac{1-bc/a}{(1-b)(1-c)}\frac{(1-aq^{2n})(b,c;q)_{n}}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac a{bc}\right)^{n} \end{align}
であり,
\begin{align} B_n-B_{n+1}&=\frac{(d,e;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{de}\right)^n-\frac{(d,e;q)_{n+1}}{(aq/d,aq/e;q)_{n+1}}\left(\frac{aq}{de}\right)^{n+1}\\ &=\frac{((1-aq^{n+1}/d)(1-aq^{n+1}/e)-aq(1-dq^n)(1-eq^n)/de)(d,e;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_{n+1}}\left(\frac{aq}{de}\right)^n\\ &=\frac{(1+a^2q^{2n+2}/de-aq/de-aq^{2n+1})(d,e;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_{n+1}}\left(\frac{aq}{de}\right)^n\\ &=\frac{(1-aq/de)(1-aq^{2n+1})(d,e;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_{n+1}}\left(\frac{aq}{de}\right)^n\\ &=\frac{1-aq/de}{(1-aq/d)(1-aq/e)}\frac{(1-aq^{2n+1})(d,e;q)_n}{(aq^2/d,aq^2/e;q)_{n}}\left(\frac{aq}{de}\right)^n \end{align}
であるから, これらを代入すると
\begin{align} &\frac{1-bc/a}{(1-b)(1-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e;q)_{n}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^n\\ &=-\frac{(1-a/b)(1-a/c)}{(1-b)(1-c)}\frac{bc}a+\frac{1-aq/de}{(1-aq/d)(1-aq/e)}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n+1})(bq,cq,d,e;q)_n}{(aq/b,aq/c,2q^2/d,aq^2/e;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^n \end{align}
つまり,
\begin{align} \Omega(a|b,c,d,e)&=\frac{(1-a/b)(1-a/c)}{1-a/bc}+\frac{(1-b)(1-c)(1-aq/de)}{(1-bc/a)(1-aq/d)(1-aq/e)}\Omega(aq|bq,cq,d,e) \end{align}
を得る.

次に, Abelの補題
\begin{align} \sum_{0\leq n}(C_n-C_{n-1})D_n&=\lim_{n\to\infty}C_nD_{n+1}-C_{-1}D_0+\sum_{0\leq n}C_n(D_n-D_{n+1}) \end{align}
において,
\begin{align} C_n&:=\frac{(bq,cde/a;q)_n}{(aq/b,a^2q^2/cde;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^n\\ D_n&:=\frac{(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,cde/aq;q)_n} \end{align}
とすると
\begin{align} C_n-C_{n-1}&=\frac{(bq,cde/a;q)_n}{(aq/b,a^2q^2/cde;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^n-\frac{(bq,cde/a;q)_{n-1}}{(aq/b,a^2q^2/cde;q)_{n-1}}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^{n-1}\\ &=\frac{(a^2q(1-bq^n)(1-cdeq^{n-1}/a)/bcde-(1-aq^n/b)(1-a^2q^{n+1}/cde))(bq,cde/a;q)_{n-1}}{(aq/b,a^2q^2/cde;q)_{n}}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^{n-1}\\ &=\frac{(a^2q/bcde+aq^{2n}-1-a^3q^{2n+1}/bcde)(bq,cde/a;q)_{n-1}}{(aq/b,a^2q^2/cde;q)_{n}}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^{n-1}\\ &=\frac{(1-bcde/a^2q)(1-aq^{2n})(b,cde/aq;q)_{n}}{(aq/b,a^2q^2/cde;q)_{n}}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^{n}\\ &=\frac{1-bcde/a^2q}{(1-b)(1-cde/aq)}\frac{(1-aq^{2n})(b,cde/aq;q)_{n}}{(aq/b,a^2q^2/cde;q)_{n}}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^{n} \end{align}
であり,
\begin{align} D_n-D_{n+1}&=\frac{(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,cde/aq;q)_n}-\frac{(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_{n+1}}{(aq/c,aq/d,aq/e,cde/aq;q)_{n+1}}\\ &=\frac{(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,cde/aq;q)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot((1-aq^{n+1}/c)(1-aq^{n+1}/d)(1-aq^{n+1}/e)(1-cdeq^{n-1}/a)-(1-cq^n)(1-dq^n)(1-eq^n)(1-a^2q^{n+2}/cde))\\ &=\frac{(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,cde/aq;q)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\bigg(\left(c+d+e+\frac{a^2q^2}{cde}-\frac{aq}c-\frac{aq}d-\frac{aq}e-\frac{cde}{aq}\right)q^n\\ &\qquad\qquad+\left(cde+\frac{a^2q^2}{c}+\frac{a^2q^2}d+\frac{a^2q^2}{e}-\frac{a^3q^3}{cde}-acq-adq-aeq\right)q^{3n}\bigg)\\ &=\frac{(1-aq^{2n+1})(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,cde/aq;q)_{n+1}}q^n\\ &\qquad\cdot\bigg(c+d+e+\frac{a^2q^2}{cde}-\frac{aq}c-\frac{aq}d-\frac{aq}e-\frac{cde}{aq}\bigg)\\ &=-\frac{cde(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/de)}{aq}\frac{(1-aq^{2n+1})(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,cde/aq;q)_{n+1}}q^n\\ &=\frac{(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/de)}{(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/cde)}\frac{(1-aq^{2n+1})(c,d,e,a^2q^2/cde;q)_n}{(aq^2/c,aq^2/d,aq^2/e,cde/a;q)_{n}}q^n \end{align}
であるから, これらを代入すると,
\begin{align} &\frac{1-bcde/a^2q}{(1-b)(1-cde/aq)}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,c,d,e;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^{n}\\ &=-\frac{(1-a/b)(1-a^2q/cde)}{(1-b)(1-cde/aq)}\frac{bcde}{a^2q}\\ &\qquad+\frac{(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/de)}{(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-aq/cde)}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n+1})(bq,c,d,e;q)_n}{(aq/b,aq^2/c,aq^2/d,aq^2/e;q)_{n}}\left(\frac{a^2q^2}{bcde}\right)^n \end{align}
つまり,
\begin{align} &\Omega(a|b,c,d,e)\\ &=\frac{(1-a/b)(1-a^2q/cde)}{1-a^2q/bcde}\\ &\qquad+\frac{a(1-b)(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/de)}{b(1-aq/c)(1-aq/d)(1-aq/e)(1-a^2q/bcde)}\Omega(aq|bq,c,d,e) \end{align}
を得る. まとめると, 以下の2つの隣接関係式が得られた.

Chu-Zhangの変換公式

定理1の2つ目の等式より,
\begin{align} &\Omega(aq^k|bq^k,cq^k,d,e)\\ &=\frac{(1-a/b)(1-a/c)}{1-aq^{-k}/bc}+\frac{(1-bq^k)(1-cq^k)(1-aq^{k+1}/de)}{(1-bcq^k/a)(1-aq^{k+1}/d)(1-aq^{k+1}/e)}\Omega(aq^{k+1}|bq^{k+1},cq^{k+1},d,e) \end{align}
であるから, これを
\begin{align} &\frac{(b,c,aq/de;q)_k}{(bc/a,aq/d,aq/e;q)_k}\Omega(aq^k|bq^k,cq^k,d,e)-\frac{(b,c,aq/de;q)_{k+1}}{(bc/a,aq/d,aq/e;q)_{k+1}}\Omega(aq^{k+1}|bq^{k+1},cq^{k+1},d,e)\\ &=\frac{(1-a/b)(1-a/c)}{1-a/bc}\frac{(b,c,aq/de;q)_k}{(bcq/a,aq/d,aq/e;q)_k}q^k \end{align}
と変形して, $k=0$から$\infty$まで足し合わせると
\begin{align} &\Omega(a|b,c,d,e)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(b,c,aq/de;q)_n}{(bc/a,aq/d,aq/e;q)_n}\Omega(aq^n|bq^n,cq^n,d,e)+\frac{(1-a/b)(1-a/c)}{1-a/bc}\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,aq/de;q)_k}{(bcq/a,aq/d,aq/e;q)_k}q^k\\ &=\frac{(b,c,aq/de;q)_{\infty}}{(bc/a,aq/d,aq/e;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(d,e;q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^k+\frac{(1-a/b)(1-a/c)}{1-a/bc}\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,aq/de;q)_k}{(bcq/a,aq/d,aq/e;q)_k}q^k \end{align}
つまり, 以下の表示を得る.

同様に, 定理1の1つ目の等式からは以下が得られる.

証明は古典的な場合と全く同様であり, ${}_8\phi_7$の二項変換公式 の特別な場合であるので, 証明は省略する.

前の記事 で行ったように, 定理1の2つの関係式を繰り返し用いて, より一般的な隣接関係式を得ることができ, そこから様々な変換公式を得ることができる. それに関しては, 今後の記事でまとめていきたいと思う.