京大数学院試過去問解答例(2025専門03)

初めに$X=2\cos \theta$を代入すると、
$$\begin{array}{rl}{f}_n(X)& =f_n(2\cos \theta )\\ & =f_{n-1}(4{\cos }^2\theta -2)& =f_{n-1}(2\cos 2\theta )\\ & =f_{n-2}(4{\cos }^{2}2\theta -2)& =f_{n-2}(2\cos 4\theta )\\ & =\cdots & \\ & =f_1(4\cos 2^{n-2}\theta -2)& =f_1(2\cos 2^{n-1}\theta )\\ & =4\cos 2^{n-1}\theta -2& =2\cos 2^n\theta \end{array}$$
であるから、$f_n$の根は
$${\alpha }_{n,k}:=2\cos \frac{(1+2k)\pi }{2^{n+1}}$$
で尽くされている(但し$k=0,\cdots ,2^n-1$)。$\cos ((2k+1)\theta )$は$\cos \theta$の多項式$F_{2k+1}(\cos \theta )$として表せることを考慮すれば、
$$K_n=\mathbb{Q}({\alpha }_{n0})=\mathbb{Q}(\zeta +{\zeta }^{-1})$$
である(但し$\zeta$は$1$の原始$2^{n+2}$乗根)。ここで$-1$及び$5$は
$$5^{2^n}=(1+4{)}^{2^n}\equiv 1(\mathrm{mod}{2}^{n+2})$$
$$5^{2^k}\not\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{2}^{n+2})$$
$$\phi (2^{n+2})=2^{n+1}$$
である(但し$0<k<n$)ことを考慮すれば、
$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta )/\mathbb{Q})\simeq (\mathbb{Z}/2^{n+2}\mathbb{Z}{)}^{\times }\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$$
であり、右辺の直積群の第一成分は共役写像$\zeta \mapsto {\zeta }^{-1}$によって、第二成分は$\zeta \mapsto {\zeta }^5$によって生成される。$K_n$は共役写像によって固定される元全体であるから
$$\mathrm{Gal}(K_n/\mathbb{Q})\simeq \mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$$
がわかる。