大学数学基礎解説

積分の問題

級数,積分,問題

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積分だよ

どうも。
らららです。はじめまして。

この記事では積分をやります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x e^{- x}}{x} d x を求めよ。$

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はい、できたかな？

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x e^{- x}}{x} d x & = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x}}{x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} d x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x}}{x} x^{2 n + 1} d x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{2 n} d x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} Γ (2 n + 1) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} (2 n)! \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} \\ = \frac{π}{4} \end{aligned}$