非整数階時間微分を含む拡散方程式の最大値原理について
Maximum Principle for the Time-fractional diffusion equation
Introduction
ここでは, 次の初期値境界値問題
\begin{equation}\label{1}\tag{1}
\begin{cases}
\caputo u = Lu + f & {\rm in}\ \ \om\times(0,T) =: Q_T,\\
u = v & {\rm on}\ \ \partial\om\times[0,T] =: \Sigma_T,\\
u = u_0 & {\rm on}\ \ \overline{\om}\times\{t=0\} =: \Gamma_0
\end{cases}
\end{equation}
について考える. ここで, $\a \in (0,1)$,
\begin{equation}
Lu = \nabla\cdot(p(x)\nabla u) - q(x)
\end{equation}
であり, 任意の$x \in \overline{\Omega}$に対して
\begin{equation}
p \in C^1(\Omega),\ q \in C(\overline{\Omega}),\ p(x) > 0,\ q(x) \geqslant 0
\end{equation}
かつ$F \in C(Q_T), u_0 \in C(\overline{\Omega}), v \in C(\partial\Omega \times [0, T])$をみたすと仮定する. 次に, 問題\eqref{1}の解の定義を述べる.
$u \in C(\overline{Q}_T) \cap W^1(0,T) \cap C^2(\om)$が問題\eqref{1}をみたすとき, $u$は問題\eqref{1}の古典解という. ここで,
\begin{equation}
W^1(0,T) = \{f \in C^1((0,T]); f' \in L^1(0,T)\}
\end{equation}
である.
今回は次の最大値原理(Maximum Principle)と呼ばれる通常の拡散方程式でよく知られている定理の証明を行う.
$u$が問題\eqref{1}の古典解であり, $f \leqslant 0$ in $\overline{Q}_T$とする. このとき,
\begin{equation}
u(x, t) \leqslant \max\left\{0, \max_{(x, t) \in \Gamma_0 \cup \Sigma_T}u(x, t)\right\},\ \ \forall (x, t) \in \overline{Q}_T
\end{equation}
が成立する.
Extremum Principle
本章では, 定理1の証明の際に必要なCaputo微分に対するExtremum Principleと呼ばれる次の補題の証明をする.
$f \in W^1(0, T) \cap C([0, T])$が$t = t_0$, $t_0 \in (0, T]$で最大値をとる関数とする. このとき, 任意の$\a \in (0,1)$に対して
\begin{equation}
\caputo f(t_0) \geqslant 0
\end{equation}
が成立する.
\begin{equation}
h(t) = f(t_0) - f(t),\ \ t \in [0, T]
\end{equation}
とすると,
\begin{equation}
h(t) \geqslant 0,\ \ t \in [0, T]
\end{equation}
である. 故に, 定数関数のCaputo微分は0になるので,
\begin{equation}
\caputo h(t) = -\caputo f(t)
\end{equation}
となる. $\delta \in (0, t_0)$を任意に固定し,
\begin{align}
\caputo h(t_0)
& = \int_0^{t_0}g_{\alpha}(t_0 - \tau)h'(\tau)\ d\tau\ \ \left(g_{\alpha}(t) = \frac{t^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\right) \\
& = \left(\int_0^{\delta} + \int_{\delta}^{t_0}\right)(g_{\alpha}(t_0 - \tau)h'(\tau))\ d\tau = I_1 + I_2
\end{align}
とする. まず$I_1$は$h' \in L^1(0,T)$より$\delta \to 0$とすれば$|I_1| \to 0$を得る. $I_2$は部分積分より
\begin{align}
I_2
& = \int_{\delta}^{t_0}g_{\alpha}(t_0 - \tau)h'(\tau)\ d\tau = \biggl[g_{\alpha}(t_0 - \tau)h(\tau)\biggl]_{\tau=\delta}^{\tau=t_0} - \int_{\delta}^{t_0}g'_{\alpha}(t_0 - \tau)h(\tau)\ d\tau
\end{align}
であり, 第1項は$\tau \to t_0$のとき平均値の定理を用いると
\begin{align}
|g_{\alpha}(t_0 - \tau)h(\tau)|
& = \frac{1}{\Gamma(1-\a)}(t_0-\tau)^{-a}|f(t_0)-f(\tau)| \\
& \leqslant C_{\a}\max_{t\in(\tau,t_0)}|f'(s)||t_0-\tau|^{1-\a} \to 0\ \ {\rm as}\ \ \tau \to t_0
\end{align}
と評価できる. したがって続きを計算すると
\begin{align}
I_2
& = -g_{\alpha}(t_0 - \delta)h(\delta) - \int_{\delta}^{t_0}g_{\alpha}'(t_0 - \tau)h(\tau)\ d\tau \\
& = -g_{\alpha}(t_0 - \delta)h(\delta) - \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{\delta}^{t_0}(t_0 - \tau)^{-\alpha-1}h(\tau)\ d\tau
\end{align}
となるので, $\delta \to 0$とすれば$I_2 \leqslant 0$が得られる. 以上の議論より$\caputo h(t_0) \leqslant 0$すなわち$\caputo f(t_0) \geqslant 0$が得られ補題が示された.
Proof of Theorem 1
背理法で示す. ある$(x_0, t_0) \in \Omega \times (0, T]$に対して
\begin{equation}
u(x_0, t_0) > \max_{(x, t) \in \Sigma_T\cup\Gamma_0}\{0, u(x, t)\} = M > 0
\end{equation}
であると仮定する. ここで, $\varepsilon = u(x_0, t_0) - M > 0$とし,
\begin{equation}
w(x, t) = u(x, t) + \frac{\varepsilon}{2}\frac{T - t}{T},\ \ (x, t) \in \overline{Q}_T
\end{equation}
と定義する. まず$w$の定義より
\begin{equation}
w(x, t) = u(x, t) + \frac{\varepsilon}{2}\frac{T - t}{T} \leqslant u(x, t) + \frac{\varepsilon}{2}
\end{equation}
であり, $(x, t) \in \Sigma_T \cup \Gamma_0$に対して,
\begin{equation}
w(x_0, t_0) \geqslant u(x_0, t_0) = \varepsilon + M \geqslant \varepsilon + u(x, t) \geqslant \varepsilon + w(x, t) - \frac{\varepsilon}{2} = w(x, t) + \frac{\varepsilon}{2}
\end{equation}
と評価できる. これは$w$が$\Sigma_T\cup\Gamma_0$で最大値を取らないことを意味している. もし$w$が$\overline{\Omega}\times[0, T]$上のある点$(x_1, t_1)$で最大値を取るとすると, $x_1 \in \Omega$, $t_1 \in (0, T]$であり,
\begin{equation}
w(x_1, t_1) \geqslant w(x_0, t_0) \geqslant \varepsilon + M > \varepsilon
\end{equation}
をみたす. また, Lemma 1と$w$が$(x_1, t_1)$で最大値を取ることより,
\begin{equation}
\begin{cases}
\caputo w(t_1) \geqslant 0, \\
(\nabla w)(x_1, t_1) = 0,\ \ (\Delta w)(x_1, t_1) \leqslant 0
\end{cases}
\end{equation}
をみたす. $u = w - \dfrac{\varepsilon}{2}\dfrac{T-t}{T}$のCaputo微分は,
\begin{equation}
\caputo u = \caputo w - \frac{\varepsilon}{2}\caputo\left(\frac{T-t}{T}\right) = \caputo w + \frac{\varepsilon}{2T}\caputo t
\end{equation}
となり, 冪関数のCaputo微分は
\begin{equation}
\caputo (t^{\beta}) = \frac{\Gamma(1+\beta)}{\Gamma(1-\alpha+\beta)}t^{\beta-\alpha},\ \ \beta > 0
\end{equation}
であることから
\begin{equation}
\caputo u = \caputo w + \frac{\varepsilon}{2T}\frac{t^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}
\end{equation}
が得られる. したがって, $u(x_1, t_1) = w(x_1, t_1) - \dfrac{\varepsilon}{2}\dfrac{T-t_1}{T}$を問題\eqref{1}の方程式に代入すると,
\begin{align}
& \caputo u(x_1, t_1) - (\nabla\cdot(p\nabla u))(x_1, t_1) + q(x_1)u(x_1, t_1) - f(x_1, t_1) \\
& = \caputo u(x_1, t_1) - (\nabla p \cdot\nabla u)(x_1, t_1) - p(x_1)\Delta u(x_1, t_1) + q(x_1)u(x_1, t_1) - f(x_1, t_1) \\
& = \caputo w(x_1, t_1) + \frac{\varepsilon}{2T}\frac{t_1^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)} - (\nabla p \cdot\nabla w)(x_1, t_1) \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ - p(x_1)\Delta w(x_1, t_1) + q(x_1)\left(w(x_1, t_1) - \frac{\varepsilon}{2}\frac{T-t_1}{T}\right) - f(x_1, t_1) \\
& \geqslant \frac{\varepsilon}{2T}\frac{t_1^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)} + \varepsilon q(x_1)\left(1 - \frac{T-t_1}{2T}\right) = \frac{\varepsilon}{2T}\frac{t_1^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)} + \varepsilon q(x_1)\frac{T+t_1}{2T} > 0
\end{align}
となる. これは$u$が問題\eqref{1}の解であることに矛盾する. 以上より, 定理の証明が完了した.
同様に次の系を得る.
$u$が問題\eqref{1}の古典解であり, $f \geqslant 0$ in $\overline{Q}_T$とする. このとき,
\begin{equation}
u(x, t) \geqslant \min\left\{0, \min_{(x, t) \in \Gamma_0 \cup \Sigma_T}u(x, t)\right\},\ \ \forall (x, t) \in \overline{Q}_T
\end{equation}
が成立する.
最大値原理, 最小値原理から古典解の一意性がしたがう.
問題\eqref{1}の古典解は一意である.
$u_1, u_2$を問題\eqref{1}の古典解とし, $u = u_1 - u_2$とおく. このとき, 初期値境界値問題
\begin{equation}
\begin{cases}
\caputo u = Lu & {\rm in}\ \ Q_T,\\
u = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T,\\
u = 0 & {\rm on}\ \ \Gamma_0
\end{cases}
\end{equation}
に対して最大値原理と最小値原理を適用させると$u = 0$すなわち$u_1 = u_2$を得る.
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