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Ramanujan's Master Theorem

509

はじめに

　この記事ではRamanujan's Master Theorem
$\int_{0}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{φ (n)}{n!} (- x)^{n}) x^{s - 1} d x = Γ (s) φ (- s)$
について解説していきます。

ラマヌジャンによる証明

　この定理はラマヌジャンのNotebook 2の初めの方に登場します。
Ramanujan's Notebook 2より
　実はここにラマヌジャンによる導出も記されており、それは次のような説明になっています。

　"質のいい"関数 $φ (s)$ に対し
$\int_{0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{φ (k)}{k!} (- x)^{k}) x^{n - 1} d x = Γ (n) φ (- n)$
が成り立つ。

　変数変換により
$m^{- n} Γ (n) = \int_{0}^{\infty} e^{- m x} x^{n - 1} d x$
が成り立つことに注意すると質のいい関数 $f$ に対し
$\begin{aligned} Γ (n) f (r^{- n}) & = Γ (n) \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} (r^{k})^{- n} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{k} x} x^{n - 1} d x \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} \int_{0}^{\infty} (\sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(- r^{k} x)^{j}}{j!}) x^{n - 1} d x \\ = \int_{0}^{\infty} (\sum_{j = 0}^{\infty} \frac{f (r^{j})}{j!} (- x)^{j}) x^{n - 1} d x \end{aligned}$
が成り立つので $φ (n) = f (r^{n})$ とおくと
$\int_{0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{φ (k)}{k!} (- x)^{k}) x^{n - 1} d x = Γ (n) φ (- n)$
を得る。

　この証明では
$φ (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} (r^{k})^{n}$
と展開しているので
$φ (s) = \sum_{a \in A} λ (a) a^{s}$
と展開できることを仮定していたshihさんの記事と本質的に同じ説明となっています。

ハーディによる証明

　上の定理はハーディにより次のように一般化・精密化されました。

Hardy's theorem

　 $ϕ (s)$ を $Re (s) \geq - δ (0 < δ < 1)$ において正則で、ある定数 $C, P, ε (0 < ε)$ によって
$| ϕ (s) | < C e^{P σ + (π - ε) | t |} (s = σ + i t)$
と評価できるものとする。このとき $0 < c < δ$ および $x > 0$ に対し
$Φ (x) = \frac{1}{2 π i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s} d s$
とおくと $0 < x < e^{- P}$ において
$Φ (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ϕ (n) (- x)^{n}$
が成り立つ。特に $0 < Re (s) < δ$ において
$\int_{0}^{\infty} Φ (x) x^{s - 1} d x = \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s)$
が成り立つ。

補題

　 $z = x + i y$ に対して $| \sin z |^{2} = \sin^{2} x + \sinh^{2} y$ が成り立つ。
　特にある $y$ によらない定数 $m = m (x)$ が存在して $| \sin z | \geq m e^{| y |}$ が成り立つ。

　前者については
$\begin{aligned} | \sin z |^{2} & = | \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y |^{2} \\ = \sin^{2} x \cosh^{2} y - (\sin^{2} x \sinh^{2} y - \sin^{2} x \sinh^{2} y) + \cos^{2} \sinh^{2} y \\ = \sin^{2} x + \sinh^{2} y \end{aligned}$
とわかる。またこのことから $X = \sin^{2} x, Y = e^{- | y |}$ とおくと
$\begin{aligned} 4 e^{- 2 | y |} | \sin z |^{2} & = 4 Y^{2} \sin^{2} x + Y^{2} (Y - Y^{- 1})^{2} \\ = (1 + 4 X) {(Y - \frac{1}{1 + 4 X})}^{2} + 1 - \frac{1}{1 + 4 X} \geq \frac{4 X}{1 + 4 X} \end{aligned}$
つまり
$| \sin z | \geq \frac{| \sin x |}{\sqrt{1 + 4 \sin^{2} x}} e^{| y |}$
と評価できる。

Φ (x)

の収束性について

　上では特に断りもなく $x > 0$ で
$\frac{1}{2 π i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s} d s$
を、また $0 < x < e^{- P}$ で
$\sum_{n = 0}^{\infty} ϕ (n) (- x)^{n}$
を定めていたが、一応これらの収束性について確認しておこう。
　まず積分については上の補題および $\log x \in R$ に注意すると
$\begin{aligned} | \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s} d s | & \leq \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} \frac{π}{m e^{π | t |}} C e^{P σ + (π - ε) | t |} x^{- σ} | d s | \\ = \frac{C π}{m} e^{P c} x^{- c} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ε | t |} d t \\ = \frac{2 C π}{ε m} e^{P c} x^{- c} \end{aligned}$
と評価できるので $x > 0$ において絶対収束することがわかる。
　また級数については
$\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| ϕ (n) |} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{C e^{P n}} = e^{- P}$
と評価できるのでコーシーの冪根判定法より $| x | < e^{- P}$ において絶対収束することがわかる。

　 $N$ を正の整数とし、経路
$Γ_{N} : c - i \infty \to c + i \infty \to - N + c + i \infty \to - N + c - i \infty \to c - i \infty$
における積分
$\begin{aligned} \frac{1}{2 π i} \oint_{Γ_{N}} \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s} d s & = \sum_{n = 0}^{N} {Res}_{s = - n} (\frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s}) \\ = \sum_{n = 0}^{N} ϕ (n) (- x)^{n} \end{aligned}$
を考える。
　いま上の補題に注意すると
$\begin{aligned} | \int_{- N + c \pm i T}^{c \pm i T} \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s} d s | & \leq \int_{- N + c \pm i T}^{c \pm i T} \frac{π}{| \sinh π t |} C e^{- P σ + (π - ε) | t |} e^{P σ} | d s | \\ = C N π \frac{e^{π T}}{\sinh π T} e^{- ε T} \to 0 (T \to \infty) \\ | \int_{- N + c - i \infty}^{- N + c + i \infty} \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s} d s | & \leq \int_{- N + c - i \infty}^{- N + c + i \infty} \frac{π}{m e^{π | t |}} C e^{- P σ + (π - ε) | t |} x^{- σ} | d s | \\ = \frac{C π}{m} {(\frac{e^{- P}}{x})}^{- N + c} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ε | t |} d t \\ = \frac{2 C π}{ε m} {(\frac{e^{- P}}{x})}^{- N + c} \to 0 (N \to \infty) \end{aligned}$
と評価できる。したがって $N \to \infty$ とすることで
$\frac{1}{2 π i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) x^{- s} d s = \sum_{n = 0}^{\infty} ϕ (n) (- x)^{n}$
を得る。またこれにメリン変換を施すことで
$\frac{π}{\sin π s} ϕ (- s) = \int_{0}^{\infty} Φ (x) x^{s - 1} d x$
を得る。

　 $Γ$ 関数の相反公式
$Γ (s) Γ (1 - s) = \frac{π}{\sin π s}$
に注意して $ϕ (s) = φ (s) / Γ (s + 1)$ とおくことでラマヌジャンの考えた形の公式が得られる。

　 $0 < c < δ$ および $x > 0$ に対して
$F (x) = \frac{1}{2 π i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} Γ (s) φ (- s) x^{- s} d s$
とおくと $0 < x < e^{- P}$ において
$F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{φ (n)}{n!} (- x)^{n}$
が成り立つ。また $0 < Re (s) < δ$ において
$\int_{0}^{\infty} F (x) x^{s - 1} d x = Γ (s) φ (- s)$
が成り立つ。

　ちなみにラマヌジャンが考えたのは上で見たように $s = n$ の場合のみであり、それの連続化まで考えたのはハーディであったらしく"Ramanujan's Notebooks"においてバーントはこの定理を"Ramanujan's master theorem or Hardy's theorem"と呼んでいます。

$s$ の取り得る範囲について

　ラマヌジャンの考えた公式では明らかに $0 < s < δ$ ではありませんでしたが、これは簡単に正当化することができます。
　というのもハーディの定理により少なくとも $0 < s < δ$ において
$\int_{0}^{\infty} Φ (x) x^{s - 1} d x = \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s)$
となることが保証されているので、解析接続によりこの両辺がそれぞれ"意味を持つ"限り任意の $s$ に対しこれは成り立ちます。
　例えば $x \to \infty$ において $Φ (x) = O (x^{- a})$ を満たすとき $Re (s) < a - ϵ$ において
$| \int_{1}^{\infty} Φ (x) x^{s - 1} d x | \leq C^{'} \int_{1}^{\infty} x^{- a} x^{a - ϵ - 1} d x = \frac{C^{'}}{ϵ}$
のように評価できるので $\int_{0}^{\infty} Φ (x) x^{s - 1} d x$ は $0 < Re (s) < a$ で正則関数を定め、したがってこのとき
$\int_{0}^{\infty} Φ (x) x^{s - 1} d x = \frac{π}{\sin π s} ϕ (- s)$
は $0 < Re (s) < a$ において成り立つことになります(何か間違ったことを言っていたらすみません)。
　このようなことを理解していればこの定理を使うとき $0 < Re (s) < δ$ という制限はあまり気にしなくて大丈夫だと思います。

参考文献

[1]

B. C. Bernt, Ramanujan's Notebooks Part I, Springer-Verlag, 1985, pp. 298-230

[2]

G. H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, Chelsea, 1940, pp. 298-230

投稿日：2023年11月27日

更新日：2023年11月28日

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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$s$ の取り得る範囲について
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