Rogers-Ramanujan型の等式その1, Heineの和公式

ここでは, Heineの和公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}} \end{align}
を用いて色々なRogers-Ramanujan型の級数の等式を示す.

まず, Heineの和公式において, $b\mapsto \infty$とすると以下を得る.

まず定理1において, $a=q, c=q^{\frac 32}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2}}{(q^{\frac 32};q)_n}&=\frac{(q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(q^{\frac 32};q)_{\infty}}=1-q^{\frac 12} \end{align}
となる. 両辺に$1-q^\frac 12$を掛けて$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2}}{(q;q^2)_{n+1}}&=1 \end{align}

次に, 定理1において, $a=q,c=-q$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2-n}2}}{(-q;q)_n}&=\frac{(-1;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}=2 \end{align}
を得る.

を得る. 次に, 定理1において, $a=q^{\frac 12},c=q$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2}(q^{\frac 12};q)_n}{(q;q)_n^2}&=\frac{(q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}

を得る. $q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2}(q;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n^2}&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る. 次に, 定理1において, $a=q^{\frac 12},c=-q$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2}2}(q^{\frac 12};q)_n}{(q^2;q^2)_n}&=\frac{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. $q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}(q;q^2)_n}{(q^4;q^4)_n}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(-q^2;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る. 次に, 定理1において, $a=-q^{\frac 12},c=q$とすると,

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2}2}(-q^{\frac 12};q)_n}{(q;q)_n^2}&=\frac{(-q^\frac 12;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}

$q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}(-q;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n^2}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}} \end{align}

を得る. 次に, 定理1において, $a=-q^{\frac 12},c=-q$とすると,

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2}(-q^{\frac 12};q)_n}{(q^2;q^2)_n}&=\frac{(q^\frac 12;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}} \end{align}

$q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2}(-q;q^2)_n}{(q^4;q^4)_n}&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(-q^2;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る.

次に, 定理1において, $a=q^{\frac 12},c=-q^{\frac 12}$とすると,

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2-n}2}(q^{\frac 12};q)_n}{(-q^{\frac 12},q;q)_n}&=\frac{(-1;q)_{\infty}}{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}=\frac{2(-q;q)_{\infty}}{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}} \end{align}
$q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2-n}(q;q^2)_n}{(-q,q^2;q^2)_n}&=\frac{2(-q^2;q^2)_{\infty}}{(-q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る. また, 定理1において, $a=q^{\frac 12},c=-q^\frac 32$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2+n}2}(q^{\frac 12};q)_n}{(-q^{\frac32},q;q)_n}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(-q^{\frac 32};q)_{\infty}} \end{align}
両辺を$1+q^{\frac 12}$で割って$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+n}(q;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n(-q;q^2)_{n+1}}&=\frac{(-q^2;q^2)_{\infty}}{(-q;q^2)_{\infty}} \end{align}

次に定理1において, $a=-1,c=q$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2+n}2}(-1;q)_n}{(q;q)_n^2}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. 次に定理1において, $a=-q,c=q$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2-n}2}(-q;q)_n}{(q;q)_n^2}&=\frac{(-1;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}=\frac{2(-q;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}
を得る.

次に定理1において,　$a=-1,c=q^{\frac 12}$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2}2}(-1;q)_n}{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}&=\frac{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(q^{\frac 12};q)_{\infty}} \end{align}
$q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}(-1;q^2)_n}{(q;q)_{2n}}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る. 次に定理1において, $a=-q,c=q^{\frac 32}$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2}2}(-q;q)_n}{(q^{\frac 32},q;q)_{n}}&=\frac{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}{(q^{\frac 32};q)_{\infty}} \end{align}
両辺を$1-q^{\frac 12}$で割って, $q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}(-q^2;q^2)_n}{(q;q)_{2n+1}}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る.

次に定理1において, $a=-q^{\frac 12},c=q^{\frac 12}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2-n}2}(-q^{\frac 12};q)_n}{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}&=\frac{(-1;q)_{\infty}}{(q^{\frac 12};q)_{\infty}}=\frac{2(-q;q)_{\infty}}{(q^{\frac 12};q)_{\infty}} \end{align}
$q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2-n}(-q;q^2)_n}{(q;q)_{2n}}&=\frac{2(-q^2;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る. 次に定理1において, $a=-q^{\frac 12},c=q^{\frac 32}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{\frac{n^2+n}2}(-q^{\frac 12};q)_n}{(q^{\frac 32},q;q)_n}&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(q^{\frac 32};q)_{\infty}} \end{align}
両辺を$1-q^{\frac 12}$で割って, $q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{\leq n}\frac{q^{n^2+n}(-q;q^2)_n}{(q;q)_{2n+1}}&=\frac{(-q^2;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る.

次に定理1において, $a=q^{\frac 12},c=q^{\frac 32}$とすると,
\begin{align} (1-q^{\frac 12})\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2+n}2}}{(1-q^{n+\frac 12})(q;q)_n}&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{\frac 32};q)_{\infty}} \end{align}
両辺を$1-q^{\frac 12}$で割って$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2+n}}{(1-q^{2n+1})(q^2;q^2)_n}&=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}} \end{align}

次に定理1において, $a=-q^{\frac 12},c=-q^{\frac 32}$とすると,
\begin{align} (1+q^{\frac 12})\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2+n}2}}{(1+q^{n+\frac 12})(q;q)_n}&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q^{\frac 32};q)_{\infty}} \end{align}
両辺を$1+q^{\frac 12}$で割って$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2+n}}{(1+q^{2n+1})(q^2;q^2)_n}&=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}}{(-q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る.