GustafsonによるA_n型Ramanujanの和公式
差積を
\begin{align}
\Delta(x_1,\dots,x_n):=\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_i-x_j)
\end{align}
とする.
Milneによる多重$q$二項定理
は以下のようなものである.
\begin{align} &\sum_{0\leq k_1,\dots,k_n}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^k_n)}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_iq/x_1,\dots,x_iq/x_n;q)_{k_i}}\\ &=\frac{(a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}} \end{align}
$q$二項定理の一般化として, Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式 が知られているが, それについても以下のような多重化が知られている.
\begin{align} &\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n;q)_{k_i}}\\ &=\frac{(a_1\cdots a_nz,q/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z,b_1\cdots b_nq^{1-n}/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{\left(x_iq/x_j,x_ib_j/x_ja_i;q\right)_{\infty}}{\left(x_ib_j/x_j,x_iq/x_ja_i;q\right)_{\infty}} \end{align}
$b_1=\cdots=b_n=q$とすると定理1が得られるので, これは定理1の一般化になっている.
両辺は各$b_k$について$b_k=0$において正則であるから, 一致の定理から$m_1,\dots,m_n\geq 0$を自然数として, $b_k=q^{m_k+1}$の場合に示せば十分である. そのとき,
\begin{align}
&\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n;q)_{k_i}}\\
&=\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_iq^{m_1+1}/x_1,\dots,x_iq^{m_n+1}/x_n;q)_{k_i}}\\
&=\left(\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_ia_j/x_j;q)_{-m_i}}{(x_iq^{m_j+1}/x_j;q)_{-m_i}}\right)z^{-m_1-\cdots-m_n}\frac{\Delta(x_1q^{-m_1},\dots,x_nq^{-m_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k_1,\dots,k_n}\frac{\Delta(x_1q^{k_1-m_1},\dots,x_nq^{k_n-m_n})}{\Delta(x_1q^{-m_1},\dots,x_nq^{-m_n})}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1q^{-m_i}/x_1,\dots,x_ia_nq^{-m_i}/x_n;q)_{k_i}}{(x_iq^{m_1-m_i+1}/x_1,\dots,x_iq^{m_n-m_i+1}/x_n;q)_{k_i}}\qquad(k_i\mapsto k_i-m_i)
\end{align}
となる. ここで, 定理1より
\begin{align}
&\sum_{0\leq k_1,\dots,k_n}\frac{\Delta(x_1q^{k_1-m_1},\dots,x_nq^{k_n-m_n})}{\Delta(x_1q^{-m_1},\dots,x_nq^{-m_n})}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1q^{-m_i}/x_1,\dots,x_ia_nq^{-m_i}/x_n;q)_{k_i}}{(x_iq^{m_1-m_i+1}/x_1,\dots,x_iq^{m_n-m_i+1}/x_n;q)_{k_i}}\\
&=\frac{(a_1\cdots a_nzq^{-m_1-\cdots-m_n};q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align}
&\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n;q)_{k_i}}\\
&=\left(\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_ia_j/x_j;q)_{-m_i}}{(x_iq^{m_j+1}/x_j;q)_{-m_i}}\right)z^{-m_1-\cdots-m_n}\frac{\Delta(x_1q^{-m_1},\dots,x_nq^{-m_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}\frac{(a_1\cdots a_nzq^{-m_1-\cdots-m_n};q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}\\
&=\left(\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_jq^{-m_j}/x_i;q)_{m_i}}{(x_jq/x_ia_j;q)_{m_i}}\left(\frac{q^{m_j+1}}{a_j}\right)^{m_i}\right)z^{-m_1-\cdots-m_n}\frac{\Delta(x_1q^{-m_1},\dots,x_nq^{-m_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}\frac{(a_1\cdots a_nzq^{-m_1-\cdots-m_n};q)_{m_1+\cdots+m_n}(a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで, $i\neq j$に対し,
\begin{align}
&(x_jq^{-m_j}/x_i;q)_{m_i}(x_iq^{-m_i}/x_j;q)_{m_j}\\
&=(-x_iq^{-m_i}/x_j)^{m_j}q^{\binom{m_j}2}(x_jq^{-m_j}/x_i;q)_{m_i}(x_jq^{1-m_j+m_i}/x_i;q)_{m_j}\\
&=(-x_iq^{-m_i}/x_j)^{m_j}q^{\binom{m_j}2}(x_jq^{-m_j}/x_i;q)_{m_i+m_j}\frac{1-x_jq^{m_i}/x_i}{1-x_jq^{m_i-m_j}/x_i}\\
&=(-x_iq^{-m_i}/x_j)^{m_j}q^{\binom{m_j}2}(x_j/x_i;q)_{m_i}(x_jq^{-m_j}/x_i;q)_{m_j}\frac{1-x_jq^{m_i}/x_i}{1-x_jq^{m_i-m_j}/x_i}\\
&=q^{-m_im_j-m_i-m_j}(x_jq/x_i;q)_{m_i}(x_iq/x_j;q)_{m_j}\frac{x_i-x_j}{x_iq^{-m_i}-x_jq^{-m_j}}\\
\end{align}
であり,
\begin{align}
(x_iq^{-m_i}/x_i;q)_{m_i}=(-1)^{m_i}q^{-\binom{m_i+1}2}(-x_iq/x_i;q)_{m_i}
\end{align}
となるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n;q)_{k_i}}\\
&=\left(\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_jq/x_i;q)_{m_i}}{(x_jq/x_ia_j;q)_{m_i}}\left(\frac{q^{m_j+1}}{a_j}\right)^{m_i}\right)\left(\prod_{1\leq i< j\leq n}q^{-m_im_j-m_i-m_j}\right)\\
&\qquad\cdot(-z)^{-m_1-\cdots-m_n}q^{-\binom{m_1+1}2-\cdots-\binom{m_n+1}2}\frac{(a_1\cdots a_nzq^{-m_1-\cdots-m_n};q)_{m_1+\cdots+m_n}(a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}\\
&=\left(\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_jq/x_i;q)_{m_i}}{(x_jq/x_ia_j;q)_{m_i}}\right)\left(\prod_{1\leq i< j\leq n}q^{m_im_j}\right)\\
&\qquad\cdot q^{\binom{m_1+1}2+\cdots+\binom{m_n+1}2}\frac{q^{-\binom{m_1+\cdots+m_n+1}2}(q/a_1\cdots a_nz;q)_{m_1+\cdots+m_n}(a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}\\
&=\left(\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_jq/x_i;q)_{m_i}}{(x_jq/x_ia_j;q)_{m_i}}\right)\frac{(q/a_1\cdots a_nz;q)_{m_1+\cdots+m_n}(a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a_1\cdots a_nz,q/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z,b_1\cdots b_nq^{1-n}/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_jq/x_i,x_jb_i/x_ia_j;q)_{\infty}}{(x_jb_i/x_i,x_jq/x_ia_j;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
係数比較により, 以下を得る.
$N\in \ZZ$に対し
\begin{align}
&\sum_{\substack{k_1,\dots,k_n\in\ZZ\\k_1+\cdots+k_n=N}}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n;q)_{k_i}}\\
&=\frac{(b_1\cdots b_nq^{1-n},q/a_1\cdots a_n;q)_{\infty}}{(q,b_1\cdots b_nq^{1-n}/a_1\cdots a_n;q)_{\infty}}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{\left(x_iq/x_j,x_ib_j/x_ja_i;q\right)_{\infty}}{\left(x_ib_j/x_j,x_iq/x_ja_i;q\right)_{\infty}}\cdot\frac{(a_1\cdots a_n;q)_N}{(b_1\cdots b_nq^{1-n};q)_N}
\end{align}
が成り立つ.
Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式
より
\begin{align}
&\frac{(a_1\cdots a_nz,q/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z,b_1\cdots b_nq^{1-n}/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(b_1\cdots b_nq^{1-n},q/a_1\cdots a_n;q)_{\infty}}{(q,b_1\cdots b_nq^{1-n}/a_1\cdots a_n;q)_{\infty}}\sum_{N\in\ZZ}\frac{(a_1\cdots a_n;q)_N}{(b_1\cdots b_nq^{1-n};q)_N}z^N
\end{align}
と書き換えられるので, 定理2の両辺の$z^N$の係数を比較すればよい.
$A_n$型Jacobiの三重積
定理2において, $b_1=\cdots=b_n=0$とすると
\begin{align}
&\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}\\
&=\frac{(a_1\cdots a_nz,q/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{\left(x_iq/x_j;q\right)_{\infty}}{\left(x_iq/x_ja_i;q\right)_{\infty}}
\end{align}
となる. さらに, $z$を$\displaystyle \frac{z}{a_1\cdots a_n}$に置き換えて$a_1,\dots,a_n\to\infty$とすると以下の系を得る.
\begin{align}
&\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\left(\frac{(-x_i)^n}{x_1\cdots x_n}\right)^{k_i}q^{n\binom{k_i}2}\\
&=(z,q/z;q)_{\infty}\prod_{1\leq i,j\leq n}\left(x_iq/x_j;q\right)_{\infty}
\end{align}
$z\to x_1\cdots x_nz$と置き換えて以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\frac{\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})}{\Delta(x_1,\dots,x_n)}z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n(-x_i)^{nk_i}q^{n\binom{k_i}2}\\
&=(x_1\cdots x_nz,q/x_1\cdots x_nz;q)_{\infty}\prod_{1\leq i,j\leq n}\left(x_iq/x_j;q\right)_{\infty}
\end{align}
が成り立つ.
$q$-Wronskianによる書きかえ
\begin{align}
W_q(f_1,\dots,f_r;z):=\left|\begin{matrix}f_1(z)&\cdots&f_r(z)\\f_1(zq)&\cdots&f_r(zq)\\\vdots&\ddots&\vdots\\f_1(zq^{r-1})&\cdots&f_r(zq^{r-1})\end{matrix}\right|
\end{align}
とする. このとき, 前の記事(
Kajiharaの変換公式のq-Wronskianによる表示
)の補題2と全く同様に, $q^{\xi_k}=x_k$となるような$\xi_k$をとり,
\begin{align}
f_k(z):=z^{\xi_k}\BQ{n}{n}{x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n}{x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n}{z}\qquad 1\leq k\leq n
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&W_q(f_1,\dots,f_n;z)\\
&=(-1)^{\binom n2}z^{\xi_1+\cdots+\xi_n}\sum_{k_1,\dots,k_n\in\ZZ}\Delta(x_1q^{k_1},\dots,x_nq^{k_n})z^{k_1+\cdots+k_n}\prod_{i=1}^n\frac{(x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n;q)_{k_i}}{(x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n;q)_{k_i}}
\end{align}
となることが分かる. よって, 定理2は以下のように書き換えられる.
\begin{align}
f_k(z):=z^{\xi_k}\BQ{n}{n}{x_ia_1/x_1,\dots,x_ia_n/x_n}{x_ib_1/x_1,\dots,x_ib_n/x_n}{z}\qquad 1\leq k\leq n
\end{align}とするとき,
\begin{align}
W_q(f_1,\dots,f_n;z)&=(-1)^{\binom n2}z^{\xi_1+\cdots+\xi_n}\Delta(x_1,\dots,x_n)\\
&\qquad\cdot\frac{(a_1\cdots a_nz,q/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z,b_1\cdots b_nq^{1-n}/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_iq/x_j,x_ib_j/x_ja_i;q)_{\infty}}{(x_ib_j/x_j,x_iq/x_ja_i;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
Vandermondeの行列式より
\begin{align}
W_q(z^{\xi_1},\dots,z^{\xi_n};z)=(-1)^{\binom n2}z^{\xi_1+\cdots+\xi_n}\Delta(x_1,\dots,x_n)
\end{align}
と書き換えられるので, 定理3は
\begin{align}
\frac{W_q(f_1,\dots,f_n;z)}{W_q(z^{\xi_1},\dots,z^{\xi_n};z)}&=\frac{(a_1\cdots a_nz,q/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}{(z,b_1\cdots b_nq^{1-n}/a_1\cdots a_nz;q)_{\infty}}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(x_iq/x_j,x_ib_j/x_ja_i;q)_{\infty}}{(x_ib_j/x_j,x_iq/x_ja_i;q)_{\infty}}
\end{align}
と書きかえることもできる.
