代数入門(3)〜群論の基礎〜

$X$は空でない集合とする
$x,y\in X$に対し$x〜y$という関係が成り立つ、もしくは成り立たないかが考えられ以下を満たすときこの関係を$\text{同値関係}$であるという
(1)任意の$x\in X$に対し$x〜x$が成り立つ
(2)$x,y\in X$に対し$x〜y$ならば$y〜x$が成り立つ
(3)$x,y,z\in X$に対し$x〜y$かつ$y〜z$ならば$x〜z$が成り立つ

空でない集合$X$に同値関係$〜$が与えられているとする
そのとき$X$の元$x$に対して$X$の部分集合$C(x)$を$C(x):=\{y\in X|y〜x\}$と定めこの部分集合を$\text{同値類}$と呼ぶ

空でない集合$X$に同値関係$〜$が定まっているとき、同値類全体の集合を$X/〜$と表し、同値関係$〜$による$X$の$\text{商集合}$という

$n$を自然数とし$X=\{1,2,\dots ,n\}$とする
全単射写像$\sigma :X\to X$を$n$文字の$\text{置換}$という

空でない集合$G$の任意の$2$つの元$a,b$の組み合わせ$(a,b)$に対し$a\circ b\in G$が対応しているとき$S$上の二項演算$\circ$が定まっているという

$m\in \mathbb{N},m\ge 2$ とし$1\le k\le m-1$であり$m$と互いに素である$k$の個数を$\varphi (m)$と表す
これを$\text{オイラーの}\varphi \text{関数}$とよぶ

空でない集合$G$に二項演算$\circ$が定まり次のすべての条件を満たすとき$G$を二項演算(または単に演算)$\circ$に関して$\text{群}$をなすという

1.任意の$a,b,c\in G$に対し$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$が成り立つ

2.ある$e\in G$が存在して任意の$a\in G$に対して$a\circ e=e\circ a=a$を満たす

3.任意の$a\in G$に対し$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$を満たす元$a^{-1}\in G$が存在する

4.$\text{任意の}a,b\in G\text{に対し}a\circ b=b\circ a\text{が成り立つ}$

組$(R,{\circ }_1,{\circ }_2)$を考える
1.組$(R,{\circ }_1)$は可換群である
2.任意の$a,b,c\in R$に対し$(a{\circ }_{2}b){\circ }_{2}c=a{\circ }_2(b{\circ }_{2}c)$が成り立つ
3.任意の$a\in R$に対し$a{\circ }_2{1}_R=1_R\circ a=a$を満たす$1_R\in R$が存在する
4.任意の$a,b,c\in R$に対し$a{\circ }_2(b{\circ }_{1}c)=(a{\circ }_{2}b){\circ }_1(a{\circ }_{2}c)$,$(a{\circ }_{1}b)\circ c=(a{\circ }_{2}c)+(b{\circ }_{2}c)$が成り立つ
5.${\circ }_2\text{が可換である}$
1~4を満たす組$(R,{\circ }_1,{\circ }_2)$を$\text{環}$とよぶ
特に5を満たす環を$\text{可換環}$とよぶ

$R$を環とする
$\alpha \in R$に対し$\alpha {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\alpha =1_R$となる${\alpha }^{-1}$が存在するとき$\alpha$を$\text{可逆元}$、${\alpha }^{-1}$を$\text{逆元}$という

可換環$Rの\text{零元}$以外の元が全て可逆元となるとき$R$を$\text{体}$とよぶ

可換環$R$が次を満たすとき$R$を$\text{整域}$とよぶ
$a,b\in R,ab=0$を満たすなら$a=0$または$b=0$を満たす

可換群$G$を特に$\text{加法群}$といいそこに定まる二項演算を$+$(和とよぶ)その単位元を$0_G$$a\in G$の逆元を$-a$と表し、そうでないときは(すなわち非可換群)$\text{乗法群}$とよびその二項演算を積とよび($ab$のような形で書く)単位元を$1_G$(または$e$)$a$の逆元を$a^{-1}$と表す

群$G$の元の個数を$\text{群の位数}$といい$|G|$と表す

$G$は群とし$H$は空でない$G$の部分集合とする
$G$に定まっている二項演算$\circ$に対し$a,b\in H⟹a\circ b\in H$が成り立ちこの演算に対し$H$が群をなすとき$H$は$G$の$\text{部分群}$であるという

$G$は群とし$a\in G$とする
$$\begin{array}{r}{a}^n=\{\begin{array}{rl}& \stackrel{n}{\overbrace{a\circ \cdots \circ a}}\dots (n>0)\\ & e\dots (n=0)\\ & (\stackrel{-n}{\overbrace{a\circ \cdots \circ a}}{)}^{-1}\dots (n<0)\end{array}\end{array}$$

$X,\mathrm{\Lambda }$は空でない集合とする
$\mathrm{\Lambda }$の各元$\lambda$に対し$X$の部分集合$X_{\lambda }$が与えられているとき、$X$の部分集合の族$(X_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$が与えられているという

$G$は群とし$S$は空でない$G$の部分集合とする$S$を含むような$G$のすべての部分群の族を$(H_{\mu }{)}_{\mu \in M}$とする
この部分群の族の共通部分を$S$で$\text{生成された}G\text{の部分群}$とよび$⟨S⟩$と書く
${\displaystyle ⟨S⟩:=\bigcap _{\mu \in M}{H}_{\mu }}$

$G$は群とし$x\in G$とし$x^n=e$となる自然数$n$が存在するときそのような最小の$n$を$x\text{の位数}$とよぶ

$G$は群とし$H$はその部分群とし$x,y\in G$とする

1.$x^{-1}y\in H$となるとき$x,y$は$H$に関して$\text{左合同}$であるといい$x{\equiv }_{l}y(H)$と書く

2.$x{y}^{-1}\in H$となるとき$x,y$は$H$に関して$\text{右合同}$であるといい$x{\equiv }_{r}y(H)$と書く

$H$に関する左合同関係による同値類を$G$の$H$に関する$\text{左剰余類}$とよび右合同関係による同値類を$\text{右剰余類}$とよぶ
$G$が加法群なら単に$\text{剰余類}$とよぶ

群$G$と$G$の部分群$H$、任意の$g\in G$に対し
$gh{g}^{-1}\in H$となるとき、$H$を$G$の$\text{正規部分群}$といい$H◃G$と書く

$G$は群とし$H$は$G$の部分群とする
$G$の$H$に関する相違なる左剰余類の個数を$G\text{における}H\text{の指数}$とよび
$[G:H]$と表す

$a,b\in G$に対し$[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$を$a,b\text{の交換子}$という
また、$G$の部分群$H,K$に対し$\{[a,b]|a\in H,b\in K\}$で生成される$G$の部分群を$[H,K]$と表すとき$D(G)=[G,G]$を$G$の$\text{交換子群}$という