Ramanujanの1ψ1和公式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\frac{(ax,q,b/a,q/ax;q)_{\infty}}{(x,b,q/a,b/ax;q)_{\infty}} \end{align}
Heineの和公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac c{ab}\right)^n&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a\mapsto aq^{-N},c\mapsto cq^{-N}$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(aq^{-N},b;q)_n}{(cq^{-N},q;q)_n}\left(\frac c{ab}\right)^n&=\frac{(c/a,cq^{-N}/b;q)_{\infty}}{(cq^{-N},c/ab;q)_{\infty}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(a;q)_n}{(c;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n&=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{\infty}\frac{(a,bq^N;q)_n}{(c,q^{N+1};q)_n}\left(\frac c{ab}\right)^n\\
&=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,bq^N;q)_{n-N}}{(c,q^{N+1};q)_{n-N}}\left(\frac c{ab}\right)^{n-N}\\
&=\lim_{N\to\infty}\frac{(cq^{-N},q;q)_N}{(aq^{-N},b;q)_N}\left(\frac{ab}c\right)^N\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(aq^{-N},b;q)_{-N}}{(cq^{-N},q;q)_{n}}\left(\frac c{ab}\right)^{n}\\
&=\lim_{N\to\infty}\frac{(cq^{-N},q;q)_N}{(aq^{-N},b;q)_N}\left(\frac{ab}c\right)^N\frac{(c/a,cq^{-N}/b;q)_{\infty}}{(cq^{-N},c/ab;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(q,c/a,c/b;q)_{\infty}}{(b,c,c/ab;q)_{\infty}}\lim_{N\to\infty}\left(\frac{ab}c\right)^N\frac{(cq^{-N}/b;q)_{N}}{(aq^{-N};q)_N}\\
&=\frac{(q,c/a,c/b;q)_{\infty}}{(b,c,c/ab;q)_{\infty}}\lim_{N\to\infty}\frac{(bq/c;q)_{N}}{(q/a;q)_N}\\
&=\frac{(q,c/a,c/b,bq/c;q)_{\infty}}{(b,c,c/ab,q/a;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで, $x=\frac{c}{ab}$と置き換えると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(a;q)_n}{(c;q)_n}x^n&=\frac{(q,c/a,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(c/ax,c,x,q/a;q)_{\infty}}
\end{align}
となって定理が示される.
特別な場合として, $b=0$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}(a;q)_nx^n&=\frac{(ax,q,q/ax;q)_{\infty}}{(x,q/a;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る. $x\mapsto \frac{x}a$としてから$a\to\infty$とすることによって, 以下のJacobiの三重積を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\binom n2}x^n&=(x,q/x,q;q)_{\infty} \end{align}
また, 定理1において$b\mapsto aq$として両辺を$\frac 1{1-a}$倍すると, 以下を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{x^n}{1-aq^n}&=\frac{(q,q,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(a,q/a,x,q/x;q)_{\infty}} \end{align}
これは$x,a$に関して対称な等式になっているというところが興味深い.
