リー代数1.2.3　イデアルと準同型

　まず、$\partial$は巾零なので、ある$k\in \mathbb{N}$が存在して、$\partial^k=0$である。
したがって、$\displaystyle \exp\partial=\sum_{n=0}^{k-1}\frac{\partial^n}{n!}$と表される。
　やはり、$\exp\partial$は線型同型写像であるので、かっこ積を保つことを確認すれば良い。
　$x,y\in L$を任意にとる。$\mathrm{Leibniz}$則より、帰納的に次が分かる。$[x,y]=xy$と略記すると、
　$\displaystyle\hspace{40pt}\frac{\partial^n(xy)}{n!}=\sum_{j=0}^{n}\frac{\partial^j(x)}{j!}\cdot\frac{\partial^{(n-j)}(y)}{(n-j)!}$が成り立つ。
このとき、

$\displaystyle \begin{align}\hspace{40pt}\exp\partial (x)\exp\partial (y)&=\left(\sum_{n=0}^{k-1}\frac{\partial^n(x)}{n!}\right)\cdot\left(\sum_{m=0}^{k-1}\frac{\partial^m(y)}{m!}\right) \\&=\sum_{n=0}^{2k-2}\left(\sum_{j=0}^{n}\frac{\partial^j(x)}{j!}\cdot\frac{\partial^{n-j}(y)}{(n-j)!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{2k-2}\frac{\partial^n(xy)}{n!}\\ &=\sum_{n=0}^{k-1}\frac{\partial^n}{n!}(xy)\\ &=\exp\partial(xy)\end{align}$

$1$行目から$2$行目の間には、$\partial^k=0$と、ななめに足すことの合わせ技を使うとわかる。

さて、表記を元に戻すと、$[\exp\partial(x),\exp\partial(y)]=\exp\partial([x,y])$
すなわち、$\exp\partial\in \mathrm{Aut}\,L$がわかる。$\Box$

$(\mathrm{i})$$\varphi(\mathrm{ad}\,x)\varphi^{-1}(y)=\varphi([x,\varphi^{-1}(y)])=[\varphi(x),y]=\mathrm{ad}\,\varphi(x)(y)$
であるので、$\varphi(\mathrm{ad}\,x)\varphi^{-1}=\mathrm{ad}\,\varphi(x)$が成り立つ。

$(\mathrm{ii})$$\mathrm{ad}\,x$が巾零より、$k\in \mathbb{N}$が存在して、$(\mathrm{ad}\,x)^k=0$となる。
このとき、$(\mathrm{ad}\,\varphi(x))^k=(\varphi(\mathrm{ad}\,x)\varphi^{-1})^k=\varphi(\mathrm{ad}\,x)^k\varphi^{-1}=0$
したがって、$\mathrm{ad}\,\varphi(x)$は巾零である。

$(\mathrm{iii})$ $\mathrm{ad}\,x$は巾零としよう。$k\in \mathbb{N}$として、$(\mathrm{ad}\,x)^k=0$とする。
$\displaystyle\hspace{40pt}\begin{align}\varphi\exp(\mathrm{ad}\,x)\varphi^{-1} &=\varphi\left(\sum_{n=0}^{k-1}\frac{(\mathrm{ad}\,x)^n}{n!}\right)\varphi^{-1}\\ &=\left(\sum_{n=0}^{k-1}\frac{\varphi(\mathrm{ad}\,x)^n\varphi^{-1}}{n!}\right)\\ &=\left(\sum_{n=0}^{k-1}\frac{(\mathrm{ad}\,\varphi(x))^n}{n!}\right)\\ &=\exp\mathrm{ad}\,\varphi(x)\end{align}$

$(\mathrm{iv})$ まず、$\mathrm{Int}\,L$の元を任意にとる。
$\mathrm{Int}\,L$の元は、$\displaystyle \prod_{j=1}^{n}\exp(\mathrm{ad}\,x_j)$とかける。（$\mathrm{ad}\,x_j$は巾零）
任意の$\varphi\in \mathrm{Aut}\,L$に対し、
$\displaystyle \varphi\left(\prod_{j=1}^{n}\exp(\mathrm{ad}\,x_j)\right)\varphi^{-1}=\left(\prod_{j=1}^{n}\varphi\exp(\mathrm{ad}\,x_j)\varphi^{-1}\right)=\left(\prod_{j=1}^{n}\exp(\mathrm{ad}\,\varphi(x_j))\right)$

$\mathrm{ad}\,\varphi(x_j)$は巾零なので、$\displaystyle\left(\prod_{j=1}^{n}\exp(\mathrm{ad}\,\varphi(x_j))\right)\in \mathrm{Int}\,L$
つまり、$\varphi\,\mathrm{Int}\,L\,\varphi^{-1}\subset\mathrm{Int}\,L$となり、$\mathrm{Int}\,L$は$\mathrm{Aut}\,L$の正規部分群である。$\Box$

　$\mathrm{ad}\,x\,(y)=[x,y]=xy-yx$であるので、
　$L_x(y):=xy,R_x(y):=yx$と定めると、
$　\mathrm{ad}\,x\,(y)=L_x(y)+R_{-x}(y)$より、$\mathrm{ad}\,x=L_x+R_{-x}$とかける。
　$L_x,R_{-x}:V\to V$は線型写像で、可換である。つまり、$L_xR_{-x}=R_{-x}L_x$
　$x$が巾零より、$L_x,R_{-x}$も巾零である。これらを用いて、計算する。
　$\exp\mathrm{ad}\,x=\exp(L_x+R_{-x})=\exp L_x\exp R_{-x}$
　$x$が巾零より、$x^{k+1}=0$を満たす自然数$k$が存在するので、$(L_x)^{k+1}=0,(R_{-x})^{k+1}=0$がわかる。
　$\displaystyle\exp L_x\,(y)=\left(\sum_{n=0}^k\frac{(L_x)^n}{n!}\right)(y)=\sum_{n=0}^k\frac{x^ny}{n!}=\left(\sum_{n=0}^k\frac{x^n}{n!}\right)y=(\exp x)y=L_{\exp x}(y)$

　$\displaystyle\exp R_{-x}\,(y)=\left(\sum_{n=0}^k\frac{(R_{-x})^n}{n!}\right)(y)=\sum_{n=0}^k\frac{y(-x)^n}{n!}=y\left(\sum_{n=0}^k\frac{(-x)^n}{n!}\right)=y(\exp (-x))=R_{\exp (-x)}(y)$

　したがって、$\exp L_x=L_{\exp x},\exp R_{-x}=R_{\exp (-x)}$
　すなわち、$\exp\mathrm{ad}\,x=\exp L_x\exp R_{-x}=L_{\exp x}R_{\exp(-x)}$
　$\exp \mathrm{ad}\,x\,(y)=L_{\exp x}R_{\exp(-x)}(y)=(\exp x)y(\exp (-x))=(\exp x)y(\exp x)^{-1}$ $\Box$