位相空間における｢点の近さ｣の圏論的解釈

集合$X$上の擬距離函数$d$による位相を$\mathcal{O}_d$とする。
$d^\prime\in D_d$を任意に取り固定する。このとき、擬距離$d^\prime$は、$d$に関して一様連続なため、$\mathcal{O}_{d^\prime}\subseteq\mathcal{O}_d$となる。
他方、$d$は自分自身が定める一様構造について常に一様連続なため、$d\in D_d$となる。
したがって、$\sup_{d^\prime\in D_d}\mathcal{O}_{d^\prime}=\mathcal{O}_d$となる。

$x\in X$を任意に取り固定し、$\mathcal{B}(x)=\{U(x)\colon U\in\mathcal{U}\}$する。

• $U\in\mathcal{U}$に対して、$xUx$なため$x\in U(x)$となる。
• $U,V\in\mathcal{U}$に対して、$U(x)\cap V(x)=(U\cap V)(x)$かつ$U\cap V\in\mathcal{U}$より$U(x)\cap V(x)\in\mathcal{B}(x)$。
• $U\in\mathcal{U}$を任意に取り固定し、$G=U(x)$とする。このとき、$V\circ V\subseteq U$を満たす$V\in\mathcal{U}$をとり$H=V(x)$とすると、次が成り立つ。
  $$ \forall y\in H,\exists W\in\mathcal{U}\text{ s.t. }W(y)\subseteq G. $$
  実際、$W=V$とすると、$y\in H$と$t\in W(y)$に対して$(x,y)\in V$かつ$(y,t)\in W=V$より$(x,t)\in V\circ V\subseteq U$なため$t\in U(x)=G$となる。

$\mathcal{B}$を準一様構造の準基とし、$\mathcal{U}$を
$$ \mathcal{U}=\left\{U\subseteq X\times X\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{有限個の$B_0,\ldots,B_{n-1}\in\mathcal{B}$が存在し、$\bigcap_{j=0}^{n-1}B_j\subseteq U$}\right\} $$
とする。

• $U\in\mathcal{U}$に対して、$\bigcap_{j=0}^{n-1}B_j\subseteq U$として有限個の$B_0,\ldots,B_{n-1}\in\mathcal{B}$をとると、$\Delta(X)\subseteq B_j$なため$\Delta(X)\subseteq U$となる。
• $U\in\mathcal{U}$に対して、$U\subseteq V$として$V\subseteq X\times X$を取ると明らかに$V\in\mathcal{U}$となる。
• $U,V\in\mathcal{U}$に対して、明らかに$U\cap V\in\mathcal{U}$となる。
• $U\in\mathcal{U}$に対して、$\bigcap_{j=0}^{n-1}B_j\subseteq U$として有限個の$B_0,\ldots,B_{n-1}\in\mathcal{B}$をとると、各$B_j$に対して$C_j\circ C_j\subseteq B_j$として$C_j\in\mathcal{B}$を取り、$V=\bigcap_{j=0}^{n-1}C_j$とすると、$V\circ V\subseteq U$となる。

これらより、$\mathcal{U}$は準一様構造となる。また、$\mathcal{B}$を一様構造の準基とすると、$U\in\mathcal{U}$に対して、$\bigcap_{j=0}^{n-1}B_j\subseteq U$として有限個の$B_0,\ldots,B_{n-1}\in\mathcal{B}$をとると、$B_j^{-1}\in\mathcal{B}$で$\bigcap_{j=0}^{n-1}B_j^{-1}\subseteq U^{-1}$より$U^{-1}\in\mathcal{U}$となる。したがって、$\mathcal{U}$は一様構造となる。
また、$\mathcal{B}$を含む準一様構造$\mathcal{V}$を任意にとり固定すると、任意の$U\in\mathcal{U}$に対して、$\bigcap_{j=0}^{n-1}B_j\subseteq U$として有限個の$B_0,\ldots,B_{n-1}\in\mathcal{B}$がとれるため、$B_j\in\mathcal{V}$より$U\in\mathcal{V}$となるため、$U$の任意性より$\mathcal{U}\subseteq\mathcal{V}$となる。したがって、$\mathcal{U}$は$\mathcal{B}$を含む準一様構造のうち最小のものである。

位相空間$X$を任意にとり固定する。
$X$の開集合$G$に対して、$U_G\coloneqq((X\setminus G)\times X)\cup(G\times G)$として、$U_G$の全体を$\mathcal{B}$とすると$\mathcal{B}$は準一様構造の準基となる。

• 開集合$G$と$x\in X$を任意に取り固定する。$x\in G$であれば$(x,x)\in G\times G$であって、$x\in X\setminus G$であれば$x\in(X\setminus G)\times X$なため、$(x,x)\in U_G$となる。
• 開集合$G$に対して、$U_G\circ U_G\subseteq U_G$が成り立つ。$(x,y),(y,z)\in U_G$を任意に取り固定すると、
  • $x\in G$であれば$(x,y)\in U_G$より$y\in G$なため、$(y,z)\in U_G$より$z\in G$となるため、$(x,z)\in G\times G\subseteq U_G$より$(x,z)\in U_G$。
  • $x\in X\setminus G$かつ$y\in G$であれば$(y,z)\in U_G$より$z\in G$より$(x,z)\in(X\setminus G)\times G\subseteq U_G$より$(x,z)\in U_G$。
  • $x\in X\setminus G$かつ$y\in X\setminus G$であれば$(y,z)\in U_G$は任意の$z\in X$に対して成り立つため、$(x,z)\in(X\setminus G)\times X\subseteq U_G$より$(x,z)\in U_G$となる。よって、$U_G\circ U_G\subseteq U_G$となる。

また、$\mathcal{B}$による位相と$X$の位相が一致する。

• $X$の開集合$G$に対して各$x\in G$で$U_G(x)=G$なため$G$は$\mathcal{B}$による開集合である。
• $\mathcal{B}$による開集合$H$に対して、各$x\in H$と$X$の開集合$G$で$U_G(x)\subseteq H$が成り立つため、$U_G(x)=G,x\in G$かつ$U_G(x)=X,x\in X\setminus G$より
  $$ H=\bigcup_{x\in H}\{x\}\subseteq\bigcup_{x\in H}U_G(x)=\bigcup_{\text{$X$の開集合$G$}:x\in G\cap H}G\cup\bigcup_{\text{$X$の開集合$G$}:x\in (X\setminus G)\cap H}X\subseteq H $$
  なため$H$は$X$の開集合である。

$\mathcal{U}$を$X$上の準一様構造、$d$を$X$上の準擬距離とする。

• (1)$\Rightarrow$(2)
  $d$は$\mathcal{U}$により一様連続であると仮定すると、任意の$r>0$に対して、$U,U^\prime\in\mathcal{U}$が存在して次を満たす。
  $$ \forall x,x^\prime,y,y^\prime\in X,[(x,x^\prime)\in U\text{かつ}(y,y^\prime)\in U^\prime\Rightarrow\abs{d(x,y)-d(x^\prime,y^\prime)}< r] $$
  ここで、点$x,x^\prime,y,y^\prime\in X$を$x^\prime=y,y^\prime=y,(x,y)\in U$と取ると、$d(x,y)=\abs{d(x,y)}=\abs{d(x,y)-d(x^\prime,y^\prime)}< r$より$(x,y)\in U_{d,r}$となるため、$x,y$の任意性から$U\subseteq U_{d,r}$。したがって、$U_{d,r}\in\mathcal{U}$となる。
• (2)$\Rightarrow$(1)
  任意の$r>0$に対して$U_{d,r}\in\mathcal{U}$であると仮定する。$r>0$を任意に取り固定する。
  点$x,x^\prime,y,y^\prime\in X$を$(x,x^\prime)\in U_{d,r/2},(y^\prime,y)\in U_{d,r/2}$と取ると、
  \begin{align*} \abs{d(x,y)-d(x^\prime,y^\prime)} &=\abs{(d(x,y)-d(x^\prime,y))+(d(x^\prime,y)-d(x^\prime,y^\prime))}\\ &\leq\abs{d(x,y)-d(x^\prime,y)}+\abs{d(x^\prime,y)-d(x^\prime,y^\prime)}\\ &\leq d(x,x^\prime)+d(y^\prime,y)\\ &<\frac{r}{2}+\frac{r}{2}\\ &=r \end{align*}
  となるため、$d$は$\mathcal{U}$により一様連続となる。

$D$を$X$上の準ゲージとし、$U_{d,r}=\{(x,y)\in X\times X\colon d(x,y)< r\}$($d\in D$,$r>0$)により$\mathcal{B}=\{U_{d,r}\colon d\in D,r>0\}$とする。$\mathcal{B}$が準一様構造の準基であることを示せば十分である。
$d\in D$,$r>0$を任意に取り固定する。$x\in X$に対して$d(x,x)=0< r$なため$(x,x)\in U_{d,r}$より$x$の任意性から$\Delta(X)\subseteq U_{d,r}$。また、$(x,y),(y,z)\in U_{d,r/2}$に対して$d(x,y)< r/2$かつ$d(y,z)< r/2$より$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)< r$なため$(x,z)\in U_{d,r}$となり、$x,y,z$の任意性から$U_{d,r/2}\circ U_{d,r/2}\subseteq U_{d,r}$となる。
特に、$D$がゲージであるとき、任意の$d\in D$,$r>0$に対して$U_{d,r}^{-1}=U_{d,r}$なため$\mathcal{B}$は一様構造の準基となる。

$\mathcal{U}$を集合$X$上の準一様構造とし、一様連続な準擬距離函数$d\colon X\times X\to\mathbb{R}_{\geq0}$の全体を$D$として、$D$によって定まる準一様構造を$\mathcal{V}$とする。
$\mathcal{V}$は$\mathcal{B}=\{U_{d,r}\colon d\in D,r>0\}$を準基として生成されており、先の補題より$\mathcal{B}\subseteq\mathcal{U}$なため、$\mathcal{V}$の最小性より$\mathcal{V}\subseteq\mathcal{U}$となる。
他方、$U\in\mathcal{U}$に対して、$\mathcal{U}$の要素の列$(U_n)_{n\geq 0}$を以下の漸化式により定める。
$$ U_0=X\times X,\quad U_1=U,\quad U_{n+1}\circ U_{n+1}\subseteq U_n,(n\geq1) $$
ここで、写像$d\colon X\times X\to\mathbb{R}_{\geq0}$を$d_0(x,y)=\inf\{2^{-n}\colon(x,y)\in U_n,n\geq0\}$と$S(x,y)=\{(t_i)_{i=0}^{m}\in X^{m+1}\colon t_0=x,t_m=y\}$により、
$$ d(x,y)\coloneqq\inf\left\{L(t)\coloneqq\sum_{i=0}^{m-1}d_0(t_i,t_{i+1})\mathrel{}\middle|\mathrel{}t=(t_i)_{i=0}^{m}\in S(x,y)\right\} $$
とすると、$d\in D$となる。

• $d$が$X$上の準擬距離函数であること
  $x,y,z\in X$を任意に取り固定する。
  各$U_n$について$(x,x)\in U_n$なため$d_0(x,x)=0$より$d(x,x)=0$となる。
  また、$s=(s_i)_{i=0}^{k}\in S(x,y),t=(t_i)_{i=0}^{l}\in S(y,z)$に対して$s_k=y=t_0$より$u=(u_i)_{i=0}^{k+l}$を
  $$ u_i= \begin{cases} s_i,&(i=0,\ldots,k)\\ t_{i-k},&(i=k,\ldots,k+l) \end{cases} $$
  とすると、$(u_i)_{i=0}^{k+l}\in S(x,z)$となるため、$d(x,z)\leq L(u)=L(s)+L(t)$より、$s,t$の任意性から$d(x,z)\leq \inf\{L(s)+L(t)\colon s\in S(x,y),t\in S(y,z)\}=d(x,y)+d(y,z)$を得る。
  これらより、$d$は$X$上の準擬距離函数である。
• $d$が$\mathcal{U}$により一様連続であること
  $r>0$を任意に取り固定する。$2^{-n}< r$として$n\geq 0$を取ると、$(x,y)\in U_n$に対して$d(x,y)\leq 2^{-n}< r$なため$(x,y)\in U_{d,r}$となる。よって$x,y$の任意性より$U_n\subseteq U_{d,r}$となり、$U_{d,r}\in\mathcal{U}$となる。したがって先の補題から、$d$は$\mathcal{U}$により一様連続である。

この$d$について$U_{d,1/2}\subseteq U$より$U\in\mathcal{V}$となるため、$U$の任意性より$\mathcal{U}\subseteq\mathcal{V}$となる。

$X$上の準ゲージ$D$に対して、$D$によって定まる準一様構造を$\mathcal{U}_D$とする。また、$X$上の準一様構造$\mathcal{U}$に対して、$\mathcal{U}$の生成する準ゲージを$D_{\mathcal{U}}$とする。
以後、$X$上の準ゲージ$D$を任意に取り固定し、$K=\{\abs{B}\colon\text{$B$は$X$上のゲージ},\mathcal{U}_B=\mathcal{U}_D\}$とする。
$\abs{D}\in K\neq\emptyset$より$K$は空でないため、最小値が存在すれば一意である。よって、存在性を示せば良い。
$X$上の準ゲージ$\overline{D}$を$\overline{D}\coloneqq D_{\mathcal{U}_D}$として、$\overline{D}$を生成する部分準ゲージ(i.e. 準ゲージ$B\subseteq\overline{D}$であって$B$と$\overline{D}$は同値)であって最小なものを構成する。
$\overline{D}$の部分集合$I$が独立であるとは、$I$のどの要素$p$も、それ自身を除いた集合$I\setminus\{p\}$から生成できないこととする。
$\Sigma$を$\overline{D}$の独立な部分集合全体とし、集合の包含関係により半順序集合とすると、$\Sigma$の任意の全順序部分集合の和集合は、再び独立となるため、$\Sigma$はツォルンの補題の条件を満たす。よって、極大独立集合$B$が$\Sigma$の中に存在する。
このとき、$B$の極大性から、$B$に属さない$\overline{D}$のどの要素も$B$によって生成できるため、$B$は$\overline{D}$を生成する。また、$B$の独立性から、$B$からは一つも要素を取り除くことができない。もし取り除けるなら、その要素は残りの要素で生成できてしまい、「独立」の定義に反する。
これらより、$\overline{D}$を生成する最小の部分準ゲージ$B$が存在することが示された。この$B$の濃度$\abs{B}$は、定義から$w(D)$と一致する。
したがって、重み$w(D)$は一意的に定まり、かつその重みを持つ準ゲージが実際に存在する。
特に、$D$がゲージであって、$\overline{D}$を生成する最小の部分ゲージ$B$も同様の議論により存在するため、$w(D)=\abs{B}$となる。

• 射の合成
  $U\in\hom(y,z)\otimes\hom(x,y)$に対して、$A\in\hom(x,y),B\in\hom(y,z)$が存在して$B\circ A\subseteq U$が成り立つ。ここで、$(x,z)\in B\circ A$より$U\in\hom(x,z)$となる。よって、$\hom(y,z)\otimes\hom(x,y)\to\hom(x,z)$となる。
• 単位射
  明らか。

$\mathcal{U}_X$を$X$上の一様構造とする。
順序を保つ
$\mathcal{A}\to\mathcal{B}$とすると$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$より$\tau(\mathcal{A})_d\geq\tau(\mathcal{B})_d$となる。

• 単位元との両立
  $\Delta(X)\in\mathbf{1}_X$より$\tau(\mathbf{1}_X)_d=0$となる。
• 劣加法性
  任意の$\varepsilon>0$に対して、$r_0,r_1>0$として
  $$ r_0\leq\tau(\mathcal{A})_d+\varepsilon,\quad r_1\leq\tau(\mathcal{B})_d+\varepsilon,\quad U_{d,r_0}\in\mathcal{A},\quad U_{d,r_1}\in\mathcal{B} $$
  を満たすものをとる。このとき、$U_{d,r_0}\circ U_{d,r_1}\subseteq U_{d,r_0+r_1}$より$U_{d,r_0+r_1}\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$であって、$r_0+r_1\leq\tau(\mathcal{A})_d+\tau(\mathcal{B})_d+2\varepsilon$より、$\tau(\mathcal{A}\otimes\mathcal{B})_d\leq r_0+r_1\leq\tau(\mathcal{A})_d+\tau(\mathcal{B})_d+2\varepsilon$なため、$\varepsilon$の任意性より$\tau(\mathcal{A})_d+\tau(\mathcal{B})_d\geq\tau(\mathcal{A}\otimes\mathcal{B})_d$となる。
• 左随伴を持つこと
  $\tau$は完備束の間の函手であるため、随伴函手定理から$\tau$が全ての下限を保つことを示せばよい。すなわち、$\mathcal{V}_X$のフィルターの族$\{\mathcal{F}_i\colon i\in I\}$に対して、等式
  $$ \tau\left(\bigcap_{i\in I}\mathcal{F}_i\right)=\sup_{i\in I}\tau(\mathcal{F}_i) $$
  が成り立つことを示す。各$d\in B$に対して、
  $$ \tau\left(\bigcap_{i\in I}\mathcal{F}_i\right)_d =\inf\left\{r>0\mathrel{}\middle|\mathrel{}U_{d,r}\in\bigcap_{i\in I}\mathcal{F}_i\right\} =\inf\{r>0\colon\forall i\in I,U_{d,r}\in\mathcal{F}_i\} =\sup_{i\in I}\inf\{r>0\colon U_{d,r}\in\mathcal{F}_i\} =\sup_{i\in I}\tau(\mathcal{F}_i)_d $$
  なため示された。ここで、$\mathcal{A}\in\mathcal{V}_X,r\geq 0$に対して、$\sigma(r)\subseteq\mathcal{A}$と$r\geq\tau(\mathcal{A})$は同値であるため、
  $$ \sigma(r) =\bigcap\{\mathcal{A}\in\mathcal{V}_X\colon\sigma(r)\subseteq\mathcal{A}\} =\bigcap\{\mathcal{A}\in\mathcal{V}_X\colon r\geq\tau(\mathcal{A})\} =\bigcap\{\mathcal{A}\in\mathcal{V}_X\colon\forall d\in B,r_d\geq\tau(\mathcal{A})_d\} =\bigcap\{\mathcal{A}\in\mathcal{V}_X\colon\forall d\in B,U_{d,r_d}\in\mathcal{A}\} $$
  が成り立つため、$\sigma(r)$は有限交叉族$\{U_{b,r_b}\colon b\in B\}$により生成されるフィルターとなる。よって、次が成り立つ。
  $$ \sigma(r)=\left\{U\in\mathcal{U}_X\mathrel{}\middle|\mathrel{}\exists b_0,\ldots,b_{n-1}\in B\text{ s.t. }\bigcap_{i=0}^{n-1}U_{b_i,r_{b_i}}\subseteq U\right\} $$