こんにちは。
今回はフーリエ展開で遊んでみたいと思い．フーリエ展開と行列との間に成り立つ関係式について考えてみました．とっても簡単なのでぜひ読んで頂けると嬉しいです．
$m,n \in \mathbb{N}$とする．
\begin{eqnarray}
\left \{ \,
\begin{aligned}
&I_m(n)=I_m=\int_0^{2\pi}x^m\sin{nx}dx\\
&J_m(n)=J_m=\int_0^{2\pi}x^m\cos{nx}dx
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
とすると，次式が成り立つ．
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
I_m(n) \\
J_m(n)
\end{pmatrix}=
-\frac{m!}{n^{m}}J^{m}\sum_{k=1}^{m}\frac{(2\pi n)^k}{k!}J^{3k}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation}
ただし，$J=\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$．
与えられた積分をそれぞれ部分積分する事で以下の連立方程式を得る．
\begin{equation}
\left \{ \,
\begin{aligned}
&I_m=-\frac{(2\pi)^{m}}{n}+\frac{m}{n}J_{m-1}\\
&J_m=\frac{m}{n}I_{m-1}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
そこで，以下の様にこれらを置きなおす．
\begin{equation}
\boldsymbol{x}_m=\begin{pmatrix}
I_m \\
J_m
\end{pmatrix}, \ A_m=\frac{m}{n}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}=\frac{m}{n}J, \ \boldsymbol{\epsilon}_{m}=-\frac{(2\pi)^m}{n}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation}
すると次の様な線形漸化式を得る．
\begin{equation}
\left \{ \,
\begin{aligned}
&\boldsymbol{x}_m=A_m\boldsymbol{x_{m-1}}+\boldsymbol{\epsilon}_m\\
&\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{0}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
次に$\boldsymbol{x}_m=A_mA_{m-1}\cdots A_1\boldsymbol{y}_m$と置きなおす．
すると$A_mA_{m-1}\cdots A_1=\frac{m!}{n^{m}}J^{m}$より，次の様に書き直す事ができる．
\begin{equation}
\frac{m!}{n^{m}}J^{m}(\boldsymbol{y}_m-\boldsymbol{y}_{m-1})=\boldsymbol{\epsilon}_{m}
\end{equation}
よって，$J^4=E$である事を用いて$\boldsymbol{y}_m$を求めると次のようになる．
\begin{equation}
\boldsymbol{y}_m=\boldsymbol{y}_0+\sum_{k=1}^{m}\frac{n^k}{k!}J^{3k}\boldsymbol{\epsilon}_k
\end{equation}
以上より
\begin{equation}
\boldsymbol{x}_m=\frac{m!}{n^{m}}J^{m}(\boldsymbol{y}_0+\sum_{k=1}^{k}\frac{n^k}{k!}J^{3m}\boldsymbol{\epsilon}_k)
\end{equation}
また，$\boldsymbol{x}_0=0$より$\boldsymbol{y}_0=0$．
この事から，証明すべき事は示された．
\begin{equation}
\boldsymbol{x}_m=\begin{pmatrix}
I_m \\
J_m
\end{pmatrix}=-\frac{m!}{n^m}J^{m}\sum_{k=1}^{m}\frac{(2\pi n)^k}{k!}J^{3k}\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{equation}
区間$[0,2\pi] $で積分可能な冪級数$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$を基底$\{ 1,\sin{nx}, \cos{nx} \}_{n}$によりフーリエ展開した場合次のように書ける．
\begin{equation}
f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}a_l\frac{(2\pi)^l}{l+1}
-\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty k!a_k \sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^k}\sum_{m=1}^{l}\frac{(2\pi l)^{m}}{m!}\begin{pmatrix}
\sin{lx} \ \cos{lx}
\end{pmatrix}J^{k+3m}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
x=\pi - \frac{1}{\pi}\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l}\sum_{m=1}^{l}\frac{(2\pi)^m}{m!}\begin{pmatrix}
\sin{lx} \ \cos{lx}
\end{pmatrix}J^{3m+1}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation}
特に$\frac{\pi}{2}$とした場合は
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}= \frac{1}{\pi}\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l}\sum_{m=1}^{l}\frac{(2\pi)^m}{m!}\begin{pmatrix}
\sin{\frac{l\pi}{2}} \ \cos{\frac{l\pi}{2}}
\end{pmatrix}J^{3m+1}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation}