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東大数理院試過去問解答例(2021B07)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2021B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2021B07

連結かつ向き付け可能なコンパクト2次元多様体S及びその上のRiemann計量gを定める。ここでC級写像φ:SSに対して
D(φ):=inf{dφ(v)gvg|pS,vTpS{0}}D+(φ):=sup{dφ(v)gvg|pS,vTpS{0}}
とおく。
(1) gの面積要素volgに対して
D(φ)2|Sφvolg|SvolgD+(φ)2
が成り立つことを示せ。
(2) mを自然数とする。m<D(φ)ならばm2+1D+(φ)であることを示せ。
(3) 1<D(φ)かつD+(φ)=2であるようなS,φ,gの例を挙げなさい。

  1. まず各点pの近傍の座標系(x,y)dxdyが体積形式ωを定めるようにとる。そしてこのようにとったときのφ(p)の近傍の座標系を(u,v)とおく。このとき
    (φω)p(xy)=(ωdφ)p(xy)=(detdφ)ωφ(p)(uv)=(detdφ)ωp(xy)
    である。ここでdetdφは常に
    D(φ)2|detdφ|D+(φ)2
    を満たしているから、辺々積分Sωをとることによって結果が従う。
  2. まず写像度
    degφ=SφωSω
    は必ず整数であるから、これと(1)より、D(φ)>mのときD+(φ)m2+1が従う。
  3. S=T2:=R2/Z2とし、gx及びyについてのGram行列
    (140012)
    によって定める。ここで
    T2T2(x,y)(y,2x)
    とおく。このときv=s(x)p+t(y)pに対して
    dF(v)gvg=s22+t2s24+t22=2
    であるから、これは例になっている。

 

投稿日:20231124
更新日:2023127
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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