積分の問題
積分だよ
どうも。
らららです。はじめまして。
この記事では積分をやります。
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x\quad e^{-x}}{x} dxを求めよ。 $$
ネタバレ回避の空白
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はい、できたかな？
\begin{align} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x\quad e^{-x}}{x} dx &=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} dx \\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{x}x^{2n+1} dx \\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{2n} dx \\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}Γ(2n+1) \\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(2n)! \\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \\&=\frac{\pi}{4} \end{align}
でましたね、
私がこの証明を見たときよくこんな発想がするなと思いました。
sinをマクローリン展開して積分と総和を交換する方法は別の積分でも使ったりするので覚えていてもいいんじゃないかなと思います。
答えは、$\frac{\pi}{4}$
最後の級数は有名なライプニッツ級数というやつです。
それの記事も出したい。
おしまい！！！