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JMO2024予選6を雑に解説 (for experts)

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RankTurnipさんのJMO2024予選6の解説記事 を読んでみたところ,自分はかなり違う(本質は一緒なんでしょうけど)方針を取っていたので思考回路を含め紹介します.別にexperts向けではないです.特に補助線を取るわけではないので図は割愛させてください!(全体的に雑なのはご了承ください...)

JMO2024予選6

$AB=AC=5$なる二等辺三角形$ABC$の辺$AB$上に$AD=3$をみたす点$D$が,辺$BC$上(端点を除く)に点$E$がある.点$E$を通り直線$AB$に点$B$で接する円を$\omega$とすると,$\omega$は三角形$ADE$の外接円に接した.$\omega$と直線$AE$の交点のうち$E$でない方を$F$とすると,$CF=10$が成り立った.このとき,辺$BC$の長さを求めよ.

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ほんぺん!

  • さて解いていきましょう.ところで私ははじめ点$E$が辺$AC$上にあると誤読をし,30分くらい溶かしてしまいました.ちなみに三角不等式を無視して無理やり求めると答えは$\sqrt{\frac{20}{3}} i$みたいな感じになります(多分)

  • 以下本編です.

  • まあ作図が難しいというかできないですね.接する条件を角度条件に言い換えたいです.

  • (共通接線を考えると,)接弦定理から$\angle DEB=\angle BAE+\angle BFA=180^\circ-\angle ABF=180^\circ-\angle AEB=\angle AEC$がわかります.

  • $AB=AC$なので$\triangle AEC\sim \triangle DEB$が従いますね.もう勝った感.

  • この相似から$BE:EC=2:5$がわかります.$BE=2x,EC=5x$とでもおいてあげましょうか.

  • 根心的なノリで$AC^2=AB^2=AE\times AF$なので$\triangle AEC\sim \triangle ACF$ですから$AE:EC=AC:CF=1:2$がわかります.よって$AE=\frac{5}{2}x$ですね.

  • あとは何しても解けると思います.スチュワートでも三平方でもどうぞ.

おわりに

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投稿日:110
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noppi_kun
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