現代数学解説

文献あり

e^π-π≒20の証明に出てくる級数を一般化してみた

ガウス積分,テータ関数,級数

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

前書き

お久しぶりです。（約1年半ぶり）もしくははじめまして。

$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(-\frac{64\pi^3}{15}n^6+16\pi^2n^4-2)=1$$

今回は、このような1に収束する$e^{-\pi n^2}$×$(n\mathrm{の偶数次多項式})$という形の級数を無限に生み出す公式ができたので、そのきっかけからご紹介していきたいと思います。

さて、$e^\pi$は、ゲルフォントの定数と呼ばれる定数であり、$23.14069...$という値をとるのですが、ゲルフォントの定数と円周率との差は、$19.99909997918947\cdots$となり、$20$に近いほとんど整数となります。

Wikipedia（英語版から出典を辿るとMathworld）によれば、証明は遅くとも1998年までになされていたそうですが、広く公表されたのは2023年のことであるようです。

The steps in this proof were used in lecture notes by N. Elkies no later than 1998 and discussed publicly by him no later than 2013. The proof was publicized more widely by A. Doman on Sep. 18, 2023 (communicated by D. Bamberger, Nov. 26, 2023). (1)

以下が、その証明となります (4) 。

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{8\pi n^2-2}{e^{\pi n^2}}=1$$
が収束が速い（第1項が支配的である）ことを用いる。
$$\frac{8\pi -2}{e^\pi}\approx1$$
ここで、さらに$\pi\approx\frac{22}{7}$という近似を用いることで、
$$e^\pi\approx8\pi-2=\pi+7\pi-2\approx\pi+20$$
が証明された。

ここで出てくるテータ関数に関連する級数に興味を持ち、この部分をいじって同様に整数に収束すれば、同じような証明ができるのではないかと考えました。なお文献の検索能力が低いため、この証明の元の文献は見つけられていませんが、私に思いつく程度のことなので、元の文献にも書かれているかもしれません。温かい目でご覧ください。

分子の次数が2の場合

ひとまず、先ほど出てきた級数が1に収束することを証明します。オイラー・マクローリンの和公式か、偶関数なのでポアソン和公式を使うことで証明できそうです。

$$E=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{e^{\pi n^2}}$$
$$f=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{e^{\pi n^2}}$$
$$g=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{e^{\pi n^2}}$$
とする。明らかに、$f=\frac{E-1}{2}$が成り立つ。
次に、ポアソン和公式より、
$$2g=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{n^2}{e^{\pi n^2}}=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi inx}x^2e^{-\pi x^2}dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi(x+in)^2-\pi n^2}x^2dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}(t-in)^2dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}(t^2-2int-n^2)dt$$
ガウス積分より、
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(\frac{1}{2\pi}-n^2)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{e^{\pi n^2}}-\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{n^2}{e^{\pi n^2}}=\frac{1}{2\pi}E-2g$$
$$g=\frac{1}{8\pi}E$$
したがって、
$$8\pi g-2f=1$$

分子の次数が3の場合

では、次数が奇数の3の場合はどうなるでしょうか。

$$E=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{e^{\pi n^2}}$$
$$f=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{e^{\pi n^2}}$$
とする。明らかに、$f=\frac{E-1}{2}$が成り立つ。
次に、ポアソン和公式より、
$$0=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{n^3}{e^{\pi n^2}}=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi inx}x^3e^{-\pi x^2}dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi(x+in)^2-\pi n^2}x^3dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}(t-in)^3dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}(t^3-3int^2-3n^2t+in^3)dt$$
ガウス積分より、tの奇数次項は0、定数項は1になり、2次の項は$\frac{1}{2\pi}$になるため、
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(-\frac{3in}{2\pi}-in^3)=0$$

薄々察していましたが、何も残りませんでした。

分子の次数が$2m+1$の場合も同様に右辺の各項が0になるので、一般化は分子の次数が$2m$の場合のみを考えればいいことがわかりました。それでは、一般化していきましょう。

分子の次数が2mの場合

一般化する前に、先程用いた記号を含めて先に定義しておきます。

◆定義

$$E=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{e^{\pi n^2}}$$
$$GS_m^1=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^m}{e^{\pi n^2}}$$
$$GS_m^{-\infty}=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{n^m}{e^{\pi n^2}}$$
とくに、
$$E=GS_0^{-\infty}$$
$$GS_{2m+1}^{-\infty}=0$$
$$GS_{2m}^{-\infty}=2GS_{2m}^1\space(m\geq1)$$
$$E=GS_{0}^{-\infty}=1+2GS_0^1$$
が成り立つ。

Eと置いたのは、ポアソン和公式を使っても変わらない（フーリエ変換しても中身が変わらない）ところが「単位」っぽいと思ったからです。GSはガウス関数の級数ということで頭文字を適当にとりました。

ちなみに、
$$E=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\qty(\frac{3}{4})}\approx1.0864...$$
となるようです。証明については、便利さんの記事テータ関数,イータ関数の特殊値を求めるに詳しく載っています。テータ関数と楕円積分面白い。

また、証明はWikipediaなどにあるので割愛しますが、以下のガウス積分の一般化を用います (5) 。

◆ガウス積分

$$\int_{-\infty}^\infty x^{2n}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{(2n-1)!!}{(2a)^n}$$

一般化したところ、次の関係式が得られました。

◆ガウス関数の級数の関係式

$m\in\mathbb{N}$について、
$$(1-(-1)^m)GS_{2m}^1=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=0}^{m-1}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}\right)$$
$$(1-(-1)^m)GS_{2m}^1=\left(\sum_{i=0}^{m-1}\left(GS_{2i}^{1}+\frac{0^i}{2}\right)(-1)^i{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}\right)$$

というより式変形

後先考えず添字に$i$を使ってしまったので、虚数単位には$j$を用います。
$$2GS_{2m}^1=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{n^{2m}}{e^{\pi n^2}}=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi jnx}x^{2m}e^{-\pi x^2}dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi(x+jn)^2-\pi n^2}x^{2m}dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}(t-jn)^{2m}dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}\sum_{i=0}^{2m}{}_{2m}\mathrm{C}_i t^{2m-i}(-jn)^{i}dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}\left(\sum_{i=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i} t^{2m-2i}(-jn)^{2i}+\sum_{i=0}^{m-1}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i+1} t^{2m-2i-1}(-jn)^{2i+1}\right)dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}\left(\sum_{i=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i} (t^2)^{m-i}(-n^2)^{i}-\sum_{i=0}^{m-1}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i+1} t^{2(m-i)-1}(-1)^ijn^{2i+1}\right)dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\sum_{i=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}(-n^2)^{i}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2} (t^2)^{m-i}dt-\sum_{i=0}^{m-1}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i+1}(-1)^ijn^{2i+1}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2} t^{2(m-i)-1}dt\right)$$
ガウス積分より、
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}\sum_{i=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}(-n^2)^{i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}$$
$$=\sum_{i=0}^{m}\sum_{n=-\infty}^\infty n^{2i}e^{-\pi n^2}(-1)^{i}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}$$
$$=\sum_{i=0}^{m}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^{i}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}$$
$$=\sum_{i=0}^{m-1}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^{i}{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}+GS_{2m}^{-\infty}(-1)^m$$
したがって、
$$(1-(-1)^m)GS_{2m}^1=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=0}^{m-1}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}\right)$$
また、使いやすいように右辺の$GS_{2i}^{-\infty}$を$GS_{2i}^1$に変換すると、定義より
$$(1-(-1)^m)GS_{2m}^1=\left(\sum_{i=0}^{m-1}\left(GS_{2i}^{1}+\frac{0^i}{2}\right)(-1)^i{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}\right)$$

面白そうな式ができました。

しかし、よくみると左辺は$m$が偶数のとき0になってしまいます。つまり、$m$が偶数のときは、$GS_{2m}^1$は適当な定数$k$を用いて$kE$と（簡単には）表せないようです。この式は、より次数の低い式を繰り返し用いるため、$m=2$を$E$を使って表せなかったことが後に影響し、$GS_{2m}^1$は$m=2$以降$kE$と（簡単には）表せなさそうです。

しかし、例えば$m=3$では、適当な定数$a,b,k$を用いて$aGS_6^1=bGS_4^1+kE$という式が得られるので、この式を用いれば、1に収束する級数を作ることができます。試しに作ってみましょう。

1に収束する級数を作るお楽しみタイム

まず、先程の式を使って$GS_{2m}^1$を$GS_{2(m-1)}^1,GS_{2(m-2)}^1,\cdots,GS_2^1,E$を使って表した式（または$GS_2^1$を消去したバージョン）を求めます。$m=3$の場合で試してみましょう。

◆$m=3$の関係式

$$GS_{6}^1=\frac{1}{4}\left(\frac{15}{8\pi^3}E-15\frac{3}{4\pi^2}GS_2^{-\infty}+15\frac{1}{2\pi}GS_4^{-\infty}\right)$$
$$=\frac{15}{32\pi^3}E-\frac{45}{8\pi^2}GS_2^1+\frac{15}{4\pi}GS_4^1$$
$$GS_6^1=\frac{1}{4}\left(\frac{15}{8\pi^3}E-\frac{45}{4\pi^2}2\frac{E}{8\pi}+\frac{15}{\pi}GS_4^1\right)$$
$$=-\frac{15}{64\pi^3}E+\frac{15}{4\pi}GS_4^1$$

次に、この式の右辺からGSを消去し、Eを消去するために$GS_0^1$に適当な定数をかけて加え、最後に右辺を1にするために適当な定数を両辺に乗じます。

◆$m=3$の級数

$$\frac{32\pi^3}{15}\left(GS_6^1-\frac{15}{4\pi}GS_4^1+\frac{45}{8\pi^2}GS_2^1-\frac{15}{16\pi^3}GS_0^1\right)=1$$
$$\frac{32\pi^3}{15}GS_6^1-8\pi^2GS_4^1+12\pi GS_2^1-2GS_0^1=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{32\pi^3}{15}n^6-8\pi^2n^4+12\pi n^2-2\right)=1$$
$$-\frac{64\pi^3}{15}\left(GS_6^1-\frac{15}{4\pi}GS_4^1+\frac{15}{32\pi^3}GS_0^1\right)=1$$
$$-\frac{64\pi^3}{15}GS_6^1+16\pi^2GS_4^1-2GS_0^1=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(-\frac{64\pi^3}{15}n^6+16\pi^2n^4-2)=1$$

できた！

WolframAlphaで試してみると、確かに成り立っています。ただし、分子の大きさ（第2項以降が大きくなってしまう）から察せる通り、収束は少し遅くなってしまい、$e^\pi$を近似しようとすると誤差が0.4ほどまで大きくなってしまいます。つまり、実用性はありません。眺めて楽しみましょう。

合ってた
誤差は大きい

$m=5$以降も同様に級数を作ることができるのですが、$m=1,3$の時の式を用いることでいくつかのパターンの級数が得られます。例えば$m=5$では、$GS_6^1$と$GS_4^1$をそのままにしたバージョン、$GS_6^1$を消去したバージョン、$GS_4^1$を消去したバージョン、それぞれ$GS_2^1$を消去するか否かの6パターンです。$m=5$の場合は、次のようになります。

◆$m=5$の関係式

$$GS_{10}^1=\frac{1}{4}\left(\frac{945}{32\pi^5}E-45\frac{105}{16\pi^4}GS_2^{-\infty}+210\frac{15}{8\pi^3}GS_4^{-\infty}-210\frac{3}{4\pi^2}GS_6^{-\infty}+45\frac{1}{2\pi}GS_8^{-\infty}\right)$$
$$=\frac{945}{128\pi^5}E-\frac{4725}{32\pi^4}GS_2^1+\frac{1575}{8\pi^3}GS_4^1-\frac{315}{4\pi^2}GS_6^1+\frac{45}{4\pi}GS_8^1$$
$$GS_{10}^1=\frac{1}{4}\left(\frac{945}{32\pi^5}E-45\frac{105}{16\pi^4}2\frac{E}{8\pi}+210\frac{15}{8\pi^3}GS_4^{-\infty}-210\frac{3}{4\pi^2}GS_6^{-\infty}+45\frac{1}{2\pi}GS_8^{-\infty}\right)$$
$$=-\frac{2835}{256\pi^5}E+\frac{1575}{8\pi^3}GS_4^1-\frac{315}{4\pi^2}GS_6^1+\frac{45}{4\pi}GS_8^1$$

◆$m=5$の級数

$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(\frac{128}{945}\pi^5 n^{10}-\frac{32}{21}\pi^4 n^8+\frac{32}{3}\pi^3n^6-\frac{80}{3}\pi^2 n^4+20\pi n^2-2)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(\frac{256}{6615}\pi^5 n^{10}-\frac{64}{147}\pi^4 n^8+\frac{80}{21}\pi^2 n^4+\frac{40}{7}\pi n^2-2)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(\frac{16}{315}\pi^5 n^{10}-\frac{4}{7}\pi^4 n^8+\frac{4}{3}\pi^3n^6+\frac{30}{4}\pi n^2-2)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(-\frac{256}{2835}\pi^5 n^{10}+\frac{64}{63}\pi^4 n^8-\frac{64}{9}\pi^3 n^6+\frac{160}{9}\pi^2 n^4-2)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(\frac{128}{945}\pi^5 n^{10}-\frac{32}{21}\pi^4 n^8+\frac{40}{3}\pi^2 n^4-2)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(\frac{256}{315}\pi^5 n^{10}-\frac{64}{7}\pi^4 n^8+\frac{64}{3}\pi^3 n^6-2)=1$$

煩雑な式と1のコントラストが綺麗ですね。

$m=2k-1$の場合の級数

手計算で求めるのが面倒になってきたので、級数を求める手順を一般化してみたいと思います。先程の級数の関係式のうち、$m=2k-1$のものと$m=2k$のものは同じなので、$m=2k-1$の場合のみを考えればよさそうです。

◆ガウス関数の級数の関係式

$k\in\mathbb{N}$について、
$$GS_{4k-2}^1=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=0}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}\right)$$

ここから、$i=0,1$の項をEで表し、右辺からGSを消去、$GS_0^1$を加えてEを消去、定数を乗じて右辺を1にすると、次の級数の一般式が得られました。

◆ガウス関数の級数の一般式

$k\in\mathbb{N}$について、
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{4(2\pi)^{2k-1}}{(4k-3)!!}\left(n^{4k-2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2k-2}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}n^{2i}\right)-2\right)=1$$
$k-1\in\mathbb{N}$について、
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{8(2\pi)^{2k-1}}{(4k-5)!!(8k-6-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2)}\left(n^{4k-2}-\frac{1}{2}\sum_{i=2}^{2k-2}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}n^{2i}\right)-2\right)=1$$

というより式変形

$$GS_{4k-2}^1=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=0}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}\right)$$
①$GS_2^{-\infty}$をそのまま消去した場合
$$GS_{4k-2}^1=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}+\frac{(4k-3)!!}{(2\pi)^{2k-1}}GS_0^{-\infty}\right)$$
$$=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}+\frac{(4k-3)!!}{(2\pi)^{2k-1}}E\right)$$
$$GS_{4k-2}^1-\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}-\frac{(4k-3)!!}{2(2\pi)^{2k-1}}GS_0^1=\frac{(4k-3)!!}{4(2\pi)^{2k-1}}$$
$$\frac{4(2\pi)^{2k-1}}{(4k-3)!!}\left(GS_{4k-2}^1-\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}\right)-2GS_0^1=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{4(2\pi)^{2k-1}}{(4k-3)!!}\left(n^{4k-2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2k-2}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}n^{2i}\right)-2\right)=1$$
②$GS_2^{-\infty}$を$E$の式に置き換えた場合
$$GS_{4k-2}^1=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=2}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2\frac{(4k-5)!!}{(2\pi)^{2k-2}}GS_2^{-\infty}+\frac{(4k-3)!!}{(2\pi)^{2k-1}}GS_0^{-\infty}\right)$$
$$=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=2}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}+\frac{(4k-5)!!}{(2\pi)^{2k-2}}E\left(\frac{4k-3}{2\pi}-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2\frac{1}{4\pi}\right)\right)$$
$$GS_{4k-2}^1-\frac{1}{4}\sum_{i=2}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}-\frac{1}{2}\frac{(4k-5)!!}{(2\pi)^{2k-2}}\left(\frac{4k-3}{2\pi}-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2\frac{1}{4\pi}\right)GS_0^1=\frac{1}{4}\frac{(4k-5)!!}{(2\pi)^{2k-2}}\left(\frac{4k-3}{2\pi}-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2\frac{1}{4\pi}\right)$$
$$\frac{8(2\pi)^{2k-1}}{(4k-5)!!(8k-6-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2)}\left(GS_{4k-2}^1-\frac{1}{4}\sum_{i=2}^{2k-2}GS_{2i}^{-\infty}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}\right)-2GS_0^1=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{8(2\pi)^{2k-1}}{(4k-5)!!(8k-6-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2)}\left(n^{4k-2}-\frac{1}{2}\sum_{i=2}^{2k-2}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}n^{2i}\right)-2\right)=1$$

いかつい式ですが、これが1に収束するのはやはり綺麗で面白いですね。

ちなみに、ここでは$GS_2$をそのまま消去するパターン（$n^2$の項が残るパターン）と、$GS_2$を$E$の式で表すパターン（$n^2$の項が残らないパターン）を一般化しましたが、消去する組み合わせはkが大きくなるにつれて増えていきます。（k=2では2通り、k=3では6通り）その全部を一般化して表すのは不可能なので、ここではk=2以降に使える2パターンを一般化してみました。

以下、入力が面倒だったのでスクリーンショットで見づらいですが、この式を使って計算した多項式部分となります。

!FORMULA[145][36494569][0]から!FORMULA[146][36368][0]までの多項式部分（!FORMULA[147][36615686][0]を含む） $k=1$から$8$までの多項式部分（$n^2$を含む）
!FORMULA[148][36494600][0]から!FORMULA[149][36368][0]までの多項式部分（!FORMULA[150][36615686][0]を含まない） $k=2$から$8$までの多項式部分（$n^2$を含まない）