「くどー問題」の解決に向けて 第2部：族の理論

$r$ と $U,V$ の存在は，互いに素な整数係数多項式の終結式が $(f_1,g_1)\cap\mathbb Z$ に属することによる（一方が $0$ でない定数なら，$r$ としてその定数がとれる）．整数 $t$ で $\gcd(d(t)x,d(t)y)=\lvert d(t)\rvert\gcd(x,y)$ なので等式が成り立つ．$U(t)f_1(t)+V(t)g_1(t)=r$ より $h(t)\mid r$．したがって $h(t)=\gcd\bigl(f_1(t),g_1(t),r\bigr)$ であり，$f_1(t),g_1(t)$ の $r$ を法とする剰余は $t\bmod\lvert r\rvert$ だけで決まる．

「J-λ理論:定理6:除去判定」(d) より，$b(t)$ を除去できることは $D(t)\mid E(t)$ と同値である．$\lvert B(t)\rvert\ge2$ より $D(t)=S(t)-b(t)>0$ である．
(1) $E=DW+R_0$（$R_0\neq0$，$\deg R_0<\deg D$）と割り算し，正の整数 $N$ を $NW\in\mathbb Z[t]$ となるようにとる．$D(t)\mid E(t)$ なら $N\frac{R_0(t)}{D(t)}=N\frac{E(t)}{D(t)}-NW(t)\in\mathbb Z$ なので，$R_0(t)=0$ であるか $\lvert NR_0(t)\rvert\ge D(t)$ である．前者は高々 $\deg R_0$ 個の $t$ でしか起こらず，後者は $\deg R_0<\deg D$ より $\lvert t\rvert$ が十分大きいと起こらない．
(2) (1) の対偶．同値性は，$D$ を法として $S\equiv b$ なので $E=S(S^2-k)\equiv b\,(b^2-k)$ となることによる．
(3) $E(t)/D(t)=W(t)$ による．$W$ の係数の分母を $N'$ とすると，$t=t_0+mu$ のとき $W(t)\bmod1$ は $u\bmod N'$ だけで決まる．
追加候補については，$B(t)\cup\{a(t)\}$ が状態であることが $(S(t)+a(t))\mid E(t)$ と同値であること（$S+a$ を法として $a\equiv-S$ なので $C+a^3\equiv-E$；「J-λ理論:命題15:3つの連続する和」の証明）を用いて，同じ議論をすればよい．

「定理4:多項式の約数定理」(2) より $D=S-b$ は $E$ の約数で，$\deg b\le e<\deg S$ より $D$ の次数と上位の係数は $S$ と一致する．$E$ の約数は既約因子のべきの積と定数倍で尽くされ，最高次の係数を $S$ に合わせると定数倍も決まるので有限個．

$\zeta(u)$ を $B(\tau(u))$ から除去できる $u$ では，「J-λ理論:定理6:除去判定」(b) より $\mu(u)=\mu_{B(\tau(u))}(\zeta(u))\in\mathbb Z$ である．$\mu\in\mathbb Q(u)$ が無限個の整数で整数値をとるので，「補題1:整数値有理関数」より $\mu\in\mathbb Q[u]$．$\kappa=\zeta-\mu$ も多項式である．後半は，「定理4:多項式の約数定理」(2) を $\tau^*B$ と $\zeta$ に適用すればよい．

1. $z\in B(t)$ かつ $\lvert B(t)\rvert\ge2$ なので $S(t)-z>0$ であり，$\mathcal M$ の式は $m=\frac{z(k(t)-z^2)}{S(t)-z}=z\,c_{B(t)}(z)=\mu_{B(t)}(z)$ と同値である．よって $m$ は $z$ からただ1つに決まり，「J-λ理論:定理3:除去の公式」より，$z$ を除去できることは $\mu_{B(t)}(z)\in\mathbb Z$ と同値である．
2. $m=\rho z$ を代入すると $z\bigl(\rho(S(t)-z)-(k(t)-z^2)\bigr)=0$ となる．よって $z=0$（このとき $m=0$）であるか，$z^2-\rho z=k(t)-\rho S(t)$ である．後者は $t\in I$ のとき，$z$ が $B(t)$ の公差 $\rho$ の候補点であるという条件である．
3. $z\neq0$ なので，点が平面 $m=\rho z$ に乗るのは $\rho=m/z$ のときに限る．$z\neq S(t)$ なので，$\mathcal M$ の式を $z(S(t)-z)$ で割ると $\frac mz=\frac{k(t)-z^2}{S(t)-z}$ となる．公差が異なる平面どうしは直線 $\{z=m=0\}$ でしか交わらないので，ファイバー曲線どうしは互いに素である．
4. 「命題5:公差関数の形」より $\mu\in\mathbb Q[u]$ であり，公差関数の定義から $\mu\,(S(\tau)-\zeta)=\zeta\,(k(\tau)-\zeta^2)$ が $\mathbb Q[u]$ で成り立つ．$\zeta(u)$ は無限個の $u$ で正なので $\zeta\neq0$ であり，曲線が平面 $m=\rho_0z$ に含まれること，すなわち $\mu=\rho_0\zeta$ は，$c=\mu/\zeta=\rho_0$ と同値である．

候補点の条件 $z^2-\rho z=k(t)-\rho S(t)$（「J-λ理論:命題2:候補点の構造」(2)）を平方完成すると主張の式になる．(2) は両辺に $q_2$ を掛けて，$t$ について平方完成すればよい．(3) は $q_0,q_1,q_2$ が $\rho$ の高々1次式であることから従う．

分母を払う正の整数 $\nu$ をとり，$U=\nu\beta\,(2q_2t+q_1)$，$V=\nu\,(2z-\rho)$ とおくと
$$U^2-\alpha\beta\,V^2=\nu^2\beta^2\,\delta(\rho)\neq0$$
となる．$(t,z)\mapsto(U,V)$ は有理係数のアフィン写像なので，$(t,z)$ の整数性と合同条件は，$(U,V)$ についてのある法 $N_2$ の合同条件になる．

1. $q_2<0$ なら左辺は正定値なので，解は有限個である．$\alpha\beta=s_0^2$ なら $(U-s_0V)(U+s_0V)=\nu^2\beta^2\delta(\rho)$ と分解でき，右辺の約数の組は有限個である．
2. $N_0=\alpha\beta$ を平方数でない正の整数，$M_0=\nu^2\beta^2\delta(\rho)\neq0$ とすると，$U^2-N_0V^2=M_0$ の整数解は，有限個の解に $x_1+y_1\sqrt{N_0}$（$x_1^2-N_0y_1^2=1$）の整数べき（負のべきを含む）を掛けたものに限る．自己同型 $g=\begin{pmatrix}x_1&N_0y_1\\ y_1&x_1\end{pmatrix}$ は行列式が $1$ なので，法 $N_2$ で有限の位数 $K$ をもち，$g^K$ は法 $N_2$ の合同条件を保つ．したがって条件を満たす点 $P_0$ が1つあれば，$g^{jK}P_0$（$j\ge0$）はすべて条件を満たし，点は無限個ある．

「J-λ理論:命題11」(1) より，公差 $\frac12$ の候補点の条件 $2z^2-z=\Phi$ は $(4z-1)^2=8\Phi+1$ と同値である．また $8T_\sigma+1=(2\sigma+1)^2$．

(a)(b)(c) が互いに排反であることは定義から明らか．残る場合，すなわち公差関数が定数 $\rho_0$ で $q_2=q_2(\rho_0)\neq0$，$\delta=\delta(\rho_0)\neq0$ の場合が起こらないことを示す．
$\zeta(u)$ を $B(\tau(u))$ から除去できる無限個の $u$ では，$\zeta(u)$ は $B(\tau(u))$ の公差 $\rho_0$ の候補点である（「J-λ理論:命題2:候補点の構造」(1)）．よって
$$\zeta(u)^2-\rho_0\,\zeta(u)=k(\tau(u))-\rho_0\,S(\tau(u))$$
が成り立つ．両辺は $u$ の多項式で，無限個の $u$ で一致するから，恒等式である．したがって「定理7:ファイバー曲線」(2) の計算により，多項式
$$U(u)=2q_2\,\tau(u)+q_1,\qquad V(u)=2\zeta(u)-\rho_0\qquad(q_1=q_1(\rho_0))$$
は $U^2-q_2V^2=\delta$ を恒等的に満たす．$\sqrt{q_2}\in\overline{\mathbb Q}$ をとると，$\overline{\mathbb Q}[u]$ において
$$(U-\sqrt{q_2}\,V)(U+\sqrt{q_2}\,V)=\delta\neq0$$
である．積が $0$ でない定数となる2つの多項式は，ともに定数である．よって $U=\frac12\bigl((U-\sqrt{q_2}\,V)+(U+\sqrt{q_2}\,V)\bigr)$ は定数であり，$q_2\neq0$ より $\tau$ も定数となって，多項式の部分族の定義に反する．

1. $q_2(\rho)=k_2-\rho S_2$ は $S_2\neq0$ より $\rho$ の1次式で，その根は $\rho=k_2/S_2$ だけである．(b) の個数は「定理7:ファイバー曲線」(3) による．
2. $k=S+P$ の $t^2$ の係数が $S_2$ であることによる．

「定理4:多項式の約数定理」(2) とその追加版より，$\mathbb Q[t]$ で $(S-b)\mid E$，$(S+a)\mid E$ である．$E=SF$ で，$\gcd(S+a,S)=\gcd(a,S)=g_1^*$ なので $\frac{S+a}{g_1^*}\mid\frac{S}{g_1^*}F$，かつ $\frac{S+a}{g_1^*}$ と $\frac{S}{g_1^*}$ は互いに素だから $\frac{S+a}{g_1^*}\mid F$．同様に $\frac{S-b}{g_2^*}\mid F$．両者の最小公倍元 $L^*=\frac{(S+a)(S-b)}{G^*}$ も $F$ を割るので，$R^*=F/L^*\in\mathbb Q[t]$．「J-λ理論:定理5:基点の公式」(2) の恒等式 $F=(S-b)(S+b-c_b)$（有理関数として）から
$$\frac{R^*}{G^*}=\frac{F}{(S+a)(S-b)}=\frac{S+b-c_b}{S+a}=1-\frac{a-b+c_b}{S+a}.$$
$c_b=b-a$ なら，各 $t\in I'$ で「J-λ理論:定理16:連鎖か gcd か」の (i) の場合になる．そうでなければ $G^*-R^*=\frac{G^*(a-b+c_b)}{S+a}$ は $0$ でない多項式なので，次数は $0$ 以上である．

まず $S,a,b$ の係数の分母を法とする剰余類に $I'$ を分け，各類の上で $S,a,b$ が整数値をとるようにしておく．注意「等差数列の上の gcd」を $g_1(t)=\gcd(S(t),a(t))$ に用いると，$g_1(t)=\lvert d_1(t)\rvert h_1(t)$（$d_1$ は $g_1^*$ の定数倍，$h_1$ は剰余類で決まる）．$h_1$ が一定の剰余類の上では $\frac{S(t)+a(t)}{g_1(t)}$ は $t$ の多項式の値になる．$g_2$ も同様．この2つの多項式に再び同じ注意を用いると，$g_3(t)$ は $g_3^*$ の定数倍の値と剰余類で決まる因子の積になる．剰余類を細かくとり直せば，3つの因子がすべて一定になる．

$k=x_0^2-\rho_0x_0+\rho_0S$ を $F=S^2-k$ に代入すると $F=S^2-\rho_0S-x_0^2+\rho_0x_0=(S-x_0)(S+x_0-\rho_0)$．$E=SF$ は「補題2:多項式族の基本量」による．

1. 「定理4:多項式の約数定理」(2) と補題13 より $D\mid E=S(S-x_0)(S+x_0-\rho_0)$．$\deg b<\deg S$ より，$D$ の次数と最高次の係数は $S$ と一致する．
2. $f_1=S-x_0$，$f_2=S+x_0-\rho_0$ とおく．$\deg x_0,\deg\rho_0<\deg S$ より，$f_1,f_2$ の次数と最高次の係数は $S$ と一致する．$f_1\mid D$ なら，次数と最高次の係数が等しいので $D=f_1$，すなわち $b=x_0$ である．$f_2\mid D$ なら同様に $b=\rho_0-x_0$ である．どちらでもなければ，$f_1,f_2$ は既約なので $D$ と互いに素であり，$D\mid S\,f_1f_2$ から $D\mid S$ を得る．次数と最高次の係数を比べて $D=S$，すなわち $b=0$ となるが，$b(t)\in B(t)\subset\mathbb Z_{>0}$ となる $t$ が無限個あるので $b\neq0$ であり，矛盾する．

命題14 (2) より $b\in\{x_0,\rho_0-x_0\}$ である．しかし $x_0(t)\notin B(t)$ であり，$\rho_0-x_0=-a$ は $I$ 上で負なので，どちらも $B(t)$ の元にならない．

1. 「補題13:$F$ の分解」を2つの基点に適用する．
2. $A=\gcd(f_1,f_2)$ とし，$f_1=AB$，$f_2=AC$（$B,C$ は互いに素）と書く．(1) より $ABf_1'=ACf_2'$，すなわち $Bf_1'=Cf_2'$．$B$ と $C$ は互いに素なので $C\mid f_1'$ であり，$f_1'=CD$ と書くと $f_2'=BD$ を得る．
3. $\deg x_i,\deg\rho_i<\deg S$ より，$f_1,f_1',f_2,f_2'$ の次数と最高次の係数はすべて $S$ と一致する．
   $B$ が定数なら $f_1$ は $f_2$ を割り，次数と最高次の係数が等しいので $f_1=f_2$，すなわち $x_1=x_2$．このとき (1) から $f_1'=f_2'$ で $\rho_1=\rho_2$ となり，仮定に反する．
   $A$ が定数なら $f_1$ は $f_2'$ を割るので $f_1=f_2'$，すなわち $x_1=\rho_2-x_2$．(1) から $f_1'=f_2$ で $\rho_1=x_1+x_2=\rho_2$ となり，$(\rho_2,x_2)=(\rho_1,\rho_1-x_1)$ が共役の基点になって仮定に反する．
   $C$ が定数の場合は $f_2$ が $f_1$ を割り，$D$ が定数の場合は $f_2'$ が $f_1$ を割るので，それぞれ上の2つの場合と同じ矛盾になる．
   次数については，$\deg A+\deg B=\deg A+\deg C=\deg C+\deg D=\deg S$ による．
4. $E=SF=S\,f_1f_1'=S\cdot ABCD$．後半は「定理4:多項式の約数定理」(2) と系による．$\deg A=\deg B=\frac12\deg S$ なら $\deg(AD)=\deg(BC)=\deg S$ である．

1. 穴の族の定義の後に述べたとおり $B(t)\cup\{a(t)\}$ は状態なので，「J-λ理論:定理16:連鎖か gcd か」の状況にある．(i) が成り立つと仮定すると $c_{B\cup\{a\}}(a)=b-a$ である．一方，「J-λ理論:定理14:共役と逆の手」(2) より $a$ は $B\cup\{a\}$ の公差 $\rho_0$ の候補点で，$a< S+a$ なので「J-λ理論:命題2:候補点の構造」(1) より $c_{B\cup\{a\}}(a)=\rho_0$ である．よって $b=a+\rho_0=x_0$ となるが，$x_0(t)\notin B(t)$ に反する．したがって (ii) が成り立つ．
2. 正の整数 $M$ を $MS,Ma\in\mathbb Z[t]$ となるようにとる．$MS$ と $Ma$ は $\mathbb Q[t]$ で互いに素なので，「補題3:多項式の値の gcd」より，$0$ でない整数 $r$ があって，すべての整数 $t$ で $\gcd\bigl(MS(t),Ma(t)\bigr)\mid r$ となる．$t\in I$ では $S(t),a(t)$ は整数なので，$g_1=\gcd(S(t),a(t))$ は $\gcd\bigl(MS(t),Ma(t)\bigr)$ を割り，したがって $r$ を割る．(1) の $G=g_1g_2g_3$ に $g_1\le\lvert r\rvert$ を用いればよい．
3. 「定理11:多項式版の二分法」の (R1)，すなわち $c_b=b-a$ が有理関数として成り立つとすると，各 $t\in I'$ で (1) の (R1) が成り立ち，(1) に反する．よって (R2) であり，$S$ と $a$ が互いに素なら $g_1^*$ は定数なので，$\deg G^*=\deg(g_2^*g_3^*)$ である．

$(\rho_0,x_0)$ が基点なので $k=x_0^2-\rho_0x_0+\rho_0S$ である．これを代入して展開すると，任意の $\sigma$ について次の恒等式を得る．
$$z(k-z^2)-\bigl(\rho_0x_0+\sigma(z-x_0)\bigr)(S-z)=-(z-x_0)\bigl(z^2+(x_0-\sigma)z+(\sigma-\rho_0)S\bigr).$$
(2) 右辺の第2因子は $z^2+x_0z-\rho_0S+\sigma(S-z)$ であり，$z\ne S$ では，これが $0$ であることは $\sigma=\sigma_B(z)$ と同値である．根と係数の関係は明らか．
(1) $\sigma=\sigma_B(z)$ とすると (2) より右辺は $0$ なので，$z(k-z^2)=\bigl(\rho_0x_0+\sigma_B(z)(z-x_0)\bigr)(S-z)$．両辺を $S-z$ で割ると，左辺は $\mu_B(z)$ である．$\mu_B(x_0)=x_0c_B(x_0)=\rho_0x_0$（「J-λ理論:命題2:候補点の構造」(1)）．除去の判定は「J-λ理論:定理6:除去判定」(b) による．
(3) $x_0=0$ なら基点の条件は $\rho_0S=k$ で，$\sigma_B(z)=\frac{k-z^2}{S-z}=c_B(z)$．
(4) 恒等式で $(t,z,m)\in\mathcal M$ とすると，左辺は $m=\rho_0x_0+\sigma(z-x_0)$ の上で $0$ になる．よって交わりは $z=x_0$（このとき $m=\rho_0x_0$）か第2因子が $0$ の部分である．$z\ne x_0$ の点は，$\sigma=\frac{m-\rho_0x_0}{z-x_0}$ のときに限り $\sigma$ の曲面に乗る．2次の多項式族で $\deg x_0\le1$，$\rho_0$ が定数なら，第2因子は $t,z$ について2次である．

$\Gamma^\nu$ の座標環は $A$ の（関数体の中での）整閉包なので，$f$ は $A$ 上整であり，
$$f^e+a_1f^{e-1}+\dots+a_e=0\qquad(a_i\in A)$$
を満たす．各 $a_i$ は $t,z,m$ の有理係数（$K$ 上なら $K$ 係数）の多項式で表せるので，それらの係数の分母を払う正の整数 $N$ をとる．$\nu(P)$ が整数点なら $N a_i(P)\in\mathbb Z$（$K$ 上なら $\mathcal O_K$）であり，$g=Nf(P)$ は
$$g^e+\bigl(Na_1(P)\bigr)g^{e-1}+\bigl(N^2a_2(P)\bigr)g^{e-2}+\dots+N^ea_e(P)=0$$
を満たす．係数はすべて代数的整数なので $g$ は代数的整数である．$\mathbb Q$ 上なら $g\in\mathbb Q$ なので $g\in\mathbb Z$．$N_f=N$ とすればよい．

1. $\mathfrak M\subset\mathbb Z^3$ であり，$\Gamma\cap\mathfrak M$ は特殊曲線の定義により無限集合である．
2. $t$ が $\Gamma$ 上で定数 $t_0$ だとする．$\Gamma\cap\mathfrak M$ の点 $(t_0,z,m)$ は $z\in B(t_0)$ を満たし，「命題6:手の曲面」(1) より $m=\mu_{B(t_0)}(z)$ は $z$ で決まる．$B(t_0)$ は有限集合なので $\Gamma\cap\mathfrak M$ は有限となり，(1) に反する．

1. $\Gamma$ が $\overline{\mathbb Q}$ 上で $r\ge2$ 個の既約成分 $\Gamma_1,\dots,\Gamma_r$ に分かれるとする．これらは Galois 群で推移的に入れ替わる．$P\in\Gamma(\mathbb Q)$ が $\Gamma_1$ に乗れば，$\sigma(P)=P$ より $P$ はすべての $\Gamma_i$ に乗る．よって $\Gamma(\mathbb Q)\subset\Gamma_1\cap\Gamma_2$ は有限集合となり，「補題19:特殊曲線上の $t$」(1) に反する．後半は同じ補題の (1) による．
2. $\Gamma^\nu$ の上では $t,z,m$ は正則なので，$\Gamma^\nu\subset\Gamma^\circ$ である．逆に，$t,z,m$ がすべて正則な点 $P\in\tilde\Gamma$ の局所環は $A$ を含む離散付値環なので，$A$ の整閉包を含み，$P$ は $\Gamma^\nu$ に属する．
3. 被約な曲線の特異点は有限個である（標数 $0$）．曲線では正規と非特異は同値なので，正規化 $\nu$ は $\Gamma$ の非特異な部分 $\Gamma_{\rm sm}$ の上で $\mathbb Q$ 上の同型 $\nu^{-1}(\Gamma_{\rm sm})\cong\Gamma_{\rm sm}$ を与える．同型は $\mathbb Q$ 有理点どうしの全単射を与えるので，前半を得る．「補題19:特殊曲線上の $t$」(1) より $\Gamma\cap\mathfrak M$ は無限集合で，そのうち特異点は有限個なので，後半を得る．

1. 「補題20:特殊曲線の正規化」(1) より，$\Gamma$ は整数点を無限個もつ幾何的に既約なアフィン曲線なので，Siegel の定理より，$\tilde\Gamma$ の種数は $0$ で $\#\Sigma\le2$ である（下の注意も参照）．$\#\Sigma=0$ なら $\Gamma^\circ=\tilde\Gamma$ は射影曲線となり，その上の正則関数 $t$ は定数となって，「補題19:特殊曲線上の $t$」(2) に反する．
2. $\tilde\Gamma$ は種数 $0$ で，「補題20:特殊曲線の正規化」(3) より $\mathbb Q$ 有理点を無限個もつので，$\mathbb P^1_{\mathbb Q}$ に同型である．
3. $t$ が $\Sigma$ のどの点でも正則なら，$t$ は射影曲線 $\tilde\Gamma$ 全体で正則となり定数になり，「補題19:特殊曲線上の $t$」(2) に反する．

前半は，「補題20:特殊曲線の正規化」(1) と「補題21:特殊曲線の種数と無限遠点」(1) による．以下，同じ補題 (2) により $\tilde\Gamma\cong\mathbb P^1_{\mathbb Q}$ とし，「補題20:特殊曲線の正規化」(2) により $\Gamma^\circ=\Gamma^\nu$ とする．
(1) 無限遠点が1個の場合
$\Sigma=\{P_\infty\}$ は Galois 群で保たれるので $P_\infty\in\tilde\Gamma(\mathbb Q)$ である．同型 $\tilde\Gamma\cong\mathbb P^1_{\mathbb Q}$ を $P_\infty\mapsto\infty$ となるようにとると，$\Gamma^\circ\cong\mathbb A^1_{\mathbb Q}$ である．その座標を $u$ とすると，$\Gamma^\circ$ 上の関数としての $t,z,m$（正確には $\nu^*t,\nu^*z,\nu^*m$）は $u$ の多項式 $T,Z,M\in\mathbb Q[u]$ であり，「補題19:特殊曲線上の $t$」(2) より $T$ は定数でない．
分母の評価：$D\,T(u)=a_du^d+\dots+a_0$（$D,a_i\in\mathbb Z$，$D>0$，$a_d\neq0$）と書く．$\nu(P)$ が整数点となる $P\in\Gamma^\circ(\mathbb Q)$ について $u(P)=p/q$（既約分数，$q>0$）とすると，$T(p/q)\in\mathbb Z$ より
$$a_dp^d+a_{d-1}p^{d-1}q+\dots+a_0q^d=D\,T(p/q)\,q^d\equiv0\pmod q$$
なので $q\mid a_dp^d$，したがって $q\mid a_d$ である．よって $u(P)\in\frac1{a_d}\mathbb Z$ であり，$u(P)=\frac{u'}{a_d}$（$u'\in\mathbb Z$）と書ける．
剰余類への分割：$\tilde T(u')=T(u'/a_d)$，$\tilde Z(u')=Z(u'/a_d)$，$\tilde M(u')=M(u'/a_d)$ は有理係数多項式である．有理係数多項式 $F$ について，係数の分母を払う正の整数を $L_F$ とすると，「$F(u')\in\mathbb Z$」は $L_FF(u')\equiv0\pmod{L_F}$ と同値なので，$u'\bmod L_F$ だけで決まる．また $I$ は等差数列なので，「$\tilde T(u')$ が $I$ の剰余条件を満たす」ことも $u'$ のある法での剰余類だけで決まる．したがって正の整数 $L$ があって，
$$\tilde T(u'),\ \tilde Z(u'),\ \tilde M(u')\in\mathbb Z\ \text{かつ}\ \tilde T(u')\ \text{が}\ I\ \text{の剰余条件を満たす}$$
ような $u'$ の全体は，法 $L$ の剰余類 $\rho_1,\dots,\rho_r$ の和である．$\tau_j(v)=\tilde T(\rho_j+Lv)$，$\zeta_j(v)=\tilde Z(\rho_j+Lv)$，$\mu_j(v)=\tilde M(\rho_j+Lv)$ とおけば，これらは $\mathbb Z$ 上で整数値をとる．
$\Gamma\cap\mathfrak M$ が乗ること：$R\in\Gamma\cap\mathfrak M$ が $\Gamma$ の特異点でなければ，「補題20:特殊曲線の正規化」(3) より $R=\nu(P)$ となる $P\in\Gamma^\circ(\mathbb Q)$ があり，$R=\bigl(T(u(P)),Z(u(P)),M(u(P))\bigr)$ である．$R$ の座標は整数で，$R\in\mathfrak M$ より $T(u(P))\in I$ なので，上の議論から $u(P)=(\rho_j+Lv)/a_d$（$v\in\mathbb Z$）と書け，$R=(\tau_j(v),\zeta_j(v),\mu_j(v))$ である．$\Gamma$ の特異点は有限個なので，有限個の点を除いて $\Gamma\cap\mathfrak M$ の点はこれらの曲線の上にある．
$\mathfrak M$ に属する条件：各 $j$ と $v$ について，点 $(\tau_j(v),\zeta_j(v),\mu_j(v))$ は $\mathcal M$ の整数点である．「命題6:手の曲面」(1) より，これが $\mathfrak M$ に属することは，$\tau_j(v)\in I$，$\zeta_j(v)\in B(\tau_j(v))$，$\lvert B(\tau_j(v))\rvert\ge2$ と同値である．
部分族であること：$\mathfrak M$ の点を無限個含む $j$ について，$I'=\{v:\text{点が}\ \mathfrak M\ \text{に属する}\}$ は無限集合で，その各点で $\zeta_j(v)$ は $B(\tau_j(v))$ から除去できる．よって $\zeta_j$ は引き戻し $\tau_j^*\mathcal B$ の多項式の手であり，$(\tau_j,\zeta_j)$ は多項式の部分族である（$\tau_j$ は定数でない）．$\mu_j$ が部分族の $\mu$ と一致することは，無限個の $v$ で値が一致することから従う．
(2) 無限遠点が2個の場合
$\tilde\Gamma\cong\mathbb P^1_{\mathbb Q}$ の斉次座標 $[X:Y]$ を，$\infty=[1:0]$ が $\Sigma$ に属さないようにとる．$\Sigma$ は Galois 群で保たれる2点なので，整数係数の2元2次形式 $Q(X,Y)$ の零点集合として $\Sigma=\{Q=0\}$ と書ける．$Q$ は，$\Sigma$ の2点が $\mathbb Q$ 有理点なら有理係数の1次形式2つの積であり，そうでなければ $\mathbb Q$ 上既約である．
$Q$ の値の有界性：$\Gamma^\circ=\mathbb P^1\setminus\{Q=0\}$ の座標環は，$X^2/Q,\ XY/Q,\ Y^2/Q$ で生成される．$\nu(P)$ が整数点となる $P\in\Gamma^\circ(\mathbb Q)$ を，互いに素な整数で $P=[X:Y]$ と表す．「補題20:整数点の分母」をこの3つの関数に用いると，ある正の整数 $N$ について
$$\frac{NX^2}{Q(X,Y)},\ \frac{NXY}{Q(X,Y)},\ \frac{NY^2}{Q(X,Y)}\in\mathbb Z$$
となる．$\gcd(X^2,XY,Y^2)=1$ なので $Q(X,Y)\mid N$ である．また $P\notin\Sigma$ より $Q(X,Y)\neq0$．したがって $Q(X,Y)$ は $N$ の約数（有限個）の値しかとらない．「補題20:特殊曲線の正規化」(3) より，特異点を除く $\Gamma\cap\mathfrak M$ の点はこのような $P$ の像である．
(i) $Q=\ell_1\ell_2$（有理係数の1次形式の積）のとき，$\ell_1(X,Y)\ell_2(X,Y)=e$ となる $(X,Y)$ は，$\ell_1,\ell_2$ が1次独立なので，各 $e\neq0$ について有限個である． (ii) $Q$ が既約で定値（判別式が負，$K$ は虚2次体）のとき，$Q(X,Y)=e$ の整数解は有限個である． (i)(ii) では $\Gamma\cap\mathfrak M$ が有限となり，「補題19:特殊曲線上の $t$」(1) に反する．よって $Q$ は既約で不定値，つまり $\Sigma$ の2点は実2次体 $K$ 上で定義されて互いに共役である．
(iii) $Q$ が既約で不定値のとき，$Q$ の判別式（平方数でない正の整数）を $\Delta$ とする．$Q$ の固有自己同型群 $\mathrm{SO}(Q,\mathbb Z)=\{\gamma\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z):Q\circ\gamma=Q\}$ は，$\Delta$ で決まる $K$ の整環 $\mathcal O$ のノルム $1$ の単数群 $U$ と同型な無限群である．また，各 $e\neq0$ について，$Q(X,Y)=e$ の整数解の全体は，この群の有限個の軌道の和である．よって $\Gamma\cap\mathfrak M$ は，有限個の点を除き，$U$ の有限個の軌道の和に含まれる．
合同条件：$t,z,m$ は $\Gamma^\circ$ 上の正則関数なので，$F(X,Y)/Q(X,Y)^s$（$F$ は $2s$ 次の整数係数形式）の形の有理係数結合で書ける．軌道の上では $Q(X,Y)=e$ は一定なので，「$t,z,m$ が整数で，$t$ が $I$ の剰余条件を満たす」ことは，$(X,Y)$ のある法 $L$ での剰余だけで決まる．法 $L$ の主合同部分群 $U'=\{\gamma\in\mathrm{SO}(Q,\mathbb Z):\gamma\equiv1\pmod L\}$ は，有限群への準同型 $\mathrm{SO}(Q,\mathbb Z)\to\mathrm{SL}_2(\mathbb Z/L\mathbb Z)$ の核なので有限指数である．$U'$ 軌道の上では $(X,Y)\bmod L$ が一定なので，上の条件は軌道全体で成り立つか，どの点でも成り立たない．$U$ の各軌道は $U'$ の有限個の軌道に分かれる．
指数関数的な増大：$Q=a\,\ell_1\ell_2$（$\ell_1,\ell_2$ は $K$ 上の共役な1次形式で，$\Sigma=\{\ell_1=0\}\cup\{\ell_2=0\}$）と分解する．$\mathrm{SO}(Q,\mathbb Z)$ の元 $\gamma$ は $\Sigma$ の2点を固定するので，ある単数 $\eta\in U$ について $\ell_1\circ\gamma=\eta\,\ell_1$，$\ell_2\circ\gamma=\eta^{-1}\ell_2$ である．$\gamma$ が有限位数でないとき $\lvert\eta\rvert\neq1$． $t=F/Q^s$ を $\ell_1,\ell_2$ で展開して $F=\sum_{i+j=2s}f_{ij}\ell_1^i\ell_2^j$ とすると，
$$t(\gamma^kP_0)=\frac1{e^s}\sum_{i+j=2s}f_{ij}\,\eta^{k(i-j)}\,\ell_1(P_0)^i\ell_2(P_0)^j$$
である（$Q(P_0)=e\neq0$ より $\ell_1(P_0),\ell_2(P_0)\neq0$）．「補題21:特殊曲線の種数と無限遠点」(3) より $t$ は $\Sigma$ のある点で極をもち，$t$ は $\mathbb Q$ 上定義されているので，共役なもう1点でも同じ位数 $p>0$ の極をもつ．これは $f_{ij}\neq0$ となる $j$ の最小値が $s-p$ であること，すなわち $i-j$ の最大値が $2p>0$ であることを意味する（$\ell_1$ と $\ell_2$ の役割を入れ替えても同様）．よって $k\to\pm\infty$ で $\lvert t(\gamma^kP_0)\rvert\asymp\lvert\eta\rvert^{2p\lvert k\rvert}$ となり，$\rho=\lvert\eta\rvert^{2p}$（$\lvert\eta\rvert>1$ となる向きにとる）で主張が成り立つ．