ε-N論法の書き方に対する疑問

こんにちは。初めて記事を書かせていただきます。

ε-N論法の書き方に対する疑問

大学数学で、最も悪名高いと言っても過言ではないε-N/ε-δ論法。
その”書き方”について、考察したい。

まず、私が初めてε-N論法を勉強した形態は、
『イプシロンデルタ論法　完全攻略』
に書かれていた、

でした。
「うむ。なんとも美しい。」と、高校を卒業した春休みに思いました。

しかし、大学の授業で、この形で書いたところ、なんと減点されました。
先生は「”本来の極限の定義”を、厳密に表せていない。」
と言っていました。
”本来の極限の定義”として、先生が挙げていた形は、

上記を論理記号で書くと、

でした。先生は東北大学でこう習ったらしいです。
文章中の次の英単語
arbitary=$\forall$,for all=$\forall$.
such that= s.t.

をそのまま、論理記号に入れ替えると、ε-N論法が完成するので、
これが絶対に適切であるかは置いておいて、論理的ではあります。

また、
ε-N/ε-δ論法を完成させた、カール・ワイエルシュトラスの英文での定義は

となっていて、
同様に、上の定義を論理式に翻訳すると、

となります。

まぁ、ε-N論法のやりたいことである、
「どんなに小さい誤差εという＝であると言って良い基準を注文されたとしても、こちらが適切なN(ε)を持ってくれば、その要望に応えられる。」ということを、上の三つ全て表せているのでなんでも良いと言えばそうなのですが、
一番厳密で、減点されない安全で、
また、実際に使うときに使い勝手が良いかどうかを考慮して、

だと私は今は結論付けます。

理由は

• 自然数を「N(ε)$\geq$1 」と表現するのは、流石に不明瞭である。

-不等号は、証明に使うときに、たまに邪魔になるので、$\geq$を多用した。

• 「$\forall$n$\geq$N(ε)」と「$\forall$n$\in$$\mathbb{N}$」を両立させたかったのですが、そうすると、「$\Longrightarrow$」を使う必要が出てきて、実際に使うとき、
  （特に「$\lim_{n \to \infty}$$a_{n} \neq \alpha $」を証明するとき）に少し複雑に考える必要が出てきてしまうため、避けました。

皆さんのε-Nの形はどんなのでしょうか？
皆厳密に同じ、というのも良いですが、
少しずつ違う、というのもなんとも面白いなと思います。

後書き

テスト前に、こんな記事を書いている場合ではないのですが、ふと
「数学を勉強している人と、ネットでつながるきっかけが欲しいなぁ。」
と思ったので、この記事を書きました。
ε-N論法に、同じような悩みを持っていた人、もしくはこれから勉強をし始める人に、少しでも役に立てることが出来ることを願っています。

また、
このサイトの仕組みをあまり知りませんが、数学を共に勉強してくれる人がいらっしゃったら、なにかしらアプローチをしてくれるとうれしいなと思います。

拙い記事だったと思いますが、
最後まで読んでいただいてありがとうございました。

これから、もっと面白い記事が書けるように、
勉強を進めていきたいと思います。