フーリエ展開と行列

与えられた積分をそれぞれ部分積分する事で以下の連立方程式を得る．
$$\{\begin{array}{rl}& I_m=-\frac{(2\pi {)}^m}{n}+\frac{m}{n}{J}_{m-1}\\ & J_m=\frac{m}{n}{I}_{m-1}\end{array}$$
そこで，以下の様にこれらを置きなおす．
$${\mathit{x}}_m=\left(\begin{array}{c}{I}_m\\ J_m\end{array}\right),A_m=\frac{m}{n}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\frac{m}{n}J,{\mathit{ϵ}}_m=-\frac{(2\pi {)}^m}{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$
すると次の様な線形漸化式を得る．
$$\{\begin{array}{rl}& {\mathit{x}}_m=A_m{\mathit{x}}_{\mathit{m}\mathbf{-}\mathbf{1}}+{\mathit{ϵ}}_m\\ & {\mathit{x}}_0=\mathbf{0}\end{array}$$
次に${\mathit{x}}_m=A_m{A}_{m-1}\cdots A_1{\mathit{y}}_m$と置きなおす．
すると$A_m{A}_{m-1}\cdots A_1=\frac{m!}{n^m}{J}^m$より，次の様に書き直す事ができる．
$$\frac{m!}{n^m}{J}^m({\mathit{y}}_m-{\mathit{y}}_{m-1})={\mathit{ϵ}}_m$$
よって，$J^4=E$である事を用いて${\mathit{y}}_m$を求めると次のようになる．
$${\mathit{y}}_m={\mathit{y}}_0+\sum _{k=1}^m\frac{n^k}{k!}{J}^{3k}{\mathit{ϵ}}_k$$
以上より
$${\mathit{x}}_m=\frac{m!}{n^m}{J}^m({\mathit{y}}_0+\sum _{k=1}^k\frac{n^k}{k!}{J}^{3m}{\mathit{ϵ}}_k)$$
また，${\mathit{x}}_0=0$より${\mathit{y}}_0=0$．
この事から，証明すべき事は示された．
$${\mathit{x}}_m=\left(\begin{array}{c}{I}_m\\ J_m\end{array}\right)=-\frac{m!}{n^m}{J}^m\sum _{k=1}^m\frac{(2\pi n{)}^k}{k!}{J}^{3k}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$