無限積の展開(R関数)とその多項式

はじめに

あとでしっかり定義を書きますが、ここで言う無限積はラマヌジャンのτ関数のある種の一般化したもので、その展開から得られる多項式の紹介とその法則性についての問題とその重要性(素人による物なので的外れな可能性があります)について書きます。
R関数は勝手に自分がつけました。

本題

ここで関数を定義します。

a.sは自然数
これは無限積を展開したときq^aの係数の関数である。という意味です。
ここで$q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^s$
を展開する。sとa=5まで

R関数のaの値を固定してsを変化させたとき
(表を縦に見る)その値はa=1のとき1
a=2のとき-sとなる、一般の自然数において
aを自然数の足し算に分割し、分割したものを、$a_1+a_2+...a_n$として、$b^{a_1}+b^{a_2}+...b^{a_n}$を計算してその係数$k_1...k_c$を$\prod _{x=1}^c(-1{)}^x{}_s{\mathrm{C}}_{k_x}$に代入したものを全ての分割で総和をとったものになります。
例として、a=5までの多項式は
$q-s{q}^2+\frac{s(s-3)}{2}{q}^3-\frac{s(s-1)(s-8)}{6}{q}^4+\frac{s(s-1)(s-3)(s-14)}{24}{q}^5$

この多項式の重要なものとして、この多項式の解がR(a.s)=0となる値を教えてくれて、これは、ラマヌジャンのτ関数に関するレーマー予想に繋がる。

レーマー予想は様々あるらしいので一応わかるようにしました。
これは、この多項式の解に24を含まないことを証明すればいいことになります。

おわりに

多項式を得る方法がわかりづらくなってしまいました。ごめんなさい。
何か法則性について分かったことがありましたら教えていただくと嬉しいです。