3F2の反対称積
前の記事
で${}_2F_1$のWronskianとDougallの${}_5F_4$和公式のterminatingな場合が同値であることを示した. 今回はWhippleの${}_7F_6$変換公式を用いることで,
\begin{align}
f_0(x)=\F32{a,b,c}{d,e}{x},\qquad f_1(x)=x^{1-d}\F32{1+a-d,1+b-d,1+c-d}{2-d,1+e-d}{x}
\end{align}
からなる
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)=f_0(x)f_1'(x)-f_0'(x)f_1(x)
\end{align}
を計算したいと思う. このような2つの解のWronskianをここでは反対称積ということにする.
前の記事
と同様に
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=f_0(x)f_1'(x)-f_0'(x)f_1(x)\\
&=x^{-d}\sum_{0\leq j}\frac{(a,b,c)_j}{j!(d,e)_j}x^j\sum_{0\leq k}\frac{(1+a-d,1+b-d,1+c-d)_k}{k!(2-d,1+e-d)_k}(k+1-d)x^k\\
&\qquad-x^{-d}\sum_{0\leq j}\frac{(a,b,c)_j}{j!(d,e)_j}jx^j\sum_{0\leq k}\frac{(1+a-d,1+b-d,1+c-d)_k}{k!(2-d,1+e-d)_k}x^k\\
&=x^{-d}\sum_{0\leq n}x^n\sum_{j=0}^n(n+1-2j-d)\frac{(a,b,c)_j}{j!(d,e)_j}\frac{(1+a-d,1+b-d,1+c-d)_{n-j}}{(n-j)!(2-d,1+e-d)_{n-j}}\\
&=x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(n+1-d)(1+a-d,1+b-d,1+c-d)_n}{n!(2-d,1+e-d)_n}x^n\F76{-n+d-1,\frac{1-n+d}2,a,b,c,-n,-n-e+d}{\frac{-n+d-1}2,-n-a+d,-n-b+d,-n-c+d,d,e}1
\end{align}
となる. ここで,
Whippleの${}_7F_6$変換公式
より,
\begin{align}
&\F76{-n+d-1,\frac{1-n+d}2,a,b,c,-n,-n-e+d}{\frac{-n+d-1}2,-n-a+d,-n-b+d,-n-c+d,d,e}1\\
&=\frac{(-n+d,-n-a-b+d)_n}{(-n-a+d,-n-b+d)_n}\F43{a,b,e-c,-n}{e,1+a+b-d,-n-c+d}1\\
&=\frac{(1-d,1+a+b-d)_n}{(1+a-d,1+b-d)_n}\F43{a,b,e-c,-n}{e,1+a+b-d,-n-c+d}1
\end{align}
となるから, これを代入して,
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(n+1-d)(1+a-d,1+b-d,1+c-d)_n}{n!(2-d,1+e-d)_n}x^n\frac{(1-d,1+a+d-d)_n}{(1+a-d,1+b-d)_n}\F43{a,b,e-c,-n}{e,-n-c+d,1+a+b-d}1\\
&=(1-d)x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a+b-d,1+c-d)_n}{n!(1+e-d)_n}x^n\F43{a,b,e-c,-n}{e,1+a+b-d,-n-c+d}1\\
&=(1-d)x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a+b-d)_n}{(1+e-d)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,e-c)_k}{k!(e,1+a+b-d)_k}\frac{(1+c-d)_{n-k}}{(n-k)!}
\end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.
\begin{align}
f_0(x)=\F32{a,b,c}{d,e}{x},\qquad f_1(x)=x^{1-d}\F32{1+a-d,1+b-d,1+c-d}{2-d,1+e-d}{x}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=f_0(x)f_1'(x)-f_0'(x)f_1(x)\\
&=(1-d)x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a+b-d,1+c-d)_n}{n!(1+e-d)_n}x^n\F43{a,b,e-c,-n}{e,1+a+b-d,-n-c+d}1\\
&=(1-d)x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a+b-d)_n}{(1+e-d)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,e-c)_k}{k!(e,1+a+b-d)_k}\frac{(1+c-d)_{n-k}}{(n-k)!}
\end{align}
が成り立つ.
特に, $1+a+b+c=d+e$のとき,
Saalschützの和公式
より
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=(1-d)x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a+b-d,1+c-d)_n}{n!(1+e-d)_n}x^n\F32{a,b,-n}{e,-n-c+d}1\\
&=(1-d)x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a+b-d,1+c-d)_n}{n!(1+e-d)_n}x^n\frac{(e-a,e-b)_n}{(e,e-a-b)_n}\\
&=(1-d)x^{-d}\sum_{0\leq n}\frac{(e-a,e-b,e-c)_n}{n!(1+e-d,e)_n}x^n\\
&=(1-d)x^{-d}\F32{e-a,e-b,e-c}{1+e-d,e}x
\end{align}
となる. つまり以下が得られた.
$1+a+b+c=d+e$とする.
\begin{align}
f_0(x)=\F32{a,b,c}{d,e}{x},\qquad f_1(x)=x^{1-d}\F32{1+a-d,1+b-d,1+c-d}{2-d,1+e-d}{x}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
W(f_0,f_1;x)&=f_0(x)f_1'(x)-f_0'(x)f_1(x)\\
&=(1-d)x^{-d}\F32{e-a,e-b,e-c}{1+e-d,e}x
\end{align}
が成り立つ.
この場合, ${}_3F_2$の反対称積がまた${}_3F_2$で表されているというところが興味深い.
$q$類似
同じように
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
より,
\begin{align}
&\Q87{dq^{-n-1},q\sqrt{dq^{-n-1}},-q\sqrt{dq^{-n-1}},a,b,c,q^{-n},dq^{-n}/e}{\sqrt{dq^{-n-1}},-\sqrt{dq^{-n-1}},dq^{-n}/a,dq^{-n}/b,dq^{-n}/c,d,e}{\frac{de}{abc}}\\
&=\frac{(dq^{-n},dq^{-n}/ab;q)_n}{(dq^{-n}/a,dq^{-n}/b;q)_n}\Q43{a,b,e/c,q^{-n}}{e,abq/d,dq^{-n}/c}q\\
&=\frac{(q/d,abq/d;q)_n}{(aq/d,bq/d;q)_n}\Q43{a,b,e/c,q^{-n}}{e,abq/d,dq^{-n}/c}q
\end{align}
であり, この左辺は
\begin{align}
&\Q87{dq^{-n-1},q\sqrt{dq^{-n-1}},-q\sqrt{dq^{-n-1}},a,b,c,q^{-n},dq^{-n}/e}{\sqrt{dq^{-n-1}},-\sqrt{dq^{-n-1}},dq^{-n}/a,dq^{-n}/b,dq^{-n}/c,d,e}{\frac{de}{abc}}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{1-dq^{2k-n-1}}{1-dq^{-n-1}}\frac{(dq^{-n-1},a,b,c,q^{-n},dq^{-n}/e;q)_k}{(q,dq^{-n}/a,dq^{-n}/b,dq^{-n}/c,d,e;q)_k}\left(\frac{de}{abc}\right)^k\\
&=\frac{(q,q^2/d,eq/d;q)_n}{(aq/d,bq/d,cq/d;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{1-dq^{2k-n-1}}{1-dq^{-n-1}}\frac{(a,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}\frac{(aq/d,bq/d,cq/d;q)_{n-k}}{(q,q^2/d,eq/d;q)_{n-k}}q^{-k}\\
&=\frac{(q,q^2/d,eq/d;q)_n}{(aq/d,bq/d,cq/d;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{q^k-q^{n+1-k}/d}{1-q^{n+1}/d}\frac{(a,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}\frac{(aq/d,bq/d,cq/d;q)_{n-k}}{(q,q^2/d,eq/d;q)_{n-k}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(q^k-q^{n+1-k}/d)(a,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}\frac{(aq/d,bq/d,cq/d;q)_{n-k}}{(q,q^2/d,eq/d;q)_{n-k}}\\
&=\frac{(1-q/d)(aq/d,bq/d,cq/d;q)_n}{(q,q/d,eq/d;q)_n}\frac{(q/d,abq/d;q)_n}{(aq/d,bq/d;q)_n}\Q43{a,b,e/c,q^{-n}}{e,abq/d,dq^{-n}/c}q\\
&=\frac{(1-q/d)(abq/d,cq/d;q)_n}{(q,eq/d;q)_n}\Q43{a,b,e/c,q^{-n}}{e,abq/d,dq^{-n}/c}q
\end{align}
両辺の母関数を考えて以下を得る.
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{d,e}{xq}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{x}-\frac qd\Q32{a,b,c}{d,e}{x}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{xq}\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}\frac{(abq/d,cq/d;q)_n}{(q,eq/d;q)_n}x^n\Q43{a,b,e/c,q^{-n}}{e,abq/d,dq^{-n}/c}q\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}\frac{(abq/d;q)_n}{(eq/d;q)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,e/c;q)_k}{(q,e,abq/d;q)_k}\left(\frac{cq}d\right)^k\frac{(cq/d;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}
\end{align}
が成り立つ.
定理3において, $abcq=de$とすると,
$q$-Saalschützの和公式
より
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{d,e}{xq}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{x}-\frac qd\Q32{a,b,c}{d,e}{x}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{xq}\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}\frac{(abq/d,cq/d;q)_n}{(q,eq/d;q)_n}x^n\Q32{a,b,q^{-n}}{e,dq^{-n}/c}q\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}\frac{(abq/d,cq/d;q)_n}{(q,eq/d;q)_n}x^n\frac{(e/a,e/b;q)_n}{(e,e/ab;q)_n}\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}\frac{(e/a,e/b,e/c;q)_n}{(q,e,eq/d;q)_n}x^n\\
&=(1-q/d)\Q32{e/a,e/b,e/c}{e,eq/d}{x}
\end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.
$abcq=de$のとき,
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{d,e}{xq}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{x}-\frac qd\Q32{a,b,c}{d,e}{x}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{xq}\\
&=(1-q/d)\Q32{e/a,e/b,e/c}{e,eq/d}{x}
\end{align}
が成り立つ.
追記
定理4のように$abcq=de$という仮定がなくても${}_3\phi_2$で表されることが分かったのでここに追記しておきたいと思う. 定理3の右辺の${}_4\phi_3$に
Searsの変換公式
を適用すると,
\begin{align}
\Q43{a,b,e/c,q^{-n}}{e,abq/d,dq^{-n}/c}q&=\frac{(deq^{-n}/abc,eq/d;q)_n}{(abq/d,dq^{-n}/c;q)_n}(ab/e)^n\Q43{e/a,e/b,e/c,q^{-n}}{e,deq^{-n}/abc,eq/d}q\\
&=\frac{(abcq/de,eq/d;q)_n}{(abq/d,cq/d;q)_n}\Q43{e/a,e/b,e/c,q^{-n}}{e,deq^{-n}/abc,eq/d}q
\end{align}
となる. これより,
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{d,e}{xq}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{x}-\frac qd\Q32{a,b,c}{d,e}{x}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{xq}\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}\frac{(abq/d,cq/d;q)_n}{(q,eq/d;q)_n}x^n\frac{(abcq/de,eq/d;q)_n}{(abq/d,cq/d;q)_n}\Q43{e/a,e/b,e/c,q^{-n}}{e,deq^{-n}/abc,eq/d}q\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}\frac{(abcq/de;q)_n}{(q;q)_n}x^n\Q43{e/a,e/b,e/c,q^{-n}}{e,deq^{-n}/abc,eq/d}q\\
&=(1-q/d)\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(e/a,e/b,e/c;q)_k}{(q,e,eq/d;q)_k}\left(\frac{abcq}{de}\right)^k\frac{(abcq/de;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\\
&=(1-q/d)\frac{(abcxq/de;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q32{e/a,e/b,e/c}{e,eq/d}{\frac{abcxq}{de}}
\end{align}
となる. つまり, 以下を得る.
\begin{align} &\Q32{a,b,c}{d,e}{xq}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{x}-\frac qd\Q32{a,b,c}{d,e}{x}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{xq}\\ &=(1-q/d)\frac{(abcxq/de;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q32{e/a,e/b,e/c}{e,eq/d}{\frac{abcxq}{de}} \end{align}
これは定理4の$abcq=de$という仮定を外した一般化である.
