圏論2：関手と自然変換
今回は，関手，Hom関手，自然変換，表現可能関手についてまとめる．次回Yonedaの補題を述べるために，反対圏と関手圏もあわせて準備しておく．
圏$\mathcal{C},\mathcal{D}$に対して，$\mathcal{C}$から$\mathcal{D}$への関手$F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$とは，次のデータからなるものである．
(i) 各対象$X\in\mathcal{C}$に対して，対象$F(X)\in\mathcal{D}$を対応させる．
(ii) 各射$f:X\to Y$に対して，射$F(f):F(X)\to F(Y)$を対応させる．
この対応は恒等射と合成を保つ．すなわち，$F({\rm id}_X)={\rm id}_{F(X)}$であり，合成できる射$X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$について$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$である．
関手は，対象だけでなく射も保って圏から圏へ移す対応である．図式でかくと，$\mathcal{C}$の図式
\begin{equation*}
\xymatrix{
X \ar[r]^-{f} \ar[dr]_-{g\circ f} & Y \ar[d]^-{g}\\
& Z
}
\end{equation*}
は，$\mathcal{D}$の図式
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(f)} \ar[dr]_-{F(g\circ f)} & F(Y) \ar[d]^-{F(g)}\\
& F(Z)
}
\end{equation*}
に移り，$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$が成り立つ．
第1回で出てきた部分圏$\mathcal{D}\subset\mathcal{C}$に対しては，包含関手$i:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$がある．これは対象も射もそのまま大きい圏$\mathcal{C}$のものと見る関手である．
また，$A$加群をその台集合へ送る対応${\rm Mod}_A\to{\rm Set}$も関手である．このように，構造を忘れる関手を忘却関手という．
圏$\mathcal{C}$の反対圏$\mathcal{C}^{\rm op}$とは，対象は$\mathcal{C}$と同じで，射の向きをすべて逆にした圏である．すなわち
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}^{\rm op}}(X,Y)
=
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(Y,X)
\end{equation*}
と定める．
関手$F:\mathcal{C}^{\rm op}\to\mathcal{D}$を，$\mathcal{C}$から$\mathcal{D}$への反変関手という．つまり，$\mathcal{C}$の射$f:X\to Y$に対して，反変関手は逆向きの射$F(f):F(Y)\to F(X)$を対応させる．
普通の関手$F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$を，共変関手ということもある．反変関手は，反対圏からの共変関手として扱うと記法がきれいになる．
$A\in\mathcal{C}$を固定する．共変Hom関手${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,-):\mathcal{C}\to{\rm Set}$を次のように定める．
対象$X\in\mathcal{C}$に対して，集合${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,X)$を対応させる．射$f:X\to Y$に対して，写像
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,X)\to{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,Y)\ ;\ u\mapsto f\circ u
\end{equation*}
を対応させる．
$A\in\mathcal{C}$を固定する．反変Hom関手${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A):\mathcal{C}^{\rm op}\to{\rm Set}$を次のように定める．
対象$X\in\mathcal{C}$に対して，集合${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,A)$を対応させる．射$f:X\to Y$に対して，写像
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(Y,A)\to{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,A)\ ;\ v\mapsto v\circ f
\end{equation*}
を対応させる．
${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,-)$と${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A)$は関手である．
まず${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,-)$について示す．恒等射${\rm id}_X:X\to X$に対応する写像は，$u:A\to X$を${\rm id}_X\circ u=u$に送るので恒等写像である．また$X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$に対して，$u:A\to X$を追うと，まず$f$で送ってから$g$で送る操作は$u\mapsto g\circ(f\circ u)$であり，これは結合法則により$u\mapsto (g\circ f)\circ u$と等しい．よって合成も保つ．
${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A)$についても同様である．射$X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$に対して，$w:Z\to A$を追うと，$w\mapsto w\circ g\mapsto (w\circ g)\circ f$であり，これは$w\mapsto w\circ(g\circ f)$と等しい．したがって反変Hom関手も関手である．
$F,G:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$を関手とする．$F$から$G$への自然変換$\eta:F\to G$とは，各対象$X\in\mathcal{C}$に対して射$\eta_X:F(X)\to G(X)$を与えたもので，任意の射$f:X\to Y$に対して
\begin{equation*}
G(f)\circ\eta_X=\eta_Y\circ F(f)
\end{equation*}
を満たすものをいう．
関手$F$から$G$への自然変換全体の集合を${\rm Nat}(F,G)$とかく．
自然性の条件は，次の図式が可換であることと同じである．
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{\eta_X} \ar[d]_-{F(f)} & G(X) \ar[d]^-{G(f)}\\
F(Y) \ar[r]_-{\eta_Y} & G(Y)
}
\end{equation*}
小圏$\mathcal{C}$，圏$\mathcal{D}$に対して，関手圏${\rm Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$を次のように定める．
(i) 対象は関手$F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$である．
(ii) 射は自然変換$\eta:F\to G$である．すなわち，関手圏における射の集合は
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{{\rm Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})}(F,G)
=
{\rm Nat}(F,G)
\end{equation*}
である．
自然変換の合成は，各対象$X$での合成$(\theta\circ\eta)_X=\theta_X\circ\eta_X$により定める．
関手圏${\rm Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$を考えるときは$\mathcal{C}$は小圏としておく．
そうでなければ${\rm Nat}(F,G)$が集合とは限らない．
射$a:A\to B$は，自然変換${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(B,-)\to{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,-)$を定める．また，自然変換${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A)\to{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,B)$も定める．
まず各$X\in\mathcal{C}$に対して，写像${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(B,X)\to{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,X)$を$u\mapsto u\circ a$で定める．これは$a$を前から合成する操作である．射$f:X\to Y$に対して，$u:B\to X$を二通りに送ると，どちらも$f\circ u\circ a$になるので自然性が成り立つ．
次に各$X\in\mathcal{C}$に対して，写像${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,A)\to{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,B)$を$v\mapsto a\circ v$で定める．これは$a$を後ろから合成する操作である．射$f:X\to Y$に対して自然性を確認すると，どちらの合成も$a\circ v\circ f$になる．
反変関手$F:\mathcal{C}^{\rm op}\to{\rm Set}$が表現可能であるとは，ある対象$A\in\mathcal{C}$が存在して，関手の同型
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A)\cong F
\end{equation*}
があることをいう．このとき，$A$は$F$を表現する，または$F$は$A$で表現されるという．
このシリーズでは，$h_A={\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A)$と書くことが多い．つまり反変の表現可能関手は，$h_A$と同型な関手である．
共変関手$F:\mathcal{C}\to{\rm Set}$についても，同様にある$A\in\mathcal{C}$が存在して${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,-)\cong F$となるとき，表現可能であるという．
表現可能関手の例をいくつか挙げる．
(i) 任意の$A\in\mathcal{C}$について，$h_A={\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A)$は定義により表現可能である．
(ii) ${\rm Set}$上の共変関手$X\mapsto X$は，一点集合$\{*\}$で表現される．実際，${\rm Hom}_{{\rm Set}}(\{*\},X)\cong X$である．
(iii) ${\rm Set}$上の反変関手$X\mapsto{\mathcal P}(X)$は，二点集合$\{0,1\}$で表現される．実際，部分集合$S\subset X$はその特性関数$X\to\{0,1\}$と同じ情報であるから，${\rm Hom}_{{\rm Set}}(X,\{0,1\})\cong{\mathcal P}(X)$である．
(iv) $A$を環とする．忘却関手${\rm Mod}_A\to{\rm Set}$は，$A$加群$A$で表現される．実際，${\rm Hom}_A(A,M)\cong M$であり，準同型$f:A\to M$は$f(1)$で決まる．
反変関手$F:\mathcal{C}^{\rm op}\to{\rm Set}$が$A\in\mathcal{C}$で表現されているとする．すなわち，同型$\Phi:h_A\to F$があるとする．このとき，$\xi=\Phi_A({\rm id}_A)\in F(A)$は次の性質をもつ．
任意の$X\in\mathcal{C}$と任意の$x\in F(X)$に対して，ただ一つの射$f:X\to A$が存在して$x=F(f)(\xi)$となる．
$\Phi_X:{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,A)\to F(X)$は全単射なので，任意の$x\in F(X)$に対して，ある一意な射$f:X\to A$が存在して$\Phi_X(f)=x$となる．
一方，自然性より，射$f:X\to A$に対して$\Phi_X(f)=\Phi_X({\rm id}_A\circ f) = F(f)(\Phi_A({\rm id}_A))=F(f)(\xi)$である．したがって$x=F(f)(\xi)$である．一意性も$\Phi_X$が単射であることから従う．
次回のYonedaの補題では，$h_A={\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A)$から任意の反変関手$F$への自然変換全体${\rm Nat}(h_A,F)$が，$F(A)$の元と一対一に対応することを見る．
