Chu-Zhangの隣接関係式
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(b,c,d,e)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e)_n}
\end{align}
とする. Chu-Zhangの2014年の論文で以下の2つの隣接関係式が示されている.
\begin{align} &\Omega(a|b,c,d,e)\\ &=\frac{(1+2a-c-d-e)(a-b)}{1+2a-b-c-d-e}\\ &\qquad+\frac{b(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}{(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-b-c-d-e)}\Omega(a+1|b+1,c,d,e)\\ &=\frac{(a-b)(a-c)}{a-b-c}+\frac{bc(1+a-d-e)}{(1+a-d)(1+a-e)(b+c-a)}\Omega(a+1|b+1,c+1,d,e) \end{align}
この結果の導出については,
この記事
に書かれている. これら繰り返し用いることによって, 任意の整数の組$(A,B,C,D,E)$に対して,
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=W_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\Omega(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)
\end{align}
という形の隣接関係式を得ることができる. ここで,
\begin{align}
W_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e), H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)
\end{align}
は$A,B,C,D,E$に対して定まる$a,b,c,d,e$の有理関数である. これはChuによる2021年の論文で調べられているものである. 組$(A,B,C,D,E)$を反復パターンといい, $[A|B,C,D,E]$と書くことにする. 特に$A,B,C,D,E$が1桁の非負整数のとき, 例えば$(A,B,C,D,E)=(3,1,1,1,1)$の場合$[31111]$のような略記を用いる.
1つだけずらした場合
実際に任意の反復パターン$[A|B,C,D,E]$に対して上のような関係式が得られることを確認する. $\Omega(a|b,c,d,e)$は$b,c,d,e$に対して対称であるから, 反復パターン$[10000]$と$[01000]$の場合にこのような関係式があれば, それらを繰り返し用いて全ての反復パターンの場合が分かる.
まず, 定理1の1つ目の式において$c\mapsto c+1$として,
\begin{align}
&\Omega(a|b,c+1,d,e)\\
&=\frac{(2a-c-d-e)(a-b)}{2a-b-c-d-e}\\
&\qquad+\frac{b(a-c-d)(a-c-e)(1+a-d-e)}{(a-c)(1+a-d)(1+a-e)(2a-b-c-d-e)}\Omega(a+1|b+1,c+1,d,e)
\end{align}
ここで, 定理1の2つ目の式を
\begin{align}
\Omega(a+1|b+1,c+1,d,e)=\frac{(1+a-d)(1+a-e)(b+c-a)}{bc(1+a-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)+\frac{(a-b)(a-c)(1+a-d)(1+a-e)}{bc(1+a-d-e)}
\end{align}
と変形して上の式に代入すると,
\begin{align}
&\Omega(a|b,c+1,d,e)\\
&=\frac{(2a-c-d-e)(a-b)}{2a-b-c-d-e}\\
&\qquad+\frac{b(a-c-d)(a-c-e)(1+a-d-e)}{(a-c)(1+a-d)(1+a-e)(2a-b-c-d-e)}\\
&\qquad\cdot\left(\frac{(1+a-d)(1+a-e)(b+c-a)}{bc(1+a-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)+\frac{(a-b)(a-c)(1+a-d)(1+a-e)}{bc(1+a-d-e)}\right)\\
&=\frac{(2a-c-d-e)(a-b)}{2a-b-c-d-e}\\
&\qquad-\frac{(a-c-b)(a-c-d)(a-c-e)}{c(a-c)(2a-b-c-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)+\frac{(a-c-d)(a-c-e)(a-b)}{c(2a-b-c-d-e)}\\
&=\frac{a-b}{c(2a-b-c-d-e)}\left(c(2a-c-d-e)+(a-c-d)(a-c-e)\right)\\
&\qquad-\frac{(a-c-b)(a-c-d)(a-c-e)}{c(a-c)(2a-b-c-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)\\
&=\frac{(a-b)(a-d)(a-e)}{c(2a-b-c-d-e)}-\frac{(a-c-b)(a-c-d)(a-c-e)}{c(a-c)(2a-b-c-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)
\end{align}
となる. つまり,
\begin{align}
&\Omega(a|b,c,d,e)\\
&=\frac{(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)}{(a-c-b)(a-c-d)(a-c-e)}-\frac{c(a-c)(2a-b-c-d-e)}{(a-c-b)(a-c-d)(a-c-e)}\Omega(a|b,c+1,d,e)
\end{align}
が得られた. $b,c$を入れ替えて
\begin{align}
&\Omega(a|b,c,d,e)\\
&=\frac{(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)}{(a-b-c)(a-b-d)(a-b-e)}-\frac{b(a-b)(2a-b-c-d-e)}{(a-b-c)(a-b-d)(a-b-e)}\Omega(a|b+1,c,d,e)
\end{align}
となって反復パターン$[01000]$の場合の隣接関係式が得られた. 次に, 上の式で$a\mapsto a+1$とすると,
\begin{align}
&\Omega(a+1|b,c,d,e)\\
&=\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)}-\frac{b(1+a-b)(2+2a-b-c-d-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)}\Omega(a+1|b+1,c,d,e)
\end{align}
となる. 定理1の1つ目の式を
\begin{align}
&\Omega(a+1|b+1,c,d,e)\\
&=\frac{(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-b-c-d-e)}{b(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)\\
&\qquad-\frac{(a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-c-d-e)}{b(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}
\end{align}
と書き換えて上の式に代入すると,
\begin{align}
&\Omega(a+1|b,c,d,e)\\
&=\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)}-\frac{b(1+a-b)(2+2a-b-c-d-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)}\\
&\qquad\bigg(\frac{(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-b-c-d-e)}{b(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)\\
&\qquad-\frac{(a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-c-d-e)}{b(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}\bigg)\\
&=\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)}\\
&\qquad-\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-b-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(a-b)(1+2a-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}\\
&=\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}\\
&\qquad\cdot\left((a-b)(1+2a-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)+(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)\right)\\
&\qquad -\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-b-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)}{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}\Omega(a|b,c,d,e)
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&\Omega(a|b,c,d,e)\\
&=\frac{(a-b)(1+2a-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)+(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}{(1+2a-b-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)}\\
&\qquad-\frac{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-b-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)}\Omega(a+1|b,c,d,e)
\end{align}
となって, 反復パターン$[10000]$の場合も得られた. まとめると以下が得られたことになる.
\begin{align} &\Omega(a|b,c,d,e)\\ &=\frac{(a-b)(1+2a-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)+(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}{(1+2a-b-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)}\\ &\qquad-\frac{(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-d-e)}{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+a-e)(1+2a-b-c-d-e)(2+2a-b-c-d-e)}\Omega(a+1|b,c,d,e)\\ &=\frac{(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)}{(a-b-c)(a-b-d)(a-b-e)}-\frac{b(a-b)(2a-b-c-d-e)}{(a-b-c)(a-b-d)(a-b-e)}\Omega(a|b+1,c,d,e) \end{align}
これらを繰り返し用いることによって, 任意の反復パターン$[A|B,C,D,E]$の場合に隣接関係式が得られることがより明確になった.
$H_{A|B,C,D,E}$の明示式
反復パターン$[A|B,C,D,E]$に対する隣接関係式
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=W_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\Omega(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)
\end{align}
の係数$H_{A|B,C,D,E}$に関して, 以下のような明示式がChuによって与えられている.
非負整数$A,B,C,D,E$に対し,
\begin{align}
&H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
&=\frac{(-1)^{A+B+C+D+E}(b)_B(c)_C(d)_D(e)_E(1+a-b-c)_{A-B-C}(1+a-b-d)_{A-B-D}}{(1+a-b)_{A-B}(1+a-c)_{A-C}(1+a-d)_{A-D}(1+a-e)_{A-E}}\\
&\qquad\cdot \frac{(1+a-b-e)_{A-B-E}(1+a-c-d)_{A-C-D}(1+a-c-e)_{A-C-E}(1+a-d-e)_{A-D-E}}{(1+2a-b-c-d-e)_{2A-B-C-D-E}}
\end{align}
が成り立つ.
$A+B+C+D+E$に関する帰納法を用いる. $A=B=C=D=E=0$のときは明らか.
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=W_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\Omega(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)\\
&=W_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
&\qquad\bigg(W_{10000}(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)\\
&\qquad\qquad+H_{10000}(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)\Omega(a+A+1|b+B,c+C,d+D,e+E)\bigg)
\end{align}
であることから,
\begin{align}
H_{A+1|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)=H_{10000}(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)
\end{align}
を得る. $A>0$のとき, これに帰納法の仮定と定理2を用いれば示すべき等式が得られる. $B,C,D,E$のいずれかが$0$でないとき, 対称性から$B>0$と仮定して一般性を失わない. 先ほどと同様に
\begin{align}
H_{A|B+1,C,D,E}(a|b,c,d,e)=H_{01000}(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)
\end{align}
であるから, これに帰納法の仮定と定理2を用いれば示すべき等式が得られる.
この証明において用いた等式,
\begin{align}
H_{A+1|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)=H_{10000}(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
H_{A|B+1,C,D,E}(a|b,c,d,e)=H_{01000}(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)
\end{align}
に関しては,
\begin{align}
H_{A+A'|B+B',C+C',D+D',E+E'}(a|b,c,d,e)&=H_{A'|B',C',D',E'}(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)
\end{align}
と一般化することができる. また, 定理3における$A,B,C,D,E$が非負であるという仮定は実際には不要で, 負整数も含む場合には上の証明と同様に$|A|+|B|+|C|+|D|+|E|$に関する帰納法を用いればよい.
Chuの変換公式
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=W_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+H_{A|B,C,D,E}(a|b,c,d,e)\Omega(a+A|b+B,c+C,d+D,e+E)
\end{align}
において,
\begin{align}
(a,b,c,d,e)\mapsto (a+Ak,b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)
\end{align}
として,
\begin{align}
&\Omega(a+Ak|b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)\\
&=W_{A|B,C,D,E}(a+Ak|b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)\\
&\qquad+H_{A|B,C,D,E}(a+Ak|b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)\Omega(a+A(k+1)|b+B(k+1),c+C(k+1),d+D(k+1),e+E(k+1))\\
&=W_{A|B,C,D,E}(a+Ak|b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)\\
&\qquad+\frac{H_{A(k+1)|B(k+1),C(k+1),D(k+1),E(k+1)}(a|b,c,d,e)}{H_{Ak|Bk,Ck,Dk,Ek}(a|b,c,d,e)}\Omega(a+A(k+1)|b+B(k+1),c+C(k+1),d+D(k+1),e+E(k+1))
\end{align}
を得る. これは
\begin{align}
W_k(a|b,c,d,e)&:=W_{A|B,C,D,E}(a+Ak|b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)\\
H_k(a|b,c,d,e)&:=H_{Ak|Bk,Ck,Dk,Ek}(a|b,c,d,e)
\end{align}
とすると(これらは$A,B,C,D,E$に依存するが, 以下の記述を簡潔にするためそれを省略することにする.),
\begin{align}
&H_k(a|b,c,d,e)\Omega(a+Ak|b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)\\
&\qquad-H_{k+1}(a|b,c,d,e)\Omega(a+A(k+1)|b+B(k+1),c+C(k+1),d+D(k+1),e+E(k+1))\\
&=W_k(a|b,c,d,e)H_k(a|b,c,d,e)
\end{align}
と書き換えられる. ここで, この式を$k=0$から$k=n-1$まで足し合わせると,
\begin{align}
&\Omega(a|b,c,d,e)-H_n(a|b,c,d,e)\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}W_k(a|b,c,d,e)H_k(a|b,c,d,e)
\end{align}
が得られる. つまり, 以下が得られた.
反復パターン$[A|B,C,D,E]$と非負整数$n$に対し,
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=\sum_{k=0}^{n-1}W_k(a|b,c,d,e)H_k(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+H_n(a|b,c,d,e)\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
W_k(a|b,c,d,e)&:=W_{A|B,C,D,E}(a+Ak|b+Bk,c+Ck,d+Dk,e+Ek)\\
H_k(a|b,c,d,e)&:=H_{Ak|Bk,Ck,Dk,Ek}(a|b,c,d,e)
\end{align}
である.
Stirlingの公式より
\begin{align}
(x)_n=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\sim\sqrt{\frac{2\pi}{x+n}}\frac{(x+n)^{x+n}e^{-x-n}}{\Gamma(x)}=O(n^{n+x-\frac 12}e^{-n})
\end{align}
であることと定理2より, ある定数$f$があって,
\begin{align}
H_n(a|b,c,d,e)=O(n^f\Delta(A|B,C,D,E)^n)
\end{align}
と書ける. ここで,
\begin{align}
\Delta(A|B,C,D,E)&:=\frac{(-1)^{A+B+C+D+E}\delta(B)\delta(C)\delta(D)\delta(E)}{\delta(A-B)\delta(A-C)\delta(A-D)\delta(A-E)}\\
&\qquad\cdot\frac{\delta(A-B-C)\delta(A-B-D)\delta(A-B-E)\delta(A-C-D)\delta(A-C-E)\delta(A-D-E)}{\delta(2A-B-C-D-E)}\\
\delta(n)&:=\begin{cases}
n^n&&n\neq 0\\
1&&n=0
\end{cases}
\end{align}
と定義される. $|\Delta(A|B,C,D,E)|<1$であるとき, 定理4の級数は$n\to\infty$で絶対収束し
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=\sum_{0\leq k}W_k(a|b,c,d,e)H_k(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+\lim_{n\to\infty}H_n(a|b,c,d,e)\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)
\end{align}
を得る. Chuの2021年の論文において, この場合はWeierstrassの$M$判定法から
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}H_n(a|b,c,d,e)\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)=0
\end{align}
となって,
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=\sum_{0\leq k}W_k(a|b,c,d,e)H_k(a|b,c,d,e)
\end{align}
が得られると書かれている. しかしながら, Chu-Zhangの2013年の論文においては反復パターン$[33111]$の場合に
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}H_n(a|b,c,d,e)\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)\neq 0
\end{align}
となっているようである. よって, $|\Delta(A|B,C,D,E)|<1$であったとしてもこの極限は$0$に行くとは限らないようである. つまり, 以下のようになる.
反復パターン$[A|B,C,D,E]$が
\begin{align}
|\Delta(A|B,C,D,E)|<1
\end{align}
を満たしているとき,
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=\sum_{0\leq k}W_k(a|b,c,d,e)H_k(a|b,c,d,e)\\
&\qquad+\lim_{n\to\infty}H_n(a|b,c,d,e)\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)
\end{align}
が成り立つ.
この定理から得られる具体的な公式の例は, この記事 に書かれている.
実際にWeierstrassの$M$判定法から級数と極限を入れ替えられる場合は
\begin{align}
&\lim_{n\to\infty}\frac 1n\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{0\leq k}\frac{(2k+a+An)(a+An,b+Bn,c+Cn,d+Dn)_k}{(1+a-b+(A-B)n,1+a-c+(A-C)n,1+a-d+(A-D)n,1+a-e+(A-E)n)_k}\\
&=A\sum_{0\leq k}\left(\frac{BCDE}{(A-B)(A-C)(A-D)(A-E)}\right)^n
\end{align}
が絶対収束する場合, つまり,
\begin{align}
\left|\frac{BCDE}{(A-B)(A-C)(A-D)(A-E)}\right|<1
\end{align}
の場合である. そのとき,
\begin{align}
\Omega(a+An|b+Bn,c+Cn,d+Dn,e+En)=O(n)
\end{align}
となるから, 以下の系を得る.
反復パターン$[A|B,C,D,E]$が
\begin{align}
|\Delta(A|B,C,D,E)|<1, \left|\frac{BCDE}{(A-B)(A-C)(A-D)(A-E)}\right|<1
\end{align}
を満たしているとき,
\begin{align}
\Omega(a|b,c,d,e)&=\sum_{0\leq k}W_k(a|b,c,d,e)H_k(a|b,c,d,e)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\left|\frac{BCDE}{(A-B)(A-C)(A-D)(A-E)}\right|<1
\end{align}
は若干強い仮定のように見えるので, もう少し条件を緩くできるのではないかと思われるところであり, それは今後の研究課題と言えるかもしれない.
系1は$\Omega(a|b,c,d,e)$に関する, 収束率が
\begin{align}
\Delta(A|B,C,D,E)
\end{align}
であるような級数を与えている.
