Ramanujanの1ψ1和公式

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Ramanujanの

_{1} ψ_{1}

和公式

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} x^{n} & = \frac{(a x, q, b / a, q / a x; q)_{\infty}}{(x, b, q / a, b / a x; q)_{\infty}} \end{aligned}$

Heineの和公式を用いた証明

Heineの和公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} {(\frac{c}{a b})}^{n} & = \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $a \mapsto a q^{- N}, c \mapsto c q^{- N}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q^{- N}, b; q)_{n}}{(c q^{- N}, q; q)_{n}} {(\frac{c}{a b})}^{n} & = \frac{(c / a, c q^{- N} / b; q)_{\infty}}{(c q^{- N}, c / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(a; q)_{n}}{(c; q)_{n}} {(\frac{c}{a b})}^{n} & = lim_{N \to \infty} \sum_{n = - N}^{\infty} \frac{(a, b q^{N}; q)_{n}}{(c, q^{N + 1}; q)_{n}} {(\frac{c}{a b})}^{n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a, b q^{N}; q)_{n - N}}{(c, q^{N + 1}; q)_{n - N}} {(\frac{c}{a b})}^{n - N} \\ = lim_{N \to \infty} \frac{(c q^{- N}, q; q)_{N}}{(a q^{- N}, b; q)_{N}} {(\frac{a b}{c})}^{N} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a q^{- N}, b; q)_{- N}}{(c q^{- N}, q; q)_{n}} {(\frac{c}{a b})}^{n} \\ = lim_{N \to \infty} \frac{(c q^{- N}, q; q)_{N}}{(a q^{- N}, b; q)_{N}} {(\frac{a b}{c})}^{N} \frac{(c / a, c q^{- N} / b; q)_{\infty}}{(c q^{- N}, c / a b; q)_{\infty}} \\ = \frac{(q, c / a, c / b; q)_{\infty}}{(b, c, c / a b; q)_{\infty}} lim_{N \to \infty} {(\frac{a b}{c})}^{N} \frac{(c q^{- N} / b; q)_{N}}{(a q^{- N}; q)_{N}} \\ = \frac{(q, c / a, c / b; q)_{\infty}}{(b, c, c / a b; q)_{\infty}} lim_{N \to \infty} \frac{(b q / c; q)_{N}}{(q / a; q)_{N}} \\ = \frac{(q, c / a, c / b, b q / c; q)_{\infty}}{(b, c, c / a b, q / a; q)_{\infty}} \end{aligned}$
ここで, $x = \frac{c}{a b}$ と置き換えると,

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(a; q)_{n}}{(c; q)_{n}} x^{n} & = \frac{(q, c / a, a x, q / a x; q)_{\infty}}{(c / a x, c, x, q / a; q)_{\infty}} \end{aligned}$
となって定理が示される.

特別な場合として, $b = 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} (a; q)_{n} x^{n} & = \frac{(a x, q, q / a x; q)_{\infty}}{(x, q / a; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. $x \mapsto \frac{x}{a}$ としてから $a \to \infty$ とすることによって, 以下のJacobiの三重積を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} x^{n} & = (x, q / x, q; q)_{\infty} \end{aligned}$

また, 定理1において $b \mapsto a q$ として両辺を $\frac{1}{1 - a}$ 倍すると, 以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{x^{n}}{1 - a q^{n}} & = \frac{(q, q, a x, q / a x; q)_{\infty}}{(a, q / a, x, q / x; q)_{\infty}} \end{aligned}$