終結式について
この記事では、多項式$f(x),g(x)$のシルベスター行列の行列式として定義された終結式が$f(x)=0$と$g(x)=0$の解の差積になっていることを示す。
体$K$上の多項式$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0,g(x)=b_mx^m+\cdots+b_0$に対し、終結式$\mathrm{Res}(f,g)$を以下のように定義する。
\begin{equation}
S=
\begin{pmatrix}
a_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots &a_0&& \\
& \ddots & \ddots &&&\ddots&\\
& & a_n & a_{n-1}&\cdots&\cdots&a_0\\
b_m & b_{m-1}&\cdots& b_0&&&\\
&\ddots&\ddots&&\ddots&&\\
&&\ddots&\ddots&&\ddots&\\
&&&b_m&b_{m-1}&\cdots&b_0
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{Res}(f,g)=|S|
\end{equation}
ここで定義した行列$S$をシルベスター行列という。
$\overline{K}$における$f(x)=0$の解を$\alpha_1,\dots,\alpha_n$、$g(x)=0$の解を$\beta_1,\dots,\beta_m$とすると、
\begin{equation}
\mathrm{Res}(f,g)=a_n^mb_m^n\prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)
\end{equation}
以下のファンデル・モンド行列$V$を考える。
\begin{equation}
V=\begin{pmatrix}
\alpha_1^{m+n-1}&\cdots&\alpha_n^{m+n-1}&\beta_1^{m+n-1}&\cdots&\beta_m^{m+n-1}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\cdots&1&1&\cdots&1
\end{pmatrix}
\end{equation}
上記のファンデル・モンド行列の行列式は、
\begin{equation}
|V|=\prod_{1\leq i < j \leq n}(\alpha_i-\alpha_j)\prod_{1\leq i < j \leq m}(\beta_i-\beta_j)\prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)
\end{equation}
である(
https://manabitimes.jp/math/779
などを参照されたい)。
ここで、
\begin{equation}
SV=\begin{pmatrix}
&&&\beta_1^{m-1}f(\beta_1)&\cdots&\beta_m^{m-1}f(\beta_m)\\
&O&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&&f(\beta_1)&\cdots&f(\beta_m)\\
\alpha_1^{n-1}g(\alpha_1)&\cdots&\alpha_n^{n-1}g(\alpha_n)&&&\\
\vdots&\ddots&\vdots&&O&\\
g(\alpha_1)&\cdots&g(\alpha_n)&&&
\end{pmatrix}
\end{equation}
より、
\begin{align}
|S||V|={}&(-1)^{mn}\prod_if(\beta_i)\prod_ig(\alpha_i)
\begin{vmatrix}
\alpha_1^{n-1}&\cdots&\alpha_n^{n-1}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\cdots&1
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\beta_1^{m-1}&\cdots&\beta_m^{m-1}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\cdots&1
\end{vmatrix}\\
={}&(-1)^{mn}\prod_i\left(a_n\prod_j(\beta_i-\alpha_j)\right)\prod_ig\left(b_m\prod_j(\alpha_i-\beta_j)\right)\prod_{1\leq i < j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)\prod_{1\leq i < j \leq m}(\beta_i-\beta_j)\\
={}&a_n^mb_m^n\left(\prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)\right)^2\prod_{1\leq i < j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)\prod_{1\leq i < j \leq m}(\beta_i-\beta_j)
\end{align}
よって、
\begin{equation}
|S|=a_n^mb_m^n\prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)
\end{equation}
終結式の定義より、$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通解を持つとき、またそのときに限り終結式は0になる。そのため、$f(x)$と$g(x)$が共通解を持つか判定するときに使われる。そのため、$f(x)$と$f'(x)$が共通解を持つか確かめるために用いれば重解の有無を判定できるため自然に判別式を計算できる。また、その他代数方程式を同次のより簡単な代数方程式に帰着するチルンハウス変換においても終結式は用いられる( https://www.uwo.ca/apmaths/faculty/jeffrey/pdfs/Adamchik.pdf など)。
