【具体例】問題で慣れる米田の補題

$$ A=\mathbb Z[X_1,\dots,X_n] $$
とし，多項式$P$を
$$ P(X_1,X_2,\dots,X_n) = \mu_A(X_1,X_2,\dots,X_n) $$
とする．可換環$R$と$r_1,r_2,\dots,r_n$に対して，環準同型$f \colon A \to R$を
$$ f(X_j) = r_j \quad (j = 1,2,\dots,n) $$
によって定めると，
\begin{align} \mu_R(r_1,r_2,\dots,r_n) &= \mu_R(f(X_1),f(X_2),\dots,f(X_n)) \\ &= f(\mu_A(X_1,X_2,\dots,X_n)) \\ &= f(P) \\ &= P(r_1,r_2,\dots,r_n) \end{align}

$A=\mathbb Z[X_1,\dots,X_n]$ とおく．多項式環の普遍性より
$$ R^n\cong\operatorname{Hom}_{\textbf{CRing}}(A,R), \qquad (r_1,\dots,r_n)\leftrightarrow(X_i \mapsto r_i). $$
したがって，関手
$$ F \colon \textbf{CRing} \to \textbf{Set},\quad R \mapsto R^n,\quad f \mapsto f^n $$
は$A$ によって表現される．$G \colon \textbf{CRing} \to \textbf{Set}$を忘却関手とすると，問題の$(\mu_R)_R$は
$$ F \Rightarrow G $$
という自然変換なので，米田の補題より
$$ \operatorname{Nat}(F,G) \cong \operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}_{\textbf{CRing}}(A,-),G)\cong G(A)=A $$
よって，
$$ P=\mu_A(X_1,\dots,X_n) \in \mathbb Z[X_1,\dots,X_n] $$
とすれば，
$$ \mu_R(r_1,\dots,r_n)=P(r_1,\dots,r_n) $$
となる．

$[n]=\{1,\dots,n\}$ とおくと，
$$ X^n\cong\operatorname{Hom}_{\textbf{Set}}([n],X), \qquad X\cong\operatorname{Hom}_{\textbf{Set}}(\{*\},X). $$
したがって米田の補題より
$$ \operatorname{Nat}(X^n,X) \cong \operatorname{Hom}_{\textbf{Set}}(\{*\},[n]) \cong[n]. $$
よって，ある固定した $i\in\{1,\dots,n\}$ が存在して
$$ \boxed{\mu_X(x_1,\dots,x_n)=x_i} $$
となる．

$I=[0,1]$ とおく．$X$ 上の連続曲線全体は
$$ C(I,X)=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(I,X) $$
なので，問題の$(T_X)_X$は関手
$$ \operatorname{Hom}_{\textbf{Top}}(I,-) $$
の自己自然変換である．米田の補題より
$$ \operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}_{\textbf{Top}}(I,-),\operatorname{Hom}_{\textbf{Top}}(I,-)) \cong \operatorname{Hom}_{\textbf{Top}}(I,I). $$
したがって，ある連続写像
$$ \varphi:I\to I $$
が存在して
$$ \boxed{T_X(\gamma)=\gamma\circ\varphi} $$
となる．

部分集合$A\subset X$をその特性関数
$$ \chi_A:X\to \{0,1\} $$
と対応させると，
$$ \mathcal P(X)\cong\operatorname{Hom}_{\textbf{Set}}(X,\{0,1\}). $$
さらに
$$ \chi_{f^{-1}(A)}=\chi_A\circ f $$
なので，$\mathcal P(-)$ は反変表現可能関手
$$ \operatorname{Hom}_{\textbf{Set}}(-,\{0,1\}) $$
である．反変版の米田の補題より
$$ \operatorname{Nat}(\mathcal P(-),\mathcal P(-)) \cong \operatorname{Hom}_{\textbf{Set}}(\{0,1\},\{0,1\}). $$
$\{0,1\}\to\{0,1\}$ の写像は4個あり，対応する操作は
$$ \boxed{ T_X(A)=\varnothing,\quad X,\quad A,\quad X\setminus A } $$
の4種類である．

Sierpiński空間
$$ \mathbb S=\{0,1\}, \quad \mathcal O(\mathbb S)=\{\varnothing,\{1\},\mathbb S\} $$
を考える．開集合 $U\subset X$ の特性関数
$$ \chi_U:X\to\mathbb S $$
は連続であり，逆に連続写像 $X\to\mathbb S$ は開集合を一つ定める．したがって
$$ \mathcal O(X)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X,\mathbb S). $$
よって反変版の米田の補題から
$$ \operatorname{Nat}(\mathcal O(-),\mathcal O(-)) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(\mathbb S,\mathbb S). $$

$\mathbb S$ の自己連続写像は，定数$0$，恒等写像，定数$1$ の3個である．したがって
$$ \boxed{ T_X(U)=\varnothing,\quad U,\quad X } $$
の3種類である．