Rogers-Ramanujan型の等式その1, Heineの和公式の系

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ここでは, Heineの和公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} {(\frac{c}{a b})}^{n} & = \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を用いて色々なRogers-Ramanujan型の級数の等式を示す.

まず, Heineの和公式において, $b \mapsto \infty$ とすると以下を得る.

以下の等式が成り立つ.
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2} - n}{2}} (a; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} {(\frac{c}{a})}^{n} & = \frac{(c / a; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \end{aligned}$

まず定理1において, $a = q, c = q^{\frac{3}{2}}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2}}}{(q^{\frac{3}{2}}; q)_{n}} & = \frac{(q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}}{(q^{\frac{3}{2}}; q)_{\infty}} = 1 - q^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$
となる. 両辺に $1 - q^{\frac{1}{2}}$ を掛けて $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2}}}{(q; q^{2})_{n + 1}} & = 1 \end{aligned}$

次に, 定理1において, $a = q, c = - q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} - n}{2}}}{(- q; q)_{n}} & = \frac{(- 1; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} = 2 \end{aligned}$
を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2}}}{(q; q^{2})_{n + 1}} & = 1 \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} - n}{2}}}{(- q; q)_{n}} & = 2 \end{aligned}$

を得る. 次に, 定理1において, $a = q^{\frac{1}{2}}, c = q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2}} (q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(q; q)_{n}^{2}} & = \frac{(q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

を得る. $q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2}} (q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}^{2}} & = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 次に, 定理1において, $a = q^{\frac{1}{2}}, c = - q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2}}{2}} (q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. $q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (q; q^{2})_{n}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 次に, 定理1において, $a = - q^{\frac{1}{2}}, c = q$ とすると,

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2}}{2}} (- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(q; q)_{n}^{2}} & = \frac{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

$q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}^{2}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

を得る. 次に, 定理1において, $a = - q^{\frac{1}{2}}, c = - q$ とすると,

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2}} (- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

$q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2}} (q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}^{2}} & = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (q; q^{2})_{n}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}^{2}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

次に, 定理1において, $a = q^{\frac{1}{2}}, c = - q^{\frac{1}{2}}$ とすると,

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} - n}{2}} (q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(- q^{\frac{1}{2}}, q; q)_{n}} & = \frac{(- 1; q)_{\infty}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}} = \frac{2 (- q; q)_{\infty}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
$q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} - n} (q; q^{2})_{n}}{(- q, q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{2 (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. また, 定理1において, $a = q^{\frac{1}{2}}, c = - q^{\frac{3}{2}}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} + n}{2}} (q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(- q^{\frac{3}{2}}, q; q)_{n}} & = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(- q^{\frac{3}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
両辺を $1 + q^{\frac{1}{2}}$ で割って $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + n} (q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} - n} (q; q^{2})_{n}}{(- q, q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{2 (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + n} (q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

次に定理1において, $a = - 1, c = q$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} + n}{2}} (- 1; q)_{n}}{(q; q)_{n}^{2}} & = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 次に定理1において, $a = - q, c = q$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} - n}{2}} (- q; q)_{n}}{(q; q)_{n}^{2}} & = \frac{(- 1; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} = \frac{2 (- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} + n}{2}} (- 1; q)_{n}}{(q; q)_{n}^{2}} & = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} - n}{2}} (- q; q)_{n}}{(q; q)_{n}^{2}} & = \frac{2 (- q; q)_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

次に定理1において,　 $a = - 1, c = q^{\frac{1}{2}}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2}}{2}} (- 1; q)_{n}}{(q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n}} & = \frac{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}}{(q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
$q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- 1; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 次に定理1において, $a = - q, c = q^{\frac{3}{2}}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2}}{2}} (- q; q)_{n}}{(q^{\frac{3}{2}}, q; q)_{n}} & = \frac{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}}{(q^{\frac{3}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
両辺を $1 - q^{\frac{1}{2}}$ で割って, $q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q^{2}; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- 1; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q^{2}; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$ とすると

次に定理1において, $a = - q^{\frac{1}{2}}, c = q^{\frac{1}{2}}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} - n}{2}} (- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n}} & = \frac{(- 1; q)_{\infty}}{(q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}} = \frac{2 (- q; q)_{\infty}}{(q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
$q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} - n} (- q; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{2 (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 次に定理1において, $a = - q^{\frac{1}{2}}, c = q^{\frac{3}{2}}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{\frac{n^{2} + n}{2}} (- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n}}{(q^{\frac{3}{2}}, q; q)_{n}} & = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q^{\frac{3}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
両辺を $1 - q^{\frac{1}{2}}$ で割って, $q \mapsto q^{2}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{\leq n} \frac{q^{n^{2} + n} (- q; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} - n} (- q; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{2 (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + n} (- q; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

次に定理1において, $a = q^{\frac{1}{2}}, c = q^{\frac{3}{2}}$ とすると,
$\begin{aligned} (1 - q^{\frac{1}{2}}) \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2} + n}{2}}}{(1 - q^{n + \frac{1}{2}}) (q; q)_{n}} & = \frac{(q; q)_{\infty}}{(q^{\frac{3}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
両辺を $1 - q^{\frac{1}{2}}$ で割って $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2} + n}}{(1 - q^{2 n + 1}) (q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

次に定理1において, $a = - q^{\frac{1}{2}}, c = - q^{\frac{3}{2}}$ とすると,
$\begin{aligned} (1 + q^{\frac{1}{2}}) \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2} + n}{2}}}{(1 + q^{n + \frac{1}{2}}) (q; q)_{n}} & = \frac{(q; q)_{\infty}}{(- q^{\frac{3}{2}}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
両辺を $1 + q^{\frac{1}{2}}$ で割って $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2} + n}}{(1 + q^{2 n + 1}) (q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2} + n}}{(1 - q^{2 n + 1}) (q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2} + n}}{(1 + q^{2 n + 1}) (q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

投稿日：2024年7月2日

更新日：3月6日

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Wataru

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