4F3の反対称積
前の記事
で, ${}_3F_2$の反対称積(2つの解のWronskian)を求めた.
\begin{align}
f_0(x)=\F43{a,b,c,d}{e,f,g}{x},\qquad f_1(x)=x^{1-e}\F43{1+a-e,1+b-e,1+c-e,1+d-e}{2-e,1+f-e,1+g-e}{x}
\end{align}
とする.
前の記事
と全く同様の議論により
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=f_0(x)f_1'(x)-f_0(x)f_1'(x)\\
&=(1-e)x^{-e}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-e,1+b-e,1+c-e,1+d-e)_n}{n!(1-e,1+f-e,1+g-e)_n}x^n\\
&\qquad\cdot\F98{-n+e-1,\frac{1+e-n}2,a,b,c,d,-n,-n-f+e,-n-g+e}{\frac{-n+e-1}2,-n-a+e,-n-b+e,-n-c+e,-n-d+e,e,f,g}1
\end{align}
ここで, $1+a+b+c+d=e+f+g$のとき, この${}_9F_8$は
Baileyの変換公式
で変換できる形になり,
\begin{align}
&\F98{-n+e-1,\frac{1+e-n}2,a,b,c,d,-n,-n-f+e,-n-g+e}{\frac{-n+e-1}2,-n-a+e,-n-b+e,-n-c+e,-n-d+e,e,f,g}1\\
&=\frac{(-n+e,1-n+d-g,1-n+c-g,1+c+d-e)_n}{(-n-c+e,-n-d+e,g,-n+e+f-a-b)_n}\\
&\qquad\cdot\F98{-n+e+f-a-b-1,\frac{1+e+f-a-b-n}2,f-a,f-b,c,d,-n,-n-a-b+e,-n-g+e}{\frac{-n+e+f-a-b-1}2,-n-a+e,-n-b+e,1-n+d-g,1-n+c-g,e+f-a-b,f,1+c+d-e}1\\
&=\frac{(1-e,g-c,g-d,1+c+d-e)_n}{(1+c-e,1+d-e,g,1+a+b-e-f)_n}\\
&\qquad\cdot\F98{-n+e+f-a-b-1,\frac{1+e+f-a-b-n}2,f-a,f-b,c,d,-n,-n-a-b+e,-n-g+e}{\frac{-n+e+f-a-b-1}2,-n-a+e,-n-b+e,1-n+d-g,1-n+c-g,e+f-a-b,f,1+c+d-e}1
\end{align}
より
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=(1-e)x^{-e}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-e,1+b-e,g-c,g-d,1+c+d-e)_n}{n!(1+f-e,1+g-e,g,1+a+b-e-f)_n}x^n\\
&\qquad\cdot\F98{-n+e+f-a-b-1,\frac{1+e+f-a-b-n}2,f-a,f-b,c,d,-n,-n-a-b+e,-n-g+e}{\frac{-n+e+f-a-b-1}2,-n-a+e,-n-b+e,1-n+d-g,1-n+c-g,e+f-a-b,f,1+c+d-e}1
\end{align}
この${}_9F_8$は別の${}_4F_3$の組
\begin{align}
g_0(x)=\F43{f-a,f-b,c,d}{e+f-a-b,f,1+c+d-e}x,\qquad g_1(x)=x^{1+a+b-e-f}\F43{1+a-e,1+b-e,g-c,g-d}{2+a+b-e-f,1+a+b-e, 1+g-e}x
\end{align}
の反対称積に
\begin{align}
W(g_0,g_1;x)&=(1+a+b-e-f)x^{a+b-e-f}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-e,1+b-e,g-c,g-d)_n}{n!(1+a+b-e-f,1+a+b-e,1+g-e)_n}x^n\\
&\qquad\cdot\F98{-n+e+f-a-b-1,\frac{1+e+f-a-b-n}2,f-a,f-b,c,d,-n,-n-a-b+e,-n-g+e}{\frac{-n+e+f-a-b-1}2,-n-a+e,-n-b+e,1-n+d-g,1-n+c-g,e+f-a-b,f,1+c+d-e}1
\end{align}
と現れるものである. つまり, 以下を得る.
$1+a+b+c+d=e+f+g$
\begin{align}
f_0(x)=\F43{a,b,c,d}{e,f,g}{x},\qquad f_1(x)=x^{1-e}\F43{1+a-e,1+b-e,1+c-e,1+d-e}{2-e,1+f-e,1+g-e}{x}
\end{align}
\begin{align}
g_0(x)=\F43{f-a,f-b,c,d}{e+f-a-b,f,1+c+d-e}x,\qquad g_1(x)=x^{1+a+b-e-f}\F43{1+a-e,1+b-e,g-c,g-d}{2+a+b-e-f,1+a+b-e, 1+g-e}x
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=(1-e)x^{-e}\sum_{0\leq n}a_nx^n\\
W(g_0,g_1;x)&=(1+a+b-e-f)x^{a+b-e-f}\sum_{0\leq n}b_nx^n
\end{align}
の間には,
\begin{align}
a_n&=\frac{(1+a+b-e,1+c+d-e)_n}{(1+f-e,g)_n}b_n
\end{align}
の関係がある.
これはパラメータの変換$(a,b,c,d,e,f,g)\mapsto(f-a,f-b,c,d,e+f-a-b,f,1+c+d-e)$で
\begin{align}
\frac{a_n}{(f,g,1+f-e,1+g-e)_n}
\end{align}
が不変であることを意味している. 変数を入れ替えて再度同じ変換を行うと
\begin{align}
(c,d,f-a,f-b,e+f-a-b,f,1+c+d-e)\mapsto (f-c,f-d,f-a,f-b,1+f-g,f,1+f-e)
\end{align}
となるから, 以下を得る.
$1+a+b+c+d=e+f+g$
\begin{align}
f_0(x)=\F43{a,b,c,d}{e,f,g}{x},\qquad f_1(x)=x^{1-e}\F43{1+a-e,1+b-e,1+c-e,1+d-e}{2-e,1+f-e,1+g-e}{x}
\end{align}
\begin{align}
g_0(x)=\F43{f-a,f-b,f-c,f-d}{1+f-g,f,1+f-e}x,\qquad g_1(x)=x^{g-f}\F43{g-a,g-b,g-c,g-d}{1+g-f,g,1+g-e}x
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=(1-e)x^{-e}\sum_{0\leq n}a_nx^n\\
W(g_0,g_1;x)&=(g-f)x^{g-f-1}\sum_{0\leq n}b_nx^n
\end{align}
の間には$a_n=b_n$の関係がある. つまり,
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=\frac{1-e}{g-f}x^{1+f-e-g}W(g_0,g_1;x)
\end{align}
が成り立つ.
このようにある微分方程式の2つの解の反対称積が別の微分方程式の2つの解の反対称積と直接的な等号で結ばれているのは興味深い現象であると思われる.
次に, 最初の式
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=(1-e)x^{-e}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-e,1+b-e,1+c-e,1+d-e)_n}{n!(1-e,1+f-e,1+g-e)_n}x^n\\
&\qquad\cdot\F98{-n+e-1,\frac{1+e-n}2,a,b,c,d,-n,-n-f+e,-n-g+e}{\frac{-n+e-1}2,-n-a+e,-n-b+e,-n-c+e,-n-d+e,e,f,g}1
\end{align}
の${}_9F_8$に対して, 別の変数を選んで
Baileyの変換公式
を適用すると
\begin{align}
&\F98{-n+e-1,\frac{1+e-n}2,a,b,c,d,-n,-n-f+e,-n-g+e}{\frac{-n+e-1}2,-n-a+e,-n-b+e,-n-c+e,-n-d+e,e,f,g}1\\
&=\frac{(-n+e,f+g-a-d,f+g-b-d,f+g-c-d)_n}{(-n-a+e,-n-b+e,-n-c+e,f+g-d)_n}\\
&\qquad\cdot\F98{f+g-d-1,\frac{f+g-d+1}2,a,b,c,f+g-e+n,-n,f-d,g-d}{\frac{f+g-d-1}2,f+g-a-d,f+g-b-d,f+g-c-d,-n-d+e,f+g-d+n,f,g}1\\
&=\frac{(1-e,f+g-a-d,f+g-b-d,f+g-c-d)_n}{(1+a-e,1+b-e,1+c-e,f+g-d)_n}\\
&\qquad\cdot\F98{f+g-d-1,\frac{f+g-d+1}2,a,b,c,f+g-e+n,-n,f-d,g-d}{\frac{f+g-d-1}2,f+g-a-d,f+g-b-d,f+g-c-d,-n-d+e,f+g-d+n,f,g}1
\end{align}
となるから, これを代入して以下を得る.
$1+a+b+c+d=e+f+g$
\begin{align}
f_0(x)=\F43{a,b,c,d}{e,f,g}{x},\qquad f_1(x)=x^{1-e}\F43{1+a-e,1+b-e,1+c-e,1+d-e}{2-e,1+f-e,1+g-e}{x}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=(1-e)x^{-e}\sum_{0\leq n}\frac{(1+d-e,f+g-a-d,f+g-b-d,f+g-c-d)_n}{n!(1+f-e,1+g-e,f+g-d)_n}x^n\\
&\qquad\cdot\F98{f+g-d-1,\frac{f+g-d+1}2,a,b,c,f+g-e+n,-n,f-d,g-d}{\frac{f+g-d-1}2,f+g-a-d,f+g-b-d,f+g-c-d,-n-d+e,f+g-d+n,f,g}1
\end{align}
が成り立つ.
この表示の利点は${}_9F_8$が$n$に依存している部分が少ないところにある.
