Taylor展開の証明と例

略．

次の関数$g:[0,1]\to \mathbb{R}$
$$g(t):=(1-t{)}^{k-1}{f}^{(k-1)}(tx+(1-t)a)(t\in [0,1])$$
は$C^1$級（正確には，$[0,1]$を含むある開区間上の$C^1$級関数に拡張可能）であり
$$g^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}(x-a)f^{\prime }(tx+(1-t)a)& (k=1),\\ -(k-1)(1-t{)}^{k-2}{f}^{(k-1)}(tx+(1-t)a)+(1-t{)}^{k-1}(x-a)f^{(k)}(tx+(1-t)a)& (k\ge 2)\end{array}(t\in [0,1])$$
が成り立つ．

• $k=1$の場合，$g(0)=f(a)$と$g(1)=f(x)$に注意すれば，微分積分学の基本定理より
  $$\begin{array}{rl}f(x)& =g(1)\\ & =g(0)+{\int }_0^1{g}^{\prime }(t)dt\\ & =f(a)+(x-a){\int }_0^1{f}^{\prime }(tx+(1-t)a)dt.\end{array}$$
• $k\ge 2$の場合，$g(0)=f^{(k-1)}(a)$と$g(1)=0$に注意すれば，微分積分学の基本定理と帰納法の仮定より
  $$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=0}^{k-2}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{(x-a{)}^{k-1}}{(k-2)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-2}{f}^{(k-1)}(tx+(1-t)a)dt\\ & =\sum _{n=0}^{k-1}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n-\frac{f^{(k-1)}(a)}{(k-1)!}(x-a{)}^{k-1}+\frac{(x-a{)}^{k-1}}{(k-2)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-2}{f}^{(k-1)}(tx+(1-t)a)dt\\ & =\sum _{n=0}^{k-1}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{(x-a{)}^{k-1}}{(k-1)!}(g(1)-g(0)+{\int }_0^1(k-1)(1-t{)}^{k-2}{f}^{(k-1)}(tx+(1-t)a)dt)\\ & =\sum _{n=0}^{k-1}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{(x-a{)}^{k-1}}{(k-1)!}{\int }_0^1(g^{\prime }(t)+(k-1)(1-t{)}^{k-2}{f}^{(k-1)}(tx+(1-t)a))dt\\ & =\sum _{n=0}^{k-1}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{(x-a{)}^{k-1}}{(k-1)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-1}(x-a)f^{(k)}(tx+(1-t)a)dt\\ & =\sum _{n=0}^{k-1}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{(x-a{)}^k}{(k-1)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-1}{f}^{(k)}(tx+(1-t)a)dt.\end{array}$$

$${\int }_0^1(1-t{)}^{k-1}{e}^{tx}dt>0$$
が成り立つから，あとは$x^k$の符号を見ればよい．

$$|\frac{x^k}{(k-1)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-1}{e}^{tx}dt|\le \frac{|x{|}^k}{(k-1)!}{e}^x\to 0(k\to \mathrm{\infty })$$
となる．

もし$e$が有理数であれば，互いに素な正の整数$k,\ell$を用いて$e=\ell /k$と表せる．このとき$e^x$のTaylor展開に$x=1$を代入した
$$\begin{array}{rl}e& =\sum _{n=0}^k\frac{1}{n!}+\frac{1}{k!}{\int }_0^1(1-t{)}^k{e}^{t}dt\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(1-t{)}^k{e}^{t}dt& =(k-1)!\ell -\sum _{n=0}^k\frac{k!}{n!}\end{array}$$
が成り立つ．この右辺が整数であるのに対して，左辺については
$$\begin{array}{rl}0<{\int }_0^1(1-t{)}^k{e}^{t}dt& \le {\int }_0^1(1-t)e^{t}dt=e-2<1\end{array}$$
となり整数でないから矛盾．

$\sin \left(tx\right)$の符号に注意して評価すると
$$\begin{array}{rl}{\int }_{(2m-2)L}^{2mL}g(t)\sin \left(tx\right)dt& \ge {\int }_{(2m-2)L}^{(2m-1)L}g(t)\sin \left(tx\right)dt+{\int }_{(2m-1)L}^{2mL}g(t)\sin \left(tx\right)dt\\ & \ge {\int }_{(2m-2)L}^{(2m-1)L}g((2m-1)L)\sin \left(tx\right)dt+{\int }_{(2m-1)L}^{2mL}g((2m-1)L)\sin \left(tx\right)dt\\ & =g((2m-1)L){\int }_{(2m-2)L}^{2mL}\sin \left(tx\right)dt\\ & =0.\end{array}$$

$x>0$の場合に示せばよい．$L:=\pi /x$とおき，関数$g(t):=(1-t{)}^{2k-2}{1}_{(-\mathrm{\infty },1]}(t)$に対して前補題を使うと，Taylor展開の剰余項について
$$\begin{array}{r}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k-2}\sin \left(tx\right)dt=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{(2m-2)L}^{2mL}g(t)\sin \left(tx\right)dt\ge 0\end{array}$$
となるから，あとは$(-1{)}^k$の符号を見ればよい．

$$|\frac{(-1{)}^k{x}^{2k-1}}{(2k-2)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k-2}\sin \left(tx\right)dt|\le \frac{|x{|}^{2k-1}}{(2k-2)!}\to 0(k\to \mathrm{\infty })$$
となる．

もし$\cos \left(1\right)$が有理数であれば，互いに素な正の整数$k,\ell$を用いて$\cos \left(1\right)=\ell /k$と表せる．このとき$\cos \left(x\right)$のTaylor展開に$x=1$を代入した
$$\begin{array}{r}\cos \left(1\right)=\sum _{n=0}^k\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}+\frac{(-1{)}^{k+1}}{(2k)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k}\sin \left(t\right)dt\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k}\sin \left(t\right)dt& =(-1{)}^{k+1}(\frac{(2k)!\ell }{k}-\sum _{n=0}^k\frac{(2k)!(-1{)}^n}{(2n)!})\end{array}$$
が成り立つ．この右辺が整数であるのに対して，左辺については
$$\begin{array}{r}0<{\int }_0^1(1-t{)}^{2k}\sin \left(t\right)dt<1\end{array}$$
となり整数でないから矛盾．

$L:=\pi /x$とおき，関数$g(t):=max\{(1-t{)}^{2k-1},0\}$に対して$\cos$のときにも使った補題を使うと，Taylor展開の剰余項について
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k-1}\sin \left(tx\right)dt& =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{(2m-2)L}^{2mL}g(t)\sin \left(tx\right)dt\ge 0\end{array}$$
となるから，あとは$(-1{)}^k$の符号を見ればよい．

$$|\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k-1)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k-1}\sin \left(tx\right)dt|\le \frac{|x{|}^{2k}}{(2k-1)!}\to 0(k\to \mathrm{\infty })$$
となる．

もし$\sin \left(1\right)$が有理数であれば，互いに素な正の整数$k,\ell$を用いて$\sin \left(1\right)=\ell /k$と表せる．このとき$\sin \left(x\right)$のTaylor展開に$x=1$を代入した
$$\begin{array}{r}\sin \left(1\right)=\sum _{n=0}^k\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}+\frac{(-1{)}^{k+1}}{(2k+1)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k+1}\sin \left(t\right)dt\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(1-t{)}^{2k+1}\sin \left(t\right)dt& =(-1{)}^{k+1}(\frac{(2k+1)!\ell }{k}-\sum _{n=0}^k\frac{(2k+1)!(-1{)}^n}{(2n+1)!})\end{array}$$
が成り立つ．この右辺が整数であるのに対して，左辺については
$$\begin{array}{r}0<{\int }_0^1(1-t{)}^{2k+1}\sin \left(t\right)dt<1\end{array}$$
となり整数でないから矛盾．

十分小さい任意の$\epsilon >0$に対して，Taylor展開の剰余項を
$$\begin{array}{rl}|(-1{)}^{k-1}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-1}(t+1{)}^{-k}dt|& \le {\int }_0^{\epsilon }1dt+{\int }_{\epsilon }^1(1-\epsilon {)}^{k-1}(\epsilon +1{)}^{-k}dt\\ & =\epsilon +(\frac{1-\epsilon }{1+\epsilon }{)}^k\end{array}$$
と評価すれば
$$\begin{array}{r}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}|(-1{)}^{k-1}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-1}(t+1{)}^{-k}dt|\le \epsilon \end{array}$$
となり，$\epsilon$の任意性より剰余項は$k\to \mathrm{\infty }$のとき$0$に収束する．

1変数関数$g:[0,1]\to \mathbb{R}$を
$$g(t):=f(tx+(1-t)a)(t\in [0,1])$$
で定めると，$g$は$C^k$級だから1変数関数のTaylor展開より
$$g(1)=\sum _{n=0}^{k-1}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}+\frac{1}{(k-1)!}{\int }_0^1(1-t{)}^{k-1}{g}^{(k)}(t)dt$$
が成り立つ．この式に$g(1)=f(x)$と
$$g^{(n)}(t)=\sum _{|\alpha |=n}\frac{n!}{\alpha !}(x-a{)}^{\alpha }{D}^{\alpha }f(tx+(1-t)a)(n=0,1,\dots ,k)$$
を代入すれば所望の等式を得る．