【1分証明】単射連続関数は単調

$$ U := \{(x,y) \in I^2 | x < y\} $$
とする．$f$は単射より，任意の$(x, y) \in U$に対して$f(x) \neq f(y)$であるから，
$$ U_+ := \{(x,y) \in U | f(x) < f(y) \} $$
$$ U_- := \{(x,y) \in U | f(x) > f(y) \} $$
とすれば$U = U_+ \sqcup U_-$である．$f$は連続なので$U_+ , U_-$は$U$の開集合であり，$U$は連結だから，$U = U_+$または$U=U_-$である．前者の場合は$f$は狭義単調増加で，後者の場合は狭義単調減少となる．