体上の多項式環の素イデアルの高度と余高度の和は次元に等しい (松村可換環論 演習問題)

  $h=\mathrm{ht}P,c=\mathrm{coht}P$とすると$h+c\le n$が成り立つから, $n-c\le h$を示せばよい. $h$に関する帰納法. $h=0$のとき, $P=(0)$だから$c=n$, ゆえに$n-c=0=h$となる. $h>0$とし, $P=P_0⊋P_1⊋\cdots ⊋P_h$を素イデアルの真減少列とする. このとき, 明らかに$\mathrm{coht}{P}_1\ge c+1$である. $\mathrm{coht}{P}_1\le c+1$であることを示す. $r=\mathrm{tr}.{\mathrm{deg}}_{k}R/P,r_1=\mathrm{tr}.{\mathrm{deg}}_{k}R/P_1$とすれば, 補題により$r=c,r_1=\mathrm{coht}{P}_1$である. $r_1>r+1$であると仮定する. このとき, $X_1,\dots ,X_n$を適当に並べ替えて$P\cap (k[X_1,\dots ,X_r]\setminus \{0\})=P_1\cap (k[X_1,\dots ,X_{r_1}]\setminus \{0\})=\varnothing$であるとしてよい. $R/P=k[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n]\simeq k[X_1,\dots ,X_r,{\alpha }_{r+1},\dots ,{\alpha }_n]$ (${\alpha }_i=X_i+P$) とし, 準同型写像$k[X_1,\dots ,X_n]\to A=k[X_1,\dots ,X_{r+1},{\alpha }_{r+2},\dots ,{\alpha }_n],X_i\mapsto {\alpha }_i$ ($r+2\le i\le n$) の核を$I$とすれば, $A$は整域だから$I$は素イデアルであり, $\mathrm{tr}.{\mathrm{deg}}_{k}A=r+1$だから$P⊋I⊋P_1$である. よって長さ$h+1$の素イデアルの真減少列$P⊋I⊋P_1⊋\cdots ⊋P_h$ができるので, $h=h+1$となって矛盾. ゆえに$c+1\le \mathrm{coht}{P}_1\le c+1$だから, $\mathrm{coht}{P}_1=c+1$である. したがって, 帰納法の仮定により$n-\mathrm{coht}{P}_1=n-c-1\le h-1$となって, $n-c\le h$を得る.