マコーレー・デュレーションの証明

$d=\dfrac1{1+y}$とおく．結果的に約分でキャンセルされるので，債権の額面価値を$1$として良い．すると期間あたりのクーポン支払いは$c$になる．$n$期目には$c+1$が支払われるから，現在価値$\PV$は
$$\PV=\sum_{k=1}^ncd^k+d^n=\dfrac{1}{1-d}\bigl(cd+d^n-(c+1)d^{n+1}\bigr)$$
と計算できる．同様にして$M$は
$$M=\sum_{k=1}^nkcd^k+nd^n=\dfrac{cd(1-d^n)}{(1-d)^2}-\dfrac{cnd^{n+1}}{1-d}+nd^n$$
と計算できる．$1-d=yd$, $1+y=d^{-1}$を用いると
$$\PV=\dfrac{c+d^{n-1}-(c+1)d^n}{y}=\dfrac{c((1+y)^n-1)+y}{y(1+y)^n}$$
および
\begin{eqnarray} M &=&\dfrac{cd(1-d^n)}{(yd)^2}-\dfrac{cnd^{n+1}}{yd}+nd^n\\ &=&\dfrac{c(1-d^n)}{y^2d}-\dfrac{cnd^{n}}{y}+nd^n\\ &=&\dfrac{c(1+y)(1-d^n)}{y^2}-\dfrac{cnd^{n}}{y}+nd^n \end{eqnarray}
を得る．ここで$\dfrac{c(1+y)(1-d^n)}{y^2}=\dfrac{(1+y)(c(1-d^n)+yd^n)}{y^2}-\dfrac{(1+y)d^n}{y}$に注目すると
\begin{eqnarray} M &=&\dfrac{(1+y)(c(1-d^n)+yd^n)}{y^2}-\dfrac{(1+y)d^n}{y}-\dfrac{cnd^{n}}{y}+nd^n\\ &=&(1+y)\dfrac{c(1-d^n)+yd^n}{y^2}-\dfrac{(1+y)d^n+cnd^n-ynd^n}{y}\\ &=&\dfrac{(1+y)\Bigl(c\bigl((1+y)^n-1\bigr)+y\Bigr)}{y^2(1+y)^n}-\dfrac{1+y+n(c-y)}{y(1+y)^n} \end{eqnarray}
を得る．よって
\begin{eqnarray} \dfrac{M}{\PV} &=&\dfrac{\dfrac{(1+y)\Bigl(c\bigl((1+y)^n-1\bigr)+y\Bigr)}{y^2(1+y)^n}-\dfrac{1+y+n(c-y)}{y(1+y)^n}}{\dfrac{c((1+y)^n-1)+y}{y(1+y)^n}}\\ &=&\dfrac{\dfrac{(1+y)\Bigl(c\bigl((1+y)^n-1\bigr)+y\Bigr)}{y}-(1+y+n(c-y))}{c((1+y)^n-1)+y}\\ &=&\dfrac{1+y}{y}-\dfrac{1+y+n(c-y)}{c((1+y)^n-1)+y} \end{eqnarray}
と計算できるので，マコーレー・デュレーションは
$$\DMac=\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{M}{\PV}=\dfrac{1+y}{my}-\dfrac{1+y+n(c-y)}{mc((1+y)^n-1)+my}$$
となる．