４５秒でランダウの記号を理解する

45秒で何ができる？

ランダウの記号を理解する

ランダウの記号は収束・発散の速さの違いを記述するときに使います。
下に嘘を書いてます。ですが雰囲気ではこういうことです。

（"おおよそ同じ"という表現はとても雑です。）
次は本物です。

数Ⅲで散々やったこと

ビッグオーはその関数の値は何とほぼ同じになるかを教えます。

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^3+2x-1}{x^3+5x} = 2 $$
これを求めるときに、$x^3$の係数だけ見れば良いっていうやつ。
それはなぜか、$2x^3+2x-1$も$x^3+5x$も$x \rightarrow \infty$においての支配者は最高次３次の項だからです。それを以下のように書きます。
$$ 2x^3+2x-1=O(x^3), \space\space x^3+5x=O(x^3)\space\space(x \rightarrow \infty)$$
もちろんこう書いてもいいです。（実用的ではないですが）
$$ 2x^3+2x-1=O(x^3+5x)\space\space(x \rightarrow \infty)$$
超大きい$x$では()の中の関数とオーダー（桁）が同じってことを言ってるよ～
（OrderのOっていう説もあったりなかったり）

スモールオーはその関数より"強い"関数を教えます。

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n^2} = \infty　\space\space or \space\space \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0$$
（二項定理で$2^n=(1+1)^n$を展開して示すやつ）
これは$2^n$の方が$n^2$より早く発散して"強い"ことを示します。それを以下のように書きます。
$$ n^2=o(2^n)\space\space(n \rightarrow \infty) $$
超大きい$n$では()の中の関数に比べたら無視していいってことを言ってるよ～

例

$$ x^2+2x+3=O(x^2)\space\space(x \rightarrow \infty) $$
：$x$がめちゃ大きいとき、$x^2+2x+3$は$x^2$とオーダー同じ。
$x=10000$で、$x^2+2x+3=100020003,\space x^2=100000000$
$$ \sin x = O(x)\space\space(x \rightarrow 0) $$
：$x$がほぼ$0$のとき、$\sin x$は$x$とオーダー同じ。
$x=0.01$で、$\sin(0.01)=0.00999983\cdots≈0.01=x$
$$\log x=o\left( \frac{1}{x} \right) \space\space(x \rightarrow +0)$$
：$x$がほぼ$+0$のとき、$\log x$は$\frac{1}{x}$に比べたら無いようなもの。
$x=0.0001$で、$\log x=-9.21\cdots,\space\space \frac{1}{x}=100000$

ご注意

わかりやすさ重視で嘘も書いてるし、厳密な理解をしたい人は当然時間をかけて教科書等を当たってね