JMO2024予選6を雑に解説 (for experts)

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RankTurnipさんのJMO2024予選6の解説記事を読んでみたところ，自分はかなり違う（本質は一緒なんでしょうけど）方針を取っていたので思考回路を含め紹介します．別にexperts向けではないです．特に補助線を取るわけではないので図は割愛させてください！（全体的に雑なのはご了承ください...）

JMO2024予選6

$A B = A C = 5$ なる二等辺三角形 $A B C$ の辺 $A B$ 上に $A D = 3$ をみたす点 $D$ が，辺 $B C$ 上（端点を除く）に点 $E$ がある．点 $E$ を通り直線 $A B$ に点 $B$ で接する円を $ω$ とすると， $ω$ は三角形 $A D E$ の外接円に接した． $ω$ と直線 $A E$ の交点のうち $E$ でない方を $F$ とすると， $C F = 10$ が成り立った．このとき，辺 $B C$ の長さを求めよ．

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ほんぺん！

さて解いていきましょう．ところで私ははじめ点 $E$ が辺 $A C$ 上にあると誤読をし，30分くらい溶かしてしまいました．ちなみに三角不等式を無視して無理やり求めると答えは $\sqrt{\frac{20}{3}} i$ みたいな感じになります（多分）
以下本編です．
まあ作図が難しいというかできないですね．接する条件を角度条件に言い換えたいです．
（共通接線を考えると，）接弦定理から $∠ D E B = ∠ B A E + ∠ B F A = 180^{\circ} - ∠ A B F = 180^{\circ} - ∠ A E B = ∠ A E C$ がわかります．
$A B = A C$ なので $△ A E C \sim △ D E B$ が従いますね．もう勝った感．
この相似から $B E : E C = 2 : 5$ がわかります． $B E = 2 x, E C = 5 x$ とでもおいてあげましょうか．
根心的なノリで $A C^{2} = A B^{2} = A E \times A F$ なので $△ A E C \sim △ A C F$ ですから $A E : E C = A C : C F = 1 : 2$ がわかります．よって $A E = \frac{5}{2} x$ ですね．
あとは何しても解けると思います．スチュワートでも三平方でもどうぞ．