非整数階時間微分を含む拡散方程式の最大値原理について

Maximum Principle for the Time-fractional diffusion equation

Introduction

ここでは, 次の初期値境界値問題
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{ll}{}_0^c{D}_t^{\alpha }u=Lu+f& \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\Omega }\times (0,T)=:Q_T,\\ u=v& \mathrm{o}\mathrm{n}\partial \mathrm{\Omega }\times [0,T]=:{\mathrm{\Sigma }}_T,\\ u=u_0& \mathrm{o}\mathrm{n}\bar{\mathrm{\Omega }}\times \{t=0\}=:{\mathrm{\Gamma }}_0\end{array}\end{array}$$
について考える. ここで, $\alpha \in (0,1)$,
$$Lu=\mathrm{\nabla }\cdot (p(x)\mathrm{\nabla }u)-q(x)$$
であり, 任意の$x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$に対して
$$p\in C^1(\mathrm{\Omega }),q\in C(\bar{\mathrm{\Omega }}),p(x)>0,q(x)⩾0$$
かつ$F\in C(Q_T),u_0\in C(\bar{\mathrm{\Omega }}),v\in C(\partial \mathrm{\Omega }\times [0,T])$をみたすと仮定する. 次に, 問題$\text{(1)}$の解の定義を述べる.

今回は次の最大値原理(Maximum Principle)と呼ばれる通常の拡散方程式でよく知られている定理の証明を行う.

Extremum Principle

本章では, 定理1の証明の際に必要なCaputo微分に対するExtremum Principleと呼ばれる次の補題の証明をする.

Proof of Theorem 1

背理法で示す. ある$(x_0,t_0)\in \mathrm{\Omega }\times (0,T]$に対して
$$u(x_0,t_0)>\underset{(x,t)\in {\mathrm{\Sigma }}_T\cup {\mathrm{\Gamma }}_0}{max}\{0,u(x,t)\}=M>0$$
であると仮定する. ここで, $\epsilon =u(x_0,t_0)-M>0$とし,
$$w(x,t)=u(x,t)+\frac{\epsilon }{2}\frac{T-t}{T},(x,t)\in {\bar{Q}}_T$$
と定義する. まず$w$の定義より
$$w(x,t)=u(x,t)+\frac{\epsilon }{2}\frac{T-t}{T}⩽u(x,t)+\frac{\epsilon }{2}$$
であり, $(x,t)\in {\mathrm{\Sigma }}_T\cup {\mathrm{\Gamma }}_0$に対して,
$$w(x_0,t_0)⩾u(x_0,t_0)=\epsilon +M⩾\epsilon +u(x,t)⩾\epsilon +w(x,t)-\frac{\epsilon }{2}=w(x,t)+\frac{\epsilon }{2}$$
と評価できる. これは$w$が${\mathrm{\Sigma }}_T\cup {\mathrm{\Gamma }}_0$で最大値を取らないことを意味している. もし$w$が$\bar{\mathrm{\Omega }}\times [0,T]$上のある点$(x_1,t_1)$で最大値を取るとすると, $x_1\in \mathrm{\Omega }$, $t_1\in (0,T]$であり,
$$w(x_1,t_1)⩾w(x_0,t_0)⩾\epsilon +M>\epsilon$$
をみたす. また, Lemma 1と$w$が$(x_1,t_1)$で最大値を取ることより,
$$\{\begin{array}{l}{}_0^c{D}_t^{\alpha }w(t_1)⩾0,\\ (\mathrm{\nabla }w)(x_1,t_1)=0,(\mathrm{\Delta }w)(x_1,t_1)⩽0\end{array}$$
をみたす. $u=w-{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}{\displaystyle \frac{T-t}{T}}$のCaputo微分は,
$${}_0^c{D}_t^{\alpha }u={}_0^c{D}_t^{\alpha }w-\frac{\epsilon }{2}{}_0^c{D}_t^{\alpha }\left(\frac{T-t}{T}\right)={}_0^c{D}_t^{\alpha }w+\frac{\epsilon }{2T}{}_0^c{D}_t^{\alpha }t$$
となり, 冪関数のCaputo微分は
$${}_0^c{D}_t^{\alpha }(t^{\beta })=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\beta )}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha +\beta )}{t}^{\beta -\alpha },\beta >0$$
であることから
$${}_0^c{D}_t^{\alpha }u={}_0^c{D}_t^{\alpha }w+\frac{\epsilon }{2T}\frac{t^{1-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(2-\alpha )}$$
が得られる. したがって, $u(x_1,t_1)=w(x_1,t_1)-{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}{\displaystyle \frac{T-t_1}{T}}$を問題$\text{(1)}$の方程式に代入すると,
$$\begin{array}{rl}& {}_0^c{D}_t^{\alpha }u(x_1,t_1)-(\mathrm{\nabla }\cdot (p\mathrm{\nabla }u))(x_1,t_1)+q(x_1)u(x_1,t_1)-f(x_1,t_1)\\ & ={}_0^c{D}_t^{\alpha }u(x_1,t_1)-(\mathrm{\nabla }p\cdot \mathrm{\nabla }u)(x_1,t_1)-p(x_1)\mathrm{\Delta }u(x_1,t_1)+q(x_1)u(x_1,t_1)-f(x_1,t_1)\\ & ={}_0^c{D}_t^{\alpha }w(x_1,t_1)+\frac{\epsilon }{2T}\frac{t_1^{1-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(2-\alpha )}-(\mathrm{\nabla }p\cdot \mathrm{\nabla }w)(x_1,t_1)\\ & -p(x_1)\mathrm{\Delta }w(x_1,t_1)+q(x_1)(w(x_1,t_1)-\frac{\epsilon }{2}\frac{T-t_1}{T})-f(x_1,t_1)\\ & ⩾\frac{\epsilon }{2T}\frac{t_1^{1-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(2-\alpha )}+\epsilon q(x_1)(1-\frac{T-t_1}{2T})=\frac{\epsilon }{2T}\frac{t_1^{1-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(2-\alpha )}+\epsilon q(x_1)\frac{T+t_1}{2T}>0\end{array}$$
となる. これは$u$が問題$\text{(1)}$の解であることに矛盾する. 以上より, 定理の証明が完了した.

同様に次の系を得る.

最大値原理, 最小値原理から古典解の一意性がしたがう.