代数入門(3)〜群論の基礎〜

$X$は空でない集合とする
$x,y\in X$に対し$x\;〜\;y$という関係が成り立つ、もしくは成り立たないかが考えられ以下を満たすときこの関係を$\textcolor{blue}{\textup{同値関係}}$であるという
(1)任意の$x\in X$に対し$x\;〜\;x$が成り立つ
(2)$x,y\in X$に対し$x\;〜\; y$ならば$y\;〜\;x$が成り立つ
(3)$x,y,z\in X$に対し$x\;〜\;y$かつ$y\;〜\;z$ならば$x\;〜\;z$が成り立つ

空でない集合$X$に同値関係$〜$が与えられているとする
そのとき$X$の元$x$に対して$X$の部分集合$C(x)$を$C(x):=\{y\in X|y〜x\}$と定めこの部分集合を$\textcolor{blue}{\textup{同値類}}$と呼ぶ

空でない集合$X$に同値関係$〜$が定まっているとき、同値類全体の集合を$X/〜$と表し、同値関係$〜$による$X$の$\textcolor{blue}{\textup{商集合}}$という

$n$を自然数とし$X=\{1,2,…,n\}$とする
全単射写像$\sigma:X\to X$を$n$文字の$\textcolor{blue}{\textup{置換}}$という

空でない集合$G$の任意の$2$つの元$a,b$の組み合わせ$(a,b)$に対し$a\circ b\in G$が対応しているとき$S$上の二項演算$\circ$が定まっているという

$m\in\mathbb N,m\ge2$ とし$1\le k\le m-1$であり$m$と互いに素である$k$の個数を$\phi(m)$と表す
これを$\textcolor{blue}{\textup{オイラーの}\phi\textup{関数}}$とよぶ

空でない集合$G$に二項演算$\circ$が定まり次のすべての条件を満たすとき$G$を二項演算(または単に演算)$\circ$に関して$\textcolor{blue}{\textup{群}}$をなすという

1.任意の$a,b,c\in G$に対し$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$が成り立つ

2.ある$e\in G$が存在して任意の$a\in G$に対して$a\circ e=e\circ a=a$を満たす

3.任意の$a\in G$に対し$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$を満たす元$a^{-1}\in G$が存在する

4.$\textcolor{green}{\textup{任意の}a,b\in G\textup{に対し}a\circ b=b\circ a\textup{が成り立つ}}$

組$(R,\circ_1,\circ_2)$を考える
1.組$(R,\circ_1)$は可換群である
2.任意の$a,b,c\in R$に対し$(a\circ_2b)\circ_2 c=a\circ_2 (b\circ_2 c)$が成り立つ
3.任意の$a\in R$に対し$a\circ_2 1_R=1_R\circ a=a$を満たす$1_R\in R$が存在する
4.任意の$a,b,c\in R$に対し$a\circ_2(b\circ_1 c)=(a\circ_2 b)\circ_1 (a\circ_2 c)$,$(a\circ_1 b)\circ c=(a\circ_2c)+(b\circ_2c)$が成り立つ
5.$\textcolor{green}{\circ_2\textup{が可換である}}$
1~4を満たす組$(R,\circ_1,\circ_2)$を$\textcolor{blue}{\textup{環}}$とよぶ
特に5を満たす環を$\textcolor{blue}{\textup{可換環}}$とよぶ

$R$を環とする
$\alpha\in R$に対し$\alpha\alpha^{-1}=\alpha^{-1}\alpha=1_R$となる$\alpha^{-1}$が存在するとき$\alpha$を$\textcolor{blue}{\textup{可逆元}}$、$\alpha^{-1}$を$\textcolor{blue}{\textup{逆元}}$という

可換環$Rの\textcolor{blue}{\textup{零元}}$以外の元が全て可逆元となるとき$R$を$\textcolor{blue}{\textup{体}}$とよぶ

可換環$R$が次を満たすとき$R$を$\textcolor{blue}{\textup{整域}}$とよぶ
$a,b\in R,ab=0$を満たすなら$a=0$または$b=0$を満たす

可換群$G$を特に$\textcolor{blue}{\textup{加法群}}$といいそこに定まる二項演算を$+$(和とよぶ)その単位元を$0_G$$a\in G$の逆元を$-a$と表し、そうでないときは(すなわち非可換群)$\textcolor{blue}{\textup{乗法群}}$とよびその二項演算を積とよび($ab$のような形で書く)単位元を$1_G$(または$e$)$a$の逆元を$a^{-1}$と表す

群$G$の元の個数を$\textcolor{blue}{\textup{群の位数}}$といい$|G|$と表す

$G$は群とし$H$は空でない$G$の部分集合とする
$G$に定まっている二項演算$\circ$に対し$a,b\in H\implies a\circ b\in H$が成り立ちこの演算に対し$H$が群をなすとき$H$は$G$の$\textcolor{blue}{\textup{部分群}}$であるという

$G$は群とし$a\in G$とする
\begin{align} a^n=\left\{\begin{split}&\overbrace{a\circ\cdots\circ a}^n…(n>0)\\&e…(n=0)\\&(\overbrace{a\circ\cdots\circ a}^{-n})^{-1}…(n<0)\end{split}\right. \end{align}

$X,\Lambda$は空でない集合とする
$\Lambda$の各元$\lambda$に対し$X$の部分集合$X_\lambda$が与えられているとき、$X$の部分集合の族$(X_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$が与えられているという

$G$は群とし$S$は空でない$G$の部分集合とする$S$を含むような$G$のすべての部分群の族を$(H_\mu)_{\mu\in M}$とする
この部分群の族の共通部分を$S$で$\textcolor{blue}{\textup{生成された$G$の部分群}}$とよび$\langle S\rangle$と書く
$\displaystyle \langle S\rangle:=\bigcap_{\mu\in M}H_\mu$

$G$は群とし$x\in G$とし$x^n=e$となる自然数$n$が存在するときそのような最小の$n$を$\textcolor{blue}{x\textup{の位数}}$とよぶ

$G$は群とし$H$はその部分群とし$x,y\in G$とする

1.$x^{-1}y\in H$となるとき$x,y$は$H$に関して$\textcolor{blue}{\textup{左合同}}$であるといい$x\equiv_l y(H)$と書く

2.$xy^{-1}\in H$となるとき$x,y$は$H$に関して$\textcolor{blue}{\textup{右合同}}$であるといい$x\equiv_r y(H)$と書く

$H$に関する左合同関係による同値類を$G$の$H$に関する$\textcolor{blue}{\textup{左剰余類}}$とよび右合同関係による同値類を$\textcolor{blue}{\textup{右剰余類}}$とよぶ
$G$が加法群なら単に$\textcolor{blue}{\textup{剰余類}}$とよぶ

群$G$と$G$の部分群$H$、任意の$g\in G$に対し
$ghg^{-1}\in H$となるとき、$H$を$G$の$\textcolor{blue}{\textup{正規部分群}}$といい$H\triangleleft G$と書く

$G$は群とし$H$は$G$の部分群とする
$G$の$H$に関する相違なる左剰余類の個数を$\textcolor{blue}{G\textup{における}H\textup{の指数}}$とよび
$\lbrack G:H\rbrack$と表す

$a,b\in G$に対し$\lbrack a,b\rbrack=aba^{-1}b^{-1}$を$\textcolor{blue}{a,b\textup{の交換子}}$という
また、$G$の部分群$H,K$に対し$\{\lbrack a,b\rbrack|a\in H,b\in K\}$で生成される$G$の部分群を$\lbrack H,K\rbrack$と表すとき$D(G)=\lbrack G,G\rbrack$を$G$の$\textcolor{blue}{\textup{交換子群}}$という