Kajiharaの変換公式のq-Wronskianによる表示
差積を
\begin{align}
\Delta(z_1,\dots,z_n):=\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_j-z_k)
\end{align}
とする.
前の記事
の定理6は以下のような変換公式である.
$\displaystyle m,n\geq 0,\lambda=\frac{b_1\cdots b_{m+n}z_1\cdots z_n}{w_1\cdots w_m}$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq y_1,\dots,y_n}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_n)}u^{y_1+\cdots+y_n}\prod_{k=1}^n\frac{(b_1z_k,\dots,b_{m+n}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_mz_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_n;q)_{y_k}}\\
&=\frac{(\lambda u;q)_{\infty}}{(u;q)_{\infty}}\sum_{0\leq y_1,\dots,y_m}\frac{\Delta(w_1q^{y_1},\dots,w_mq^{y_m})}{\Delta(w_1,\dots,w_m)}(\lambda u)^{y_1+\cdots+y_m}\\
&\qquad\cdot\prod_{k=1}^m\frac{(w_k/b_1,\dots,w_k/b_{m+n};q)_{y_k}}{(w_kz_1,\dots,w_kz_n,w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_m;q)_{y_k}}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事 において, $q$-WronskianからMilneの$q$二項定理を導出したが, 今回は上のKajiharaの変換公式を$q$-Wronskianの形に書き換えようと思う.
$q$-Wronskianによる表示
前の記事
と同様に$q$-Wronskianを
\begin{align}
W_q(f_1,\dots,f_r;u):=\left|\begin{matrix}f_1(u)&\cdots&f_r(u)\\f_1(uq)&\cdots&f_r(uq)\\
\vdots&\ddots&\vdots\\f_1(uq^{r-1})&\cdots&f_r(uq^{r-1})\end{matrix}\right|
\end{align}
と定義する. このとき,
前の記事
と全く同様にVandermondeの行列式を用いることにより, 以下が示される.
$1\leq k\leq n$に対して$q^{\zeta_k}=z_k$となるように$\zeta_k$を定め,
\begin{align}
f_k(u)&:=u^{\zeta_k}\sum_{0\leq j}a_j^{(k)} u^j
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
W_q(f_1,\dots,f_n;u)=(-1)^{\binom n2}u^{\zeta_1+\cdots+\zeta_n}\sum_{0\leq y_1,\dots,y_n}\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})u^{y_1+\cdots+y_n}a_{y_1}^{(1)}\cdots a_{y_n}^{(n)}
\end{align}
これを用いると, 特に,
\begin{align}
f_k(u)&:=u^{\zeta_k}\Q{m+n}{m+n-1}{b_1z_k,\dots,b_{m+n}z_k}{w_1z_k,\dots,w_mz_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{k-1},z_kq/z_{k+1},\dots,z_kq/z_n}{u}
\end{align}
とすると, 定理1の左辺は
\begin{align}
&\sum_{0\leq y_1,\dots,y_n}\frac{\Delta(z_1q^{y_1},\dots,z_nq^{y_n})}{\Delta(z_1,\dots,z_n)}u^{y_1+\cdots+y_n}\prod_{k=1}^n\frac{(b_1z_k,\dots,b_{m+n}z_k;q)_{y_k}}{(w_1z_k,\dots,w_mz_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_n;q)_{y_k}}\\
&=\frac{(-1)^{\binom n2}u^{-\zeta_1-\cdots-\zeta_n}}{\Delta(z_1,\dots,z_n)}W_q(f_1,\dots,f_n;u)
\end{align}
と書き換えられることが分かる. 右辺も全く同様に書きかえると, 以下を得る.
$\displaystyle m,n\geq 0,\lambda=\frac{b_1\cdots b_{m+n}z_1\cdots z_n}{w_1\cdots w_m}$とするとき, $q^{\zeta_k}=z_k, q^{\omega_k}=w_k$となるように, $\zeta_k,\omega_k$を定め,
\begin{align}
f_k(u)&:=u^{\zeta_k}\Q{m+n}{m+n-1}{b_1z_k,\dots,b_{m+n}z_k}{w_1z_k,\dots,w_mz_k,z_kq/z_1,\dots,z_kq/z_{k-1},z_kq/z_{k+1},\dots,z_kq/z_n}{u}& 1\leq k\leq n\\
g_k(u)&:=u^{\omega_k}\Q{m+n}{m+n-1}{w_k/b_1,\dots,w_k/b_{m+n}}{w_kz_1,\dots,w_kz_n,w_kq/w_1,\dots,w_kq/w_{k-1},w_kq/w_{k+1},\dots,w_kq/w_m}{u}&1\leq k\leq m
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
\frac{(-1)^{\binom n2}u^{-\zeta_1-\cdots-\zeta_n}}{\Delta(z_1,\dots,z_n)}W_q(f_1,\dots,f_n;u)&=\frac{(\lambda u;q)_{\infty}}{(u;q)_{\infty}}\frac{(-1)^{\binom m2}(\lambda u)^{-\omega_1-\cdots-\omega_m}}{\Delta(w_1,\dots,w_m)}W_q(g_1,\dots,g_m;\lambda u)
\end{align}
が成り立つ.
Vandermondeの行列式から,
\begin{align}
W_q(u^{\zeta_1},\dots,u^{\zeta_n};u)=(-1)^{\binom n2}u^{\zeta_1+\cdots+\zeta_n}\Delta(z_1,\dots,z_n)
\end{align}
であるから, 定理3は
\begin{align}
\frac{W_q(f_1,\dots,f_n;u)}{W_q(u^{\zeta_1},\dots,u^{\zeta_n};u)}=\frac{(\lambda u;q)_{\infty}}{(u;q)_{\infty}}\frac{W_q(g_1,\dots,g_m;\lambda u)}{W_q(u^{\omega_1},\dots,u^{\omega_m};\lambda u)}
\end{align}
と簡潔に表すこともできる.
\begin{align}
f_1(u)=\Q{m+n}{m+n-1}{b_1,\dots,b_{m+n}}{c_1,\dots,c_{m+n-1}}{u}
\end{align}
となるように,
\begin{align}
z_1&:=1\\
z_k&:=\frac{q}{c_{k-1}}&2\leq k\leq n\\
w_k&:=c_{n+k-1}&1\leq k\leq m
\end{align}
定めると, $q^{\gamma_k}=c_k$となる$\gamma_k$をとると, $\gamma_0:=1$として,
\begin{align}
f_k(u)&=u^{1-\gamma_{k-1}}\Q{m+n}{m+n-1}{b_1q/c_{k-1},\dots,b_{m+n}q/c_{k-1}}{q^2/c_{k-1},c_1q/c_{k-1},\dots,c_{k-2}q/c_{k-1},c_kq/c_{k-1},\dots,c_{m+n-1}q/c_{k-1}}{u}\\
g_k(u)&=u^{\gamma_{n+k-1}}\Q{m+n}{m+n-1}{c_{n+k-1}/b_1,\dots,c_{n+k-1}/b_{m+n}}{c_{n+k-1},c_{n+k-1}q/c_1,\dots,c_{n+k-1}q/c_{n+k-2},c_{n+k-1}q/c_{n+k},\dots,c_{n+k-1}q/c_{m+n-1}}{u}
\end{align}
となる. $f_k,g_k$を$f_{k-1},ug_{n+k-1}$と改めて, 定理3は以下のように書き換えられる.
$\displaystyle m,n\geq 0,\lambda=\frac{b_1\cdots b_{m+n}q^{n-1}}{c_1\cdots c_{m+n-1}},c_0:=q$とするとき, $q^{\gamma_k}=c_k$となるように, $\gamma_k$を定め, $0\leq k< m+n$に対し,
\begin{align}
f_k(u)&:=u^{1-\gamma_{k}}\Q{m+n}{m+n-1}{b_1q/c_{k},\dots,b_{m+n}q/c_{k}}{c_0q/c_{k},\dots,c_{k-1}q/c_{k},c_{k+1}q/c_{k},\dots,c_{m+n-1}q/c_{k}}{u}\\
g_k(u)&:=u^{\gamma_k-1}\Q{m+n}{m+n-1}{c_k/b_1,\dots,c_k/b_{m+n}}{c_kq/c_0,\dots,c_kq/c_{k-1},c_kq/c_{k+1},\dots,c_{k}q/c_{m+n-1}}{u}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\frac{W_q(f_0,\dots,f_{n-1};u)}{W_q(u^{1-\gamma_0},\dots,u^{1-\gamma_{n-1}})}=\frac{(\lambda u;q)_{\infty}}{(u;q)_{\infty}}\frac{W_q(g_n,\dots,g_{m+n-1};\lambda u)}{W_q(u^{\gamma_n-1},\dots,u^{\gamma_{m+n-1}-1};\lambda u)}
\end{align}
この系1は,
前の記事
の定理5を$n=2,m=1$の場合として含んでいる. 系1において,
\begin{align}
f_0(u)&=\Q{m+n}{m+n-1}{b_1,\dots,b_{m+n}}{c_1,\dots,c_{m+n-1}}{u}\\
g_0(u)&=\Q{m+n}{m+n-1}{q/b_1,\dots,q/b_{m+n}}{q^2/c_1,\dots,q^2/c_{m+n-1}}{u}
\end{align}
である. より一般に$\{s_1,\dots,s_n\}\sqcup\{t_1,\dots,t_m\}=\{0,1,\dots,m+n-1\}$とするとき,
\begin{align}
\frac{W_q(f_{s_1},\dots,f_{s_n};u)}{W_q(u^{1-\gamma_{s_1}},\dots,u^{1-\gamma_{s_n}})}=\frac{(\lambda u;q)_{\infty}}{(u;q)_{\infty}}\frac{W_q(g_{t_1},\dots,g_{t_m};\lambda u)}{W_q(u^{\gamma_{t_1}-1},\dots,u^{\gamma_{t_m}-1};\lambda u)}
\end{align}
が成り立つことが分かる. このように, $q$-Wronskianを用いることによって定理1が簡潔に表されるのは興味深いと思う.
古典極限
Wronskianを
\begin{align}
W(f_1,\dots,f_r;u):=\left|\begin{matrix}f_1(u)&\cdots&f_r(u)\\f_1'(u)&\cdots&f_r'(u)\\
\vdots&\ddots&\vdots\\f_1^{(r-1)}(u)&\cdots&f_r^{(r-1)}(u)\end{matrix}\right|
\end{align}
とする. これまでの結果の古典極限を考えると以下を得る.
$m,n\geq 0,\lambda=b_1+\cdots+b_{m+n}-c_1-\cdots-c_{m+n-1}+n-1,c_0:=1$として,
$0\leq k< m+n$に対し,
\begin{align}
f_k(u)&:=u^{1-c_{k}}\F{m+n}{m+n-1}{1+b_1-c_{k},\dots,1+b_{m+n}-c_{k}}{1+c_0-c_{k},\dots,1+c_{k-1}-c_{k},1+c_{k+1}-c_{k},\dots,1+c_{m+n-1}-c_{k}}{u}\\
g_k(u)&:=u^{c_k-1}\F{m+n}{m+n-1}{c_k-b_1,\dots,c_k-b_{m+n}}{1+c_k-c_0,\dots,1+c_k-c_{k-1},1+c_k-c_{k+1},\dots,1+c_{k}-c_{m+n-1}}{u}
\end{align}
とするとき, $\{s_1,\dots,s_n\}\sqcup\{t_1,\dots,t_m\}=\{0,1,\dots,m+n-1\}$に対し,
\begin{align}
\frac{W(f_{s_1},\dots,f_{s_n};u)}{W(u^{1-c_{s_1}},\dots,u^{1-c_{s_n}};u)}=(1-u)^{-\lambda}\frac{W(g_{t_1},\dots,g_{t_m};u)}{W(u^{c_{t_1}-1},\dots,u^{c_{t_m}-1};u)}
\end{align}
が成り立つ.
${}_3F_2$の反対称積 や ${}_4F_3$の反対称積 に関する多くの結果はこの定理4の特別な場合として理解できる.
