JMO2024予選6を雑に解説 (for experts)
RankTurnipさんのJMO2024予選6の解説記事 を読んでみたところ，自分はかなり違う（本質は一緒なんでしょうけど）方針を取っていたので思考回路を含め紹介します．別にexperts向けではないです．特に補助線を取るわけではないので図は割愛させてください！（全体的に雑なのはご了承ください...）
$AB=AC=5$なる二等辺三角形$ABC$の辺$AB$上に$AD=3$をみたす点$D$が，辺$BC$上（端点を除く）に点$E$がある．点$E$を通り直線$AB$に点$B$で接する円を$\omega$とすると，$\omega$は三角形$ADE$の外接円に接した．$\omega$と直線$AE$の交点のうち$E$でない方を$F$とすると，$CF=10$が成り立った．このとき，辺$BC$の長さを求めよ．
.
.
.
.
. (ネタバレ防止)
.
.
.
.
.
ほんぺん！
さて解いていきましょう．ところで私ははじめ点$E$が辺$AC$上にあると誤読をし，30分くらい溶かしてしまいました．ちなみに三角不等式を無視して無理やり求めると答えは$\sqrt{\frac{20}{3}} i$みたいな感じになります（多分）
以下本編です．
まあ作図が難しいというかできないですね．接する条件を角度条件に言い換えたいです．
（共通接線を考えると，）接弦定理から$\angle DEB=\angle BAE+\angle BFA=180^\circ-\angle ABF=180^\circ-\angle AEB=\angle AEC$がわかります．
$AB=AC$なので$\triangle AEC\sim \triangle DEB$が従いますね．もう勝った感．
この相似から$BE:EC=2:5$がわかります．$BE=2x,EC=5x$とでもおいてあげましょうか．
根心的なノリで$AC^2=AB^2=AE\times AF$なので$\triangle AEC\sim \triangle ACF$ですから$AE:EC=AC:CF=1:2$がわかります．よって$AE=\frac{5}{2}x$ですね．
あとは何しても解けると思います．スチュワートでも三平方でもどうぞ．
おわりに
いかがでしたか？
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
