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Rogers-Ramanujan型の等式その1, Heineの和公式の系

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ここでは, Heineの和公式
0n(a,b;q)n(c,q;q)n(cab)n=(c/a,c/b;q)(c,c/ab;q)
を用いて色々なRogers-Ramanujan型の級数の等式を示す.

まず, Heineの和公式において, bとすると以下を得る.

以下の等式が成り立つ.
0n(1)nqn2n2(a;q)n(c,q;q)n(ca)n=(c/a;q)(c;q)

まず定理1において, a=q,c=q32とすると,
0n(1)nqn22(q32;q)n=(q12;q)(q32;q)=1q12
となる. 両辺に1q12を掛けてqq2とすると,
0n(1)nqn2(q;q2)n+1=1

次に, 定理1において, a=q,c=qとすると,
0nqn2n2(q;q)n=(1;q)(q;q)=2
を得る.

0n(1)nqn2(q;q2)n+1=10nqn2n2(q;q)n=2

を得る. 次に, 定理1において, a=q12,c=qとすると,
0n(1)nqn22(q12;q)n(q;q)n2=(q12;q)(q;q)

を得る. qq2として,
0n(1)nqn2(q;q2)n(q2;q2)n2=(q;q2)(q2;q2)
を得る. 次に, 定理1において, a=q12,c=qとすると,
0nqn22(q12;q)n(q2;q2)n=(q12;q)(q;q)
を得る. qq2として,
0nqn2(q;q2)n(q4;q4)n=(q;q2)(q2;q2)
を得る. 次に, 定理1において, a=q12,c=qとすると,

0nqn22(q12;q)n(q;q)n2=(q12;q)(q;q)

qq2として,
0nqn2(q;q2)n(q2;q2)n2=(q;q2)(q2;q2)

を得る. 次に, 定理1において, a=q12,c=qとすると,

0n(1)nqn22(q12;q)n(q2;q2)n=(q12;q)(q;q)

qq2として,
0n(1)nqn2(q;q2)n(q4;q4)n=(q;q2)(q2;q2)
を得る.

0n(1)nqn2(q;q2)n(q2;q2)n2=(q;q2)(q2;q2)0nqn2(q;q2)n(q4;q4)n=(q;q2)(q2;q2)0nqn2(q;q2)n(q2;q2)n2=(q;q2)(q2;q2)0n(1)nqn2(q;q2)n(q4;q4)n=(q;q2)(q2;q2)

次に, 定理1において, a=q12,c=q12とすると,

0nqn2n2(q12;q)n(q12,q;q)n=(1;q)(q12;q)=2(q;q)(q12;q)
qq2として,
0nqn2n(q;q2)n(q,q2;q2)n=2(q2;q2)(q;q2)
を得る. また, 定理1において, a=q12,c=q32とすると,
0nqn2+n2(q12;q)n(q32,q;q)n=(q;q)(q32;q)
両辺を1+q12で割ってqq2とすると,
0nqn2+n(q;q2)n(q2;q2)n(q;q2)n+1=(q2;q2)(q;q2)

0nqn2n(q;q2)n(q,q2;q2)n=2(q2;q2)(q;q2)0nqn2+n(q;q2)n(q2;q2)n(q;q2)n+1=(q2;q2)(q;q2)

次に定理1において, a=1,c=qとして,
0nqn2+n2(1;q)n(q;q)n2=(q;q)(q;q)
を得る. 次に定理1において, a=q,c=qとして,
0nqn2n2(q;q)n(q;q)n2=(1;q)(q;q)=2(q;q)(q;q)
を得る.

0nqn2+n2(1;q)n(q;q)n2=(q;q)(q;q)0nqn2n2(q;q)n(q;q)n2=2(q;q)(q;q)

次に定理1において, a=1,c=q12として,
0nqn22(1;q)n(q12;q12)2n=(q12;q)(q12;q)
qq2として,
0nqn2(1;q2)n(q;q)2n=(q;q2)(q;q2)
を得る. 次に定理1において, a=q,c=q32として,
0nqn22(q;q)n(q32,q;q)n=(q12;q)(q32;q)
両辺を1q12で割って, qq2として,
0nqn2(q2;q2)n(q;q)2n+1=(q;q2)(q;q2)
を得る.

0nqn2(1;q2)n(q;q)2n=(q;q2)(q;q2)0nqn2(q2;q2)n(q;q)2n+1=(q;q2)(q;q2)とすると

次に定理1において, a=q12,c=q12とすると,
0nqn2n2(q12;q)n(q12;q12)2n=(1;q)(q12;q)=2(q;q)(q12;q)
qq2として,
0nqn2n(q;q2)n(q;q)2n=2(q2;q2)(q;q2)
を得る. 次に定理1において, a=q12,c=q32とすると,
0nqn2+n2(q12;q)n(q32,q;q)n=(q;q)(q32;q)
両辺を1q12で割って, qq2として,
nqn2+n(q;q2)n(q;q)2n+1=(q2;q2)(q;q2)
を得る.

0nqn2n(q;q2)n(q;q)2n=2(q2;q2)(q;q2)0nqn2+n(q;q2)n(q;q)2n+1=(q2;q2)(q;q2)

次に定理1において, a=q12,c=q32とすると,
(1q12)0n(1)nqn2+n2(1qn+12)(q;q)n=(q;q)(q32;q)
両辺を1q12で割ってqq2とすると,
0n(1)nqn2+n(1q2n+1)(q2;q2)n=(q2;q2)(q;q2)

次に定理1において, a=q12,c=q32とすると,
(1+q12)0n(1)nqn2+n2(1+qn+12)(q;q)n=(q;q)(q32;q)
両辺を1+q12で割ってqq2とすると,
0n(1)nqn2+n(1+q2n+1)(q2;q2)n=(q2;q2)(q;q2)
を得る.

0n(1)nqn2+n(1q2n+1)(q2;q2)n=(q2;q2)(q;q2)0n(1)nqn2+n(1+q2n+1)(q2;q2)n=(q2;q2)(q;q2)

投稿日:2024年7月2日
更新日:29日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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