文献あり

リー代数1.2.3　イデアルと準同型

自己同型と内部自己同型

(自己同型)

　 $L$ を $Lie$ 代数とする。
　 $φ : L \to L$ が $Lie$ 代数の同型写像のとき、特に自己同型写像とか自己同型という。
　 $L$ の自己同型の全体を $Aut L$ とかく。つまり、 $Aut L :=$ { $φ : L \to L | φ$ は同型}

$Aut L$ は $0$ を含まないので、線型空間とはならないが、写像の合成を積として群をなすので、 $Lie$ 代数の自己同型群とよぶ。

今回は $Aut L$ の元についての例を見ていく。

　 $V$ を有限次元線型空間とし、 $L \subset gl (V)$ を線型 $Lie$ 代数とする。
$L$ が、すべての $g \in G L (V)$ に対し、 $g L g^{- 1} \subset L$ をみたすとき、
$g \in G L (V)$ に対し、写像 $ι_{g} : L \to L, ι_{g} (x) := g x g^{- 1}$ と定める。
このとき、 $ι_{g} \in Aut L$ である。（ $ι_{g}^{- 1} = ι_{g^{- 1}}$ である。）

$g L g^{- 1} \subset L$ という条件は $Im (ι_{g}) = L$ となるための条件である。

$ι_{g} \in Aur L$ となる例

　 $L = gl (V)$ とすると、すべての $g \in G L (V)$ に対し、 $g L g^{- 1} \subset L$ をみたすので、 $g \in G L (V)$ に対し、写像 $ι_{g} : gl (V) \to gl (V), ι_{g} (x) := g x g^{- 1}$ は自己同型。

　 $L = sl (V)$ とすると、すべての $g \in G L (V), x \in sl (V)$ に対し、
$Tr (g x g^{- 1}) = Tr x = 0$ である。
よって、 $g L g^{- 1} \subset L$ をみたすので、 $g \in G L (V)$ に対し、
写像 $ι_{g} : sl (V) \to sl (V), ι_{g} (x) := g x g^{- 1}$ は自己同型。

　以下、 $F$ の標数は0とする。（ $F = R$ or $C$ と思えばいい）

（巾零行列、巾零変換）

　 $N \in {gl}_{n} (F)$ が巾零行列であるとは、ある $k \in N$ が存在して、 $N^{k} = O$ となることをいう。
　同様に、 $V$ を線型空間として、 $f \in gl (V)$ が巾零変換であるとは、ある $k \in N$ が存在して、 $f^{k} = 0$ となることをいう。

巾零や冪零は画数が多いので、 $nilpotent$ と書いたりする。

　 $L$ を $Lie$ 代数とする。 $x \in L$ について、 $ad x$ が巾零で、特に $k > 0$ に対して、 $(ad x)^{k} = 0$ とするとき、 $\exp (ad x) : L \to L$ を
$\exp (ad x) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (ad x)^{n} = \sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{1}{n!} (ad x)^{n}$ と定める。

上記の仮定の下で、 $\exp (ad x) : L \to L$ は線型変換であり、 $\exp (- ad x)$ が逆写像である。 $(ad x)^{0} = {id}_{L}$ と読みかえる。

続いて、 $\exp (ad x)$ が $Lie$ 代数の準同型であることを示そう。あえて、より一般的な形で示す。

　 $L$ を $Lie$ 代数とする。 $\partial : L \to L$ を $L$ 上の微分で巾零なものとする。
　このとき、 $\exp \partial \in Aut L$ である。

　まず、 $\partial$ は巾零なので、ある $k \in N$ が存在して、 $\partial^{k} = 0$ である。
したがって、 $\exp \partial = \sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{\partial^{n}}{n!}$ と表される。
　やはり、 $\exp \partial$ は線型同型写像であるので、かっこ積を保つことを確認すれば良い。
　 $x, y \in L$ を任意にとる。 $Leibniz$ 則より、帰納的に次が分かる。 $[x, y] = x y$ と略記すると、
　 $\frac{\partial^{n} (x y)}{n!} = \sum_{j = 0}^{n} \frac{\partial^{j} (x)}{j!} \cdot \frac{\partial^{(n - j)} (y)}{(n - j)!}$ が成り立つ。
このとき、

$\begin{aligned} \exp \partial (x) \exp \partial (y) & = (\sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{\partial^{n} (x)}{n!}) \cdot (\sum_{m = 0}^{k - 1} \frac{\partial^{m} (y)}{m!}) \\ = \sum_{n = 0}^{2 k - 2} (\sum_{j = 0}^{n} \frac{\partial^{j} (x)}{j!} \cdot \frac{\partial^{n - j} (y)}{(n - j)!}) \\ = \sum_{n = 0}^{2 k - 2} \frac{\partial^{n} (x y)}{n!} \\ = \sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{\partial^{n}}{n!} (x y) \\ = \exp \partial (x y) \end{aligned}$

$1$ 行目から $2$ 行目の間には、 $\partial^{k} = 0$ と、ななめに足すことの合わせ技を使うとわかる。

さて、表記を元に戻すと、 $[\exp \partial (x), \exp \partial (y)] = \exp \partial ([x, y])$
すなわち、 $\exp \partial \in Aut L$ がわかる。 $◻$

　 $\exp \partial$ が線型同型写像であることについて
線型性は、 $\partial$ の合成の線型結合であることからわかる。
$\exp \partial$ の逆写像は $\exp (- \partial)$ であることからわかる。
なお、 $\exp \partial$ は $L$ 上の微分には基本的にならない。

　 $ad x$ は $L$ 上の微分であるので、補題により、 $ad x$ が巾零ならば、 $\exp (ad x) \in Aut L$

（内部自己同型）

　 $L$ を $Lie$ 代数とする。 $x \in L$ について、 $ad x$ が巾零とする。
　このとき、 $\exp (ad x) \in Aut L$ を内部自己同型という。
　より一般に、{ $\exp (ad x) \in Aut L$ | $ad x$ は巾零}で生成される $Aut L$ の元全体を $Int L$ と書いて、 $Int L$ の元を内部自己同型という。

　ようするに、 $\prod_{j = 1}^{n} \exp (ad x_{j}) \in Aut L$ という形の元を内部自己同型というわけである。

もちろん、このように定義するのは、 $Int L$ を $Aut L$ の部分群にするためである。

　 $L$ を $Lie$ 代数とし、 $φ \in Aut L$ とする。
　 $(i)$ $φ (ad x) φ^{- 1} = ad φ (x)$
　 $(ii) ad x$ が巾零ならば、 $ad φ (x)$ も巾零である。
　 $(iii)$ $φ \exp (ad x) φ^{- 1} = \exp (ad φ (x))$
　 $(iv)$ $Int L$ は $Aut L$ の正規部分群である。

$(i)$ $φ (ad x) φ^{- 1} (y) = φ ([x, φ^{- 1} (y)]) = [φ (x), y] = ad φ (x) (y)$
であるので、 $φ (ad x) φ^{- 1} = ad φ (x)$ が成り立つ。

$(ii)$ $ad x$ が巾零より、 $k \in N$ が存在して、 $(ad x)^{k} = 0$ となる。
このとき、 $(ad φ (x))^{k} = (φ (ad x) φ^{- 1})^{k} = φ (ad x)^{k} φ^{- 1} = 0$
したがって、 $ad φ (x)$ は巾零である。

$(iii)$ $ad x$ は巾零としよう。 $k \in N$ として、 $(ad x)^{k} = 0$ とする。
$\begin{aligned} φ \exp (ad x) φ^{- 1} & = φ (\sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{(ad x)^{n}}{n!}) φ^{- 1} \\ = (\sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{φ (ad x)^{n} φ^{- 1}}{n!}) \\ = (\sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{(ad φ (x))^{n}}{n!}) \\ = \exp ad φ (x) \end{aligned}$

$(iv)$ まず、 $Int L$ の元を任意にとる。
$Int L$ の元は、 $\prod_{j = 1}^{n} \exp (ad x_{j})$ とかける。（ $ad x_{j}$ は巾零）
任意の $φ \in Aut L$ に対し、
$φ (\prod_{j = 1}^{n} \exp (ad x_{j})) φ^{- 1} = (\prod_{j = 1}^{n} φ \exp (ad x_{j}) φ^{- 1}) = (\prod_{j = 1}^{n} \exp (ad φ (x_{j})))$

$ad φ (x_{j})$ は巾零なので、 $(\prod_{j = 1}^{n} \exp (ad φ (x_{j}))) \in Int L$
つまり、 $φ Int L φ^{- 1} \subset Int L$ となり、 $Int L$ は $Aut L$ の正規部分群である。 $◻$

${sl}_{2} (F)$ での計算例

　 $L := {sl}_{2} (F)$ とおく。（ただし、 $F$ の標数は $0$ とする。）
　 ${sl}_{2} (F)$ の基底として次を選ぶ。

$x := (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ $y := (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ $h := (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$

と定める。
　以下、計算は後で確認することにして、話の流れを説明する。

このとき、 $σ := \exp ad x \cdot \exp ad (- y) \cdot \exp ad x$ と定めると、
$ad x, ad y$ は巾零なので、 $σ \in Int L$ であることがわかる。

特に、 $σ \in Int L$ の正体は、 $σ (x) = - y, σ (y) = - x, σ (h) = - h$ である。

　今度は、 $σ$ に倣って、 $s := \exp x \cdot \exp (- y) \cdot \exp x$ と定めると、 $s = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$

例１の $ι_{s} : {sl}_{2} (F) \to {sl}_{2} (F), ι_{s} (z) := s z s^{- 1}$ を考え、基底の行き先を計算すると、
なんと、 $σ = ι_{s}$ となることがわかる。

これは偶然ではなく、適切な仮定の下で正しいことを計算の後に定理として述べる。

　計算例の確認

$\cdot ad x, ad y$ は巾零であること

　基底 ${x, y, h}$ の行き先を具体的に書き表してみよう。

　 $ad x (x) = 0, ad x (y) = h, ad x (h) = - 2 x$
　 $ad y (x) = - h, ad y (y) = 0, ad y (h) = 2 y$
であるので、
　 $(ad x)^{2} (h) = (ad x) (- 2 x) = 0, (ad x)^{3} (y) = (ad x)^{2} (h) = 0$
すなわち、 $(ad x)^{3} = 0$ である。同様に、 $(ad y)^{3} = 0$ である。
　従って、 $ad x, ad y$ は巾零である。

　 $\cdot \exp$ たちの計算

直前の結果より、
　 $\exp ad x = \sum_{n = 0}^{2} \frac{(ad x)^{n}}{n!} = {id}_{L} + ad x + \frac{1}{2} (ad x)^{2}$

これより、
　 $\exp ad x (x) = x, \exp ad x (y) = y + h - x, \exp ad x (h) = h - 2 x$

同様に、
　 $\exp ad (- y) (x) = x + h - y, \exp ad (- y) (y) = y, \exp ad (- y) (h) = h - 2 y$

よって、
　 $σ (x) = \exp ad x (x - y + h) = x - (y + h - x) + (h - 2 x) = - y$

　 $\begin{aligned} σ (y) & = \exp ad x \cdot \exp ad (- y) (- x + y + h) \\ = \exp ad x ((- x + y - h) + y + (h - 2 y)) \\ = \exp ad x (- x) = - x \end{aligned}$

　 $\begin{aligned} σ (h) & = \exp ad x \cdot \exp ad (- y) (h - 2 x) \\ = \exp ad x ((h - 2 y) - 2 (x - y + h)) \\ = \exp ad x (- 2 x - h) \\ = - 2 x - (h - 2 x) = - h \end{aligned}$

従って、 $σ (x) = - y, σ (y) = - x, σ (h) = - h$ である。

　また、 $x^{2} = y^{2} = 0$ なので、
　 $\exp x = I_{2} + x = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $\exp y = I_{2} + y = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})$

これより、
　 $s = \exp x \cdot \exp (- y) \cdot \exp x = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$

さらに、
　 $ι_{s} (x) = s x s^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) = - y$

　 $ι_{s} (y) = s y s^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = - x$

　 $ι_{s} (h) = s h s^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = - h$

すなわち、 $σ = ι_{s}$ となっている。

　 $V$ を標数が $0$ の体 $F$ 上の有限次元線型空間とし、 $L \subset gl (V)$ を線型 $Lie$ 代数とする。
　 $x \in L$ が巾零であるとき、すべての $y \in L$ について、 $(\exp x) y (\exp x)^{- 1} = \exp ad x (y)$ が成り立つ。

　 $ad x (y) = [x, y] = x y - y x$ であるので、
　 $L_{x} (y) := x y, R_{x} (y) := y x$ と定めると、
$ad x (y) = L_{x} (y) + R_{- x} (y)$ より、 $ad x = L_{x} + R_{- x}$ とかける。
　 $L_{x}, R_{- x} : V \to V$ は線型写像で、可換である。つまり、 $L_{x} R_{- x} = R_{- x} L_{x}$
　 $x$ が巾零より、 $L_{x}, R_{- x}$ も巾零である。これらを用いて、計算する。
　 $\exp ad x = \exp (L_{x} + R_{- x}) = \exp L_{x} \exp R_{- x}$
　 $x$ が巾零より、 $x^{k + 1} = 0$ を満たす自然数 $k$ が存在するので、 $(L_{x})^{k + 1} = 0, (R_{- x})^{k + 1} = 0$ がわかる。
　 $\exp L_{x} (y) = (\sum_{n = 0}^{k} \frac{(L_{x})^{n}}{n!}) (y) = \sum_{n = 0}^{k} \frac{x^{n} y}{n!} = (\sum_{n = 0}^{k} \frac{x^{n}}{n!}) y = (\exp x) y = L_{\exp x} (y)$

　 $\exp R_{- x} (y) = (\sum_{n = 0}^{k} \frac{(R_{- x})^{n}}{n!}) (y) = \sum_{n = 0}^{k} \frac{y (- x)^{n}}{n!} = y (\sum_{n = 0}^{k} \frac{(- x)^{n}}{n!}) = y (\exp (- x)) = R_{\exp (- x)} (y)$

　したがって、 $\exp L_{x} = L_{\exp x}, \exp R_{- x} = R_{\exp (- x)}$
　すなわち、 $\exp ad x = \exp L_{x} \exp R_{- x} = L_{\exp x} R_{\exp (- x)}$
　 $\exp ad x (y) = L_{\exp x} R_{\exp (- x)} (y) = (\exp x) y (\exp (- x)) = (\exp x) y (\exp x)^{- 1}$ $◻$

　定理３を用いて、例２の $σ = ι_{s}$ を示そう。
　定理３を書き直すと、 $ι_{\exp x} = \exp ad x$ とかける。
　 $s = \exp x \cdot \exp (- y) \cdot \exp x$ より、
　 $ι_{s} = ι_{\exp x} \cdot ι_{\exp (- y)} \cdot ι_{\exp x} = \exp ad x \cdot \exp ad (- y) \cdot \exp ad x = σ$ 　