A_n型Macdonald恒等式

Dedekind$\eta$関数は$q=e^{2\pi i\tau}$として,
\begin{align} \eta(\tau):=q^{\frac 1{24}}(q;q)_{\infty}=q^{\frac 1{24}}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n) \end{align}
によって定義される. $A_{n-1}$型のMacdonald恒等式は以下のような恒等式である.
\begin{align} \eta(\tau)^{n^2-1}=\frac 1{1!2!\cdots (n-1)!}\sum_{\substack{x_i\in n\ZZ+\rho_i\\x_1+\cdots+x_n=0}}\left(\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_j-x_i)\right)q^{\frac 1{2n}(x_1^2+\cdots+x_n^2)} \end{align}
ここで, $\rho_i:=i-\frac{n+1}2, n\ZZ+\rho_i:=\{nm+\rho_i;m\in\ZZ\}$である. 今回は, 前の記事 で示した$A_n$型Jacobiの三重積を用いることによって, この恒等式の証明を与えたいと思う.

導出

前の記事 で示した$A_n$型Jacobiの三重積は以下のようなものだった.
\begin{align} &\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-x_i)^{nk_i}q^{n\binom{k_i}2}\\ &=(x_1\cdots x_nz,q/x_1\cdots x_nz;q)_{\infty}\prod_{1\leq i,j\leq n}(x_iq/x_j;q)_{\infty} \end{align}
Vandermondeの行列式から,
\begin{align} \frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}&=\frac{\det(\left((x_jq^{k_j})^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})}{\det(\left(x_j^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})} \end{align}
と書き換えられる. これを用いると, 上の式の左辺は$\mathfrak{S}_n$を$n$次対称群として,
\begin{align} &\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-x_i)^{nk_i}q^{n\binom{k_i}2}\\ &\frac{1}{\det(\left(x_j^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})}\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\det(\left((x_jq^{k_j})^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-x_i)^{nk_i}q^{n\binom{k_i}2}\\ &=\frac{1}{\det(\left(x_j^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\sgn(\sigma)\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\left(\prod_{i=1}(x_iq^{k_i})^{\sigma(i)-1}\right)z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-x_i)^{nk_i}q^{n\binom{k_i}2} \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} &\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\sgn(\sigma)\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\left(\prod_{i=1}(x_iq^{k_i})^{\sigma(i)-1}\right)z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-x_i)^{nk_i}q^{n\binom{k_i}2}\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\sgn(\sigma)\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-1)^{nk_i}x_i^{nk_i+\sigma(i)-1}q^{n\binom{k_i}2+k_i(\sigma(i)-1)}\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\sgn(\sigma)\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-1)^{nk_{\sigma(i)}}x_i^{nk_{\sigma(i)}+\sigma(i)-1}q^{n\binom{k_{\sigma(i)}}2+k_{\sigma(i)}(\sigma(i)-1)}&k_i\mapsto k_{\sigma(i)}\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\sgn(\sigma)\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{j=1}^n(-1)^{nk_j}x_{\sigma^{-1}(j)}^{nk_j+j-1}q^{n\binom{k_j}2+(j-1)k_j}&\sigma(i)\mapsto j\\ &=\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}z^{k_1+\cdots+k_n}\left(\prod_{j=1}^n(-1)^{nk_j}q^{n\binom{k_j}2+(j-1)k_j}\right)\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\sgn(\sigma)\prod_{j=1}^nx_{\sigma(j)}^{nk_j+j-1}&\sigma^{-1}\mapsto\sigma\\ &=\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\det\left((x_j^{nk_i+i-1})_{1\leq i,j\leq n}\right)z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{j=1}^n(-1)^{nk_j}q^{n\binom{k_j}2+(j-1)k_j} \end{align}
となるので, $A_n$型Jacobiの三重積は
\begin{align} &\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\det\left((x_j^{nk_i+i-1})_{1\leq i,j\leq n}\right)}{\det(\left(x_j^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{j=1}^n(-1)^{nk_j}q^{n\binom{k_j}2+(j-1)k_j}\\ &=(x_1\cdots x_nz,q/x_1\cdots x_nz;q)_{\infty}\prod_{1\leq i,j\leq n}(x_iq/x_j;q)_{\infty} \end{align}
と書き換えられる. ここで, $t_i=nk_i+i-1$として, L'Hôpitalの定理を繰り返し用いて
\begin{align} &\lim_{x_n\to 1}\cdots\lim_{x_1\to 1}\frac{\det\left((x_j^{t_i})_{1\leq i,j\leq n}\right)}{\det(\left(x_j^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})}\\ &=\lim_{x_n\to 1}\cdots\lim_{x_1\to 1}\frac{\left(\frac{d}{dx_n}\right)^{n-1}\cdots\left(\frac{d}{dx_2}\right)\det\left((x_j^{t_i})_{1\leq i,j\leq n}\right)}{\left(\frac{d}{dx_n}\right)^{n-1}\cdots\left(\frac{d}{dx_2}\right)\det(\left(x_j^{i-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})}\\ &=\frac{\det\left((t_i(t_i-1)\cdots(t_i-j+2))_{1\leq i,j\leq n}\right)}{\det(\left((i-1)\cdots(i-j+1)\right)_{1\leq i,j\leq n})}\\ &=\frac{\det\left((t_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}\right)}{\det(\left(i^{j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n})}\\ &=\prod_{1\leq i< j\leq n}\frac{t_j-t_i}{j-i}\\ &=\frac{\prod_{1\leq i< j\leq n}(nk_j+j-nk_i-i)}{1!2!\cdots (n-1)!} \end{align}
となることから,
\begin{align} &\frac 1{1!2!\cdots (n-1)!}\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\left(\prod_{1\leq i< j\leq n}(nk_j+j-nk_i-i)\right)z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{j=1}^n(-1)^{nk_j}q^{n\binom{k_j}2+(j-1)k_j}\\ &=(q,z,q/z;q)_{\infty}(q;q)^{n^2-1} \end{align}
を得る. ここで, Jacobiの三重積より
\begin{align} (q,z,q/z;q)_{\infty}=\sum_{n\in\ZZ}q^{\binom n2}(-z)^n \end{align}
であるから, 両辺の$z$に関する定数項を比較すると
\begin{align} (q;q)^{n^2-1}&=\frac 1{1!2!\cdots (n-1)!}\sum_{\substack{k_1,\dots,k_n\in\ZZ\\k_1+\dots+k_n=0}}\left(\prod_{1\leq i< j\leq n}(nk_j+j-nk_i-i)\right)\prod_{j=1}^nq^{n\binom{k_j}2+(j-1)k_j}\\ \end{align}
ここで, $k_1+\cdots+k_n=0$より,
\begin{align} \sum_{j=1}^n\left(n\binom{k_j}2+(j-1)k_j\right)&=\frac 1{2n}\sum_{j=1}^n((nk_j)^2+2nk_j\rho_j)\\ &=\frac 1{2n}\sum_{j=1}^n((nk_j+\rho_j)^2-\rho_j^2)\\ &=\frac 1{2n}\sum_{j=1}^n(nk_j+\rho_j)^2-\frac 1{2n}\sum_{j=1}^n\rho_j^2\\ \end{align}
ここで,
\begin{align} \frac 1{2n}\sum_{j=1}^n\rho_j^2&=\frac 1{2n}\sum_{j=1}^n\left(j-\frac{n+1}2\right)^2\\ &=\frac{n^2-1}{24} \end{align}
となることから, $nk_j+\rho_j$を$x_j$と置き換えて,
\begin{align} (q;q)^{n^2-1}&=\frac{q^{-\frac{n^2-1}{24}}}{1!2!\cdots (n-1)!}\sum_{\substack{x_i\in n\ZZ+\rho_i\\x_1+\cdots+x_n=0}}\left(\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_j-x_i)\right)q^{\frac 1{2n}(x_1^2+\cdots+x_n^2)} \end{align}
となる. よって, 以下が成り立つことが分かった.

例

$n=2$のとき,
\begin{align} \eta(\tau)^3&=\sum_{\substack{x_1\in 2\ZZ-\frac 12,x_2\in 2\ZZ+\frac 12\\x_1+x_2=0}}(x_2-x_1)q^{\frac 1{4}(x_1^2+x_2^2)}\\ &=\sum_{n\in\ZZ}(4n+1)q^{\frac 18(4n+1)^2}&x_1=-2n-\frac 12,x_2=2n+\frac 12 \end{align}
となる. これはJacobiの三重積の特別な場合である.

$n=3$のとき,

\begin{align} \eta(\tau)^8&=\frac 12\sum_{\substack{x_1\in3\ZZ-1\\x_2\in 3\ZZ\\x_3\in 3\ZZ+1\\x_1+x_2+x_3=0}}(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)q^{\frac 16(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}\\ &=\frac 12\sum_{\substack{a,b\in\ZZ}}(6a+3b+1)(3a+6b+2)(3b-3a+1)q^{\frac 16((3a+3b+1)^2+(3a)^2+(3b+1)^2)}\\ &\qquad(x_1=-3a-3b-1,x_2=3a,x_3=3b+1) \end{align}
となる.

$n=5$のとき, Ramanujanのデルタ
\begin{align} \Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}=q\prod_{0< n}(1-q^n)^{24} \end{align}
に対する表示
\begin{align} \Delta(\tau)=\frac 1{1!2!3!4!}\sum_{\substack{x_i\in n\ZZ+i-3\\x_1+\cdots+x_5=0}}\left(\prod_{1\leq i< j\leq 5}(x_j-x_i)\right)q^{\frac 1{10}(x_1^2+\cdots+x_n^2)} \end{align}
を得る. Ramanujanのタウ関数はRamanujanのデルタの展開係数として
\begin{align} \Delta(\tau)=\sum_{0< n}\tau(n)q^n \end{align}
によって定義される. 上の表示を用いれば$\tau(n)$の明示公式
\begin{align} \tau(n)=\frac 1{1!2!3!4!}\sum_{\substack{x_i\in n\ZZ+i-3\\x_1+\cdots+x_5=0\\x_1^2+\cdots+x_5^2=10n}}\prod_{1\leq i< j\leq 5}(x_j-x_i) \end{align}
を得ることができる.