一般化simasima special（主張と証明編）

$$ X^n \cdot Q_n(g) = (A_1 + \dots + A_r + B)^{n} \cdot Q_n(g) $$
であるので $(A_1 + \dots + A_r + B)^{n}$ を展開した各項を $E$ とすると
$$ |X^n \cdot Q_n(g)| = \sum_{E} |E \cdot Q_n(g)| $$
である。$E$ に現れる $A_i$ の個数が $a_i$、$B$ の個数が $b$ であるとき、$n=a_1 + \dots + a_r + b$ であり、このような $E$ の個数は $\displaystyle \frac{n!}{a_1! \cdots a_r!b!}$ 個ある。
$\sigma:X^n \to X^n$ を任意の成分の並び替えとすると、任意の $x\in Q_n(g)$ に対して $\sigma(x) \in Q_n(g)$ である。よって
$$ |E\cdot Q_n(g)| = |(A_1^{a_1} \times \dots \times A_{r}^{a_r} \times B^b) \cdot Q_n(g)| $$
である。よって、$E$ の直積の順番を入れ替えても値が変わらないので
$$ \sum_{E} |E \cdot Q_n(g)| = \sum_{a_1 + \dots + a_r + b = n} \frac{n!}{a_1! \cdots a_r!b!} \, |(A_1^{a_1} \times \dots \times A_{r}^{a_r} \times B^b)\cdot Q_n(g)| $$
である。よって
$$ E = A_1^{a_1} \times \dots \times A_{r}^{a_r} \times B^b $$
に対して
$$ |E \cdot Q_n(g)| = |B^b \cdot Q_{a_1, \ldots , a_r, b}(g)| \prod_{i\, ; \, a_i > 0} \frac{|A_i|^{a_i}}{|H_{i}|} $$
を示せば十分。$r = 0$ のときは自明に成り立つ。
$r-1$ までで成立しているなら $r$ のときも成立することを示す。
$a_1, \ldots, a_r$ のうち$0$であるものが存在するなら $r-1$ までの場合に帰着されるので成立。よって以下では $a_1, \ldots, a_r > 0$ のときを示す。
$$ |E \cdot Q_n(g)| = \sum f_B(y_1) \cdots f_B(y_b) \prod_{i = 1}^r f_{A_i}(x_1^{(i)}) \cdots f_{A_i}(x_{a_i}^{(i)}) $$
となる。ただし $\sum$ は $x_j^{(i)} \in A_i \, (1\leq i \leq r, \, 1 \leq j \leq a_i)$, $y_k \in B \, (1 \leq k \leq b)$ で
$$ \sum_{i, j} \phi(x_j^{(i)}) + \sum_{k} \phi(y_k) = g $$
となるものを走る。
この条件式を満たすとき、特に
$$ \sum_{k} \phi(y_k) \in g + \sum_{i = 1}^r H_i $$
である。また $h_i \in H_i$ で
$$ \frac{|A_i|}{|H_i|} = d = |\phi|_{A_i}^{-1}(h_i)| = \sum_{\phi(x) = h_i} f_{A_i}(x) $$
である。よって $h \in H_i$ に対して
\begin{align*} \sum_{\sum_j \phi(x_{j}^{(i)}) = h} f_{A_i}(x_{1}^{(i)})\dots f_{A_i}(x_{a_i}^{(i)}) &= \sum_{x_2^{(i)}, \ldots, x_{a_i}^{(i)} \in A_i} f_{A_i}(x_2^{(i)}) \cdots f_{A_i}(x_{a_i}^{(i)}) \sum_{\phi(x_1^{(i)}) = h - \phi(x_2^{(i)}) - \cdots - \phi(x_{a_i}^{(i)})} f_{A_i}(x_1^{(i)}) \\ &= |A_i|^{a_i - 1} \cdot \frac{|A_i|}{|H_i|} = \frac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} \end{align*}
が成立する。以上から
\begin{align*} \sum f_B(y_1) \cdots f_B(y_b) \prod_{i = 1}^r f_{A_i}(x_1^{(i)}) \cdots f_{A_i}(x_{a_i}^{(i)}) &= \sum_k \sum_{h_k\in H_k} \ \sum_{\sum_{j}\phi(y_{j})= g + \sum_i h_i} f_B(y_1) \cdots f_B(y_b) \prod_{i = 1}^r \sum_{\sum_j \phi(x_{j}^{(i)}) = -h_i } f_{A_i}(x_{1}^{(i)})\dots f_{A_i}(x_{a_i}^{(i)}) \\ &= \sum_k \sum_{h_k\in H_k} \ \sum_{\sum_{j}\phi(y_{j})=g + \sum_i h_i} f_B(y_1) \cdots f_B(y_b) \prod_{i = 1}^r \dfrac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|}\\ &=\sum_{\sum_{j}\phi(y_{j})\in g + \sum_i H_i} f_B(y_1) \cdots f_B(y_b) \prod_{i = 1}^r \dfrac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} \\ &= |B^b\cdot Q_{a_1, \ldots, a_r, b}(g)|\cdot \prod_{i = 1}^r \dfrac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} \end{align*}
となり、定理は示される。

$\mathcal{S}$ がgoodであるとき $(a_1, \ldots, a_r, b) \neq (0, \ldots, 0, n)$ ならば
$$ B^b \cdot Q_{a_1, \ldots, a_r, b}(0_G) = B^b $$
であり、さらに $\phi(\mathrm{supp} B) = \{ 0_G \}$ であれば $B^n \cdot Q_n(0_G) = B^n$ となることに注意すると定理1から
$$ \sum_{a_1 + \cdots + a_r + b = n} \frac{n!}{a_1! \cdots a_r!b!} \, |B|^b \prod_{i\, ; \, a_i > 0} \frac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} = \prod_{i} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ |B|^n + \sum_{i} \frac{|A_i + B|^n}{|H_i| - 1} + \sum_{i < j} \frac{|A_i + A_j + B|^n}{(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} $$
を示せば十分であることがわかる。
$r = 0$ のとき自明に成立する。$r$ のとき成立すると仮定して $r + 1$ のとき成立することを示す。
\begin{align*} &\sum_{a_1 + \cdots + a_{r + 1} + b = n} \frac{n!}{a_1! \cdots a_{r + 1}!b!} \, |B|^b \prod_{i\, ; \, a_i > 0} \frac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} \\ &= \sum_{a_1 + \cdots + a_r + b = n} \frac{n!}{a_1! \cdots a_r!b!} \, |B|^b \prod_{i\, ; \, a_i > 0} \frac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} + \sum_{a_{r + 1} = 1}^{n} \binom{n}{a_{r + 1}}\frac{|A_{r + 1}|^{a_{r + 1}}}{|H_{r + 1}|} \sum_{a_1 + \cdots + a_r + b = n - a_{r + 1}} \frac{(n - a_{r + 1})!}{a_1! \cdots a_r!b!} \, |B|^b \prod_{i\, ; \, a_i > 0} \frac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} \\ &= \prod_{i \leq r} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ |B|^n + \sum_{i \leq r} \frac{|A_i + B|^n}{|H_i| - 1} + \sum_{i < j \leq r} \frac{|A_i + A_j + B|^n}{(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} \\ &\quad + \sum_{a_{r + 1} = 1}^{n} \binom{n}{a_{r + 1}}\frac{|A_{r + 1}|^{a_{r + 1}}}{|H_{r + 1}|} \prod_{i \leq r} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ |B|^{n - a_{r + 1}} + \sum_{i \leq r} \frac{|A_i + B|^{n - a_{r + 1}}}{|H_i| - 1} + \sum_{i < j \leq r} \frac{|A_i + A_j + B|^{n - a_{r + 1}}}{(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} \\ &= \prod_{i \leq r} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ |B|^n + \sum_{i \leq r} \frac{|A_i + B|^n}{|H_i| - 1} + \sum_{i < j \leq r} \frac{|A_i + A_j + B|^n}{(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} \\ &\quad + \prod_{i \leq r} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ \frac{|A_{r + 1} + B|^n - |B| ^n}{|H_{r + 1}|} + \sum_{i \leq r} \frac{|A_i + A_{r + 1} + B|^n - |A_i + B|^n}{|H_{r + 1}|(|H_i| - 1)} + \sum_{i < j \leq r} \frac{|A_i + A_j + A_r + B|^n - |A_i + A_j + B|^n}{|H_{r + 1}|(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} \\ &= \prod_{i \leq r} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ \left(1 - \frac{1}{|H_{r + 1}|}\right) |B|^n + \left(1 - \frac{1}{|H_{r + 1}|}\right) \sum_{i} \frac{|A_i + B|^n}{|H_i| - 1} + \left(1 - \frac{1}{|H_{r + 1}|}\right) \sum_{i < j \leq r} \frac{|A_i + A_j + B|^n}{(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} \\ &= \prod_{i} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ |B|^n + \sum_{i} \frac{|A_i + B|^n}{|H_i| - 1} + \sum_{i < j} \frac{|A_i + A_j + B|^n}{(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} \end{align*}
以上から示された。

$\mathcal{S}$ がgoodであるとき $(a_1, \ldots, a_r, b) \neq (0, \ldots, 0, n)$ かつ $a_{i_1}, \ldots, a_{i_k} > 0$ ならば
$$ |B^b \cdot Q_{a_1, \ldots, a_r, b}(g)| = |B|^b $$
となり, $(a_1, \ldots, a_r, b) \neq (0, \ldots, 0, n)$ かつ $a_{i_1}, \ldots, a_{i_k}$ のうち少なくとも1つが$0$ならば
$$ |B^b \cdot Q_{a_1, \ldots, a_r, b}(g)| = 0 $$
となる。これと定理2の証明の過程で示した
$$ \sum_{a_1 + \cdots + a_r + b = n} \frac{n!}{a_1! \cdots a_r!b!} \, |B|^b \prod_{i\, ; \, a_i > 0} \frac{|A_i|^{a_i}}{|H_i|} = \prod_{i} \left( 1 - \frac{1}{|H_i|}\right) \left\{ |B|^n + \sum_{i} \frac{|A_i + B|^n}{|H_i| - 1} + \sum_{i < j} \frac{|A_i + A_j + B|^n}{(|H_i| - 1)(|H_j| - 1)} + \cdots \right\} $$
を用いると包除原理的に定理1から従う。