大学数学基礎解説

４５秒でランダウの記号を理解する

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45秒で何ができる？

ランダウの記号を理解する

ランダウの記号は収束・発散の速さの違いを記述するときに使います。
下に嘘を書いてます。ですが雰囲気ではこういうことです。

O（ビッグオー）(雰囲気)

$f (x) = O (g (x)) (x \to a) ⟺ lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} が（ある値に）収束する$
（ $x \to a$ で $f (x)$ と $g (x)$ のおおよそ同じだよ～）

（"おおよそ同じ"という表現はとても雑です。）
次は本物です。

o（スモールオー）

$f (x) = o (g (x)) (x \to a) ⟺ lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$
（ $x \to a$ で $f (x)$ が $g (x)$ に比べてすごく小さいよ～）

数Ⅲで散々やったこと

ビッグオーはその関数の値は何とほぼ同じになるかを教えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3} + 2 x - 1}{x^{3} + 5 x} = 2$
これを求めるときに、 $x^{3}$ の係数だけ見れば良いっていうやつ。
それはなぜか、 $2 x^{3} + 2 x - 1$ も $x^{3} + 5 x$ も $x \to \infty$ においての支配者は最高次３次の項だからです。それを以下のように書きます。
$2 x^{3} + 2 x - 1 = O (x^{3}), x^{3} + 5 x = O (x^{3}) (x \to \infty)$
もちろんこう書いてもいいです。（実用的ではないですが）
$2 x^{3} + 2 x - 1 = O (x^{3} + 5 x) (x \to \infty)$
超大きい $x$ では()の中の関数とオーダー（桁）が同じってことを言ってるよ～
（OrderのOっていう説もあったりなかったり）

スモールオーはその関数より"強い"関数を教えます。

$lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n^{2}} = \infty o r lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} = 0$
（二項定理で $2^{n} = (1 + 1)^{n}$ を展開して示すやつ）
これは $2^{n}$ の方が $n^{2}$ より早く発散して"強い"ことを示します。それを以下のように書きます。
$n^{2} = o (2^{n}) (n \to \infty)$
超大きい $n$ では()の中の関数に比べたら無視していいってことを言ってるよ～

例

$x^{2} + 2 x + 3 = O (x^{2}) (x \to \infty)$
： $x$ がめちゃ大きいとき、 $x^{2} + 2 x + 3$ は $x^{2}$ とオーダー同じ。
$x = 10000$ で、 $x^{2} + 2 x + 3 = 100020003, x^{2} = 100000000$
$\sin x = O (x) (x \to 0)$
： $x$ がほぼ $0$ のとき、 $\sin x$ は $x$ とオーダー同じ。
$x = 0.01$ で、 $\sin (0.01) = 0.00999983 \dots \approx 0.01 = x$
$\log x = o (\frac{1}{x}) (x \to + 0)$
： $x$ がほぼ $+ 0$ のとき、 $\log x$ は $\frac{1}{x}$ に比べたら無いようなもの。
$x = 0.0001$ で、 $\log x = - 9.21 \dots, \frac{1}{x} = 100000$