一般化simasima special（主張と証明編）

組み合わせ,OMC,競技数学

337

はじめに

この記事は重み付き集合の記事の続きです。先にそちらを見ることをおすすめします（前回の記事の記号を踏襲しているので、そもそも見ないと理解するのがかなり難しいと思います）。

一般化simasima special

まず、simasima specialを適用する規格を定める。

simasima data

以下のデータからなる組 $(U, X, G, K, P)$ をsimasima dataと呼ぶ。

全体集合 $U$ および $X \in {Set}_{finsupp} (U, K)$
アーベル群 $G$ および標数 $0$ の体 $K$
写像 $ϕ : U \to G$
$P = {A_{1}, \dots, A_{r}, B}$ は以下を満たす。このとき $P$ を $X$ の分割と呼ぶ。
$A_{1}, \dots, A_{r}, B \in {Set}_{finsupp} (U, K)$ で $X = A_{1} + \dots + A_{r} + B$ を満たす。
$i = 1, \dots, r$ に対して $d_{i} \in K$ が存在し、 $ϕ$ の $A_{i}$ への制限 $ϕ |_{A_{i}}$ は $G$ のある部分群 $H_{i}$ への $d_{i}$ 対 $1$ 写像となる。
$i = 1, \dots, r$ に対して $H_{i} \neq {0_{G}}$ である。
相異なる $i, j = 1, \dots, r$ に対して $H_{i} \cap H_{j} = {0_{G}}$ となる。

（標数 $0$ の体 $K$ が何かわからない人は有理数全体の集合 $Q$ や実数全体の集合 $R$ 、複素数全体の集合 $C$ だと思ってください）

また、特にいい性質を示すsimasima dataも定めておく。

goodなsimasima data

simasima data $S = (U, X, G, K, P)$ に対して、 $S$ がgoodであるとは $ϕ (B) \subset ⋂_{i = 1}^{r} H_{i}$ を満たすことをいう。すなわち任意の $b \in B$ に対して $h \in ⋂_{i = 1}^{r} H_{i}$ が存在して $ϕ (b) = h$ となることである。

$S$ がgoodであるとは $r = 1$ のときは $ϕ (B) \subset H_{1}$ であり $r \geq 2$ においては、定義1の最後の性質から $ϕ (supp B) = \emptyset, {0_{G}}$ と同値であることに注意せよ。

それではいよいよ一般化simasima specialの主張を述べよう。

一般化simasima special

以下のように記号を定める。

simasima data $S = (U, X, G, K, P)$
$P = {A_{1}, \dots, A_{r}, B}$
$n$ は正の整数
非負整数 $a_{1}, \dots, a_{r}, b$ と $g \in G$ に対して集合 $Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (g)$ を次のように定める。
$Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (g) : = {(x_{1}, \dots, x_{b}) \in U^{b}; \sum_{i = 1}^{b} ϕ (x_{i}) \in g + \sum_{a_{i} > 0} H_{i}}$
特に $a_{1} = \dots = a_{r} = 0$ , $b = n$ のとき
$Q_{n} (g) : = Q_{0, \dots, 0, n} (g) = {(x_{1}, \dots, x_{n}) \in U^{n}; \sum_{i = 1}^{n} ϕ (x_{i}) = g}$
このとき
$| X^{n} \cdot Q_{n} (g) | = \sum_{a_{1} + \dots + a_{r} + b = n} \frac{n!}{a_{1}! \dots a_{r}! b!} | B^{b} \cdot Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (g) | \prod_{i; a_{i} > 0} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |}$
と表せる。ただし $\prod$ は $a_{i} > 0$ となる $1 \leq i \leq r$ を全て走る。

この定理では $H_{i} \neq {0_{G}}$ というsimasima dataの条件はなくても成立する。
また $X$ が通常の集合と同一視できるときは $X^{n} \cdot Q_{n} (g)$ は
${(x_{1}, \dots, x_{n}) \in X^{n}; \sum_{i = 1}^{n} ϕ (x_{i}) = g}$
と同一視できる。この集合の濃度はsimasima specialで計算したいものであった。

$X^{n} \cdot Q_{n} (g) = (A_{1} + \dots + A_{r} + B)^{n} \cdot Q_{n} (g)$
であるので $(A_{1} + \dots + A_{r} + B)^{n}$ を展開した各項を $E$ とすると
$| X^{n} \cdot Q_{n} (g) | = \sum_{E} | E \cdot Q_{n} (g) |$
である。 $E$ に現れる $A_{i}$ の個数が $a_{i}$ 、 $B$ の個数が $b$ であるとき、 $n = a_{1} + \dots + a_{r} + b$ であり、このような $E$ の個数は $\frac{n!}{a_{1}! \dots a_{r}! b!}$ 個ある。
$σ : X^{n} \to X^{n}$ を任意の成分の並び替えとすると、任意の $x \in Q_{n} (g)$ に対して $σ (x) \in Q_{n} (g)$ である。よって
$| E \cdot Q_{n} (g) | = | (A_{1}^{a_{1}} \times \dots \times A_{r}^{a_{r}} \times B^{b}) \cdot Q_{n} (g) |$
である。よって、 $E$ の直積の順番を入れ替えても値が変わらないので
$\sum_{E} | E \cdot Q_{n} (g) | = \sum_{a_{1} + \dots + a_{r} + b = n} \frac{n!}{a_{1}! \dots a_{r}! b!} | (A_{1}^{a_{1}} \times \dots \times A_{r}^{a_{r}} \times B^{b}) \cdot Q_{n} (g) |$
である。よって
$E = A_{1}^{a_{1}} \times \dots \times A_{r}^{a_{r}} \times B^{b}$
に対して
$| E \cdot Q_{n} (g) | = | B^{b} \cdot Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (g) | \prod_{i; a_{i} > 0} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |}$
を示せば十分。 $r = 0$ のときは自明に成り立つ。
$r - 1$ までで成立しているなら $r$ のときも成立することを示す。
$a_{1}, \dots, a_{r}$ のうち $0$ であるものが存在するなら $r - 1$ までの場合に帰着されるので成立。よって以下では $a_{1}, \dots, a_{r} > 0$ のときを示す。
$| E \cdot Q_{n} (g) | = \sum f_{B} (y_{1}) \dots f_{B} (y_{b}) \prod_{i = 1}^{r} f_{A_{i}} (x_{1}^{(i)}) \dots f_{A_{i}} (x_{a_{i}}^{(i)})$
となる。ただし $\sum$ は $x_{j}^{(i)} \in A_{i} (1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq a_{i})$ , $y_{k} \in B (1 \leq k \leq b)$ で
$\sum_{i, j} ϕ (x_{j}^{(i)}) + \sum_{k} ϕ (y_{k}) = g$
となるものを走る。
この条件式を満たすとき、特に
$\sum_{k} ϕ (y_{k}) \in g + \sum_{i = 1}^{r} H_{i}$
である。また $h_{i} \in H_{i}$ で
$\frac{| A_{i} |}{| H_{i} |} = d = | ϕ |_{A_{i}}^{- 1} (h_{i}) | = \sum_{ϕ (x) = h_{i}} f_{A_{i}} (x)$
である。よって $h \in H_{i}$ に対して
$\begin{aligned} \sum_{\sum_{j} ϕ (x_{j}^{(i)}) = h} f_{A_{i}} (x_{1}^{(i)}) \dots f_{A_{i}} (x_{a_{i}}^{(i)}) & = \sum_{x_{2}^{(i)}, \dots, x_{a_{i}}^{(i)} \in A_{i}} f_{A_{i}} (x_{2}^{(i)}) \dots f_{A_{i}} (x_{a_{i}}^{(i)}) \sum_{ϕ (x_{1}^{(i)}) = h - ϕ (x_{2}^{(i)}) - \dots - ϕ (x_{a_{i}}^{(i)})} f_{A_{i}} (x_{1}^{(i)}) \\ = | A_{i} |^{a_{i} - 1} \cdot \frac{| A_{i} |}{| H_{i} |} = \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} \end{aligned}$
が成立する。以上から
$\begin{aligned} \sum f_{B} (y_{1}) \dots f_{B} (y_{b}) \prod_{i = 1}^{r} f_{A_{i}} (x_{1}^{(i)}) \dots f_{A_{i}} (x_{a_{i}}^{(i)}) & = \sum_{k} \sum_{h_{k} \in H_{k}} \sum_{\sum_{j} ϕ (y_{j}) = g + \sum_{i} h_{i}} f_{B} (y_{1}) \dots f_{B} (y_{b}) \prod_{i = 1}^{r} \sum_{\sum_{j} ϕ (x_{j}^{(i)}) = - h_{i}} f_{A_{i}} (x_{1}^{(i)}) \dots f_{A_{i}} (x_{a_{i}}^{(i)}) \\ = \sum_{k} \sum_{h_{k} \in H_{k}} \sum_{\sum_{j} ϕ (y_{j}) = g + \sum_{i} h_{i}} f_{B} (y_{1}) \dots f_{B} (y_{b}) \prod_{i = 1}^{r} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} \\ = \sum_{\sum_{j} ϕ (y_{j}) \in g + \sum_{i} H_{i}} f_{B} (y_{1}) \dots f_{B} (y_{b}) \prod_{i = 1}^{r} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} \\ = | B^{b} \cdot Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (g) | \cdot \prod_{i = 1}^{r} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} \end{aligned}$
となり、定理は示される。

一般化simasima special（goodである場合特殊型）

記号を定理1の通りとする。さらに $S$ がgoodであるとする。このとき
$\begin{aligned} | X^{n} \cdot Q_{n} (0_{G}) | \\ = | B^{n} \cdot Q_{n} (0_{G}) | - | B |^{n} + \prod_{i} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots} \end{aligned}$
が成立する。特に $ϕ (supp B) = {0_{G}}$ となるときは
$| X^{n} \cdot Q_{n} (0_{G}) | = \prod_{i} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots}$
と表せる。

$S$ がgoodであるとき $(a_{1}, \dots, a_{r}, b) \neq (0, \dots, 0, n)$ ならば
$B^{b} \cdot Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (0_{G}) = B^{b}$
であり、さらに $ϕ (supp B) = {0_{G}}$ であれば $B^{n} \cdot Q_{n} (0_{G}) = B^{n}$ となることに注意すると定理1から
$\sum_{a_{1} + \dots + a_{r} + b = n} \frac{n!}{a_{1}! \dots a_{r}! b!} | B |^{b} \prod_{i; a_{i} > 0} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} = \prod_{i} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots}$
を示せば十分であることがわかる。
$r = 0$ のとき自明に成立する。 $r$ のとき成立すると仮定して $r + 1$ のとき成立することを示す。
$\begin{aligned} \sum_{a_{1} + \dots + a_{r + 1} + b = n} \frac{n!}{a_{1}! \dots a_{r + 1}! b!} | B |^{b} \prod_{i; a_{i} > 0} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} \\ = \sum_{a_{1} + \dots + a_{r} + b = n} \frac{n!}{a_{1}! \dots a_{r}! b!} | B |^{b} \prod_{i; a_{i} > 0} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} + \sum_{a_{r + 1} = 1}^{n} (\binom{n}{a_{r + 1}}) \frac{| A_{r + 1} |^{a_{r + 1}}}{| H_{r + 1} |} \sum_{a_{1} + \dots + a_{r} + b = n - a_{r + 1}} \frac{(n - a_{r + 1})!}{a_{1}! \dots a_{r}! b!} | B |^{b} \prod_{i; a_{i} > 0} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} \\ = \prod_{i \leq r} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i \leq r} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j \leq r} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots} \\ + \sum_{a_{r + 1} = 1}^{n} (\binom{n}{a_{r + 1}}) \frac{| A_{r + 1} |^{a_{r + 1}}}{| H_{r + 1} |} \prod_{i \leq r} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n - a_{r + 1}} + \sum_{i \leq r} \frac{| A_{i} + B |^{n - a_{r + 1}}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j \leq r} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n - a_{r + 1}}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots} \\ = \prod_{i \leq r} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i \leq r} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j \leq r} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots} \\ + \prod_{i \leq r} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {\frac{| A_{r + 1} + B |^{n} - | B |^{n}}{| H_{r + 1} |} + \sum_{i \leq r} \frac{| A_{i} + A_{r + 1} + B |^{n} - | A_{i} + B |^{n}}{| H_{r + 1} | (| H_{i} | - 1)} + \sum_{i < j \leq r} \frac{| A_{i} + A_{j} + A_{r} + B |^{n} - | A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{| H_{r + 1} | (| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots} \\ = \prod_{i \leq r} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {(1 - \frac{1}{| H_{r + 1} |}) | B |^{n} + (1 - \frac{1}{| H_{r + 1} |}) \sum_{i} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + (1 - \frac{1}{| H_{r + 1} |}) \sum_{i < j \leq r} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots} \\ = \prod_{i} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots} \end{aligned}$
以上から示された。

この定理の一般化を述べるために、まず新たな次の記号を導入する。
simasima data $S$ と ${1, 2, \dots, r}$ の通常の意味での部分集合 $T$ に対して
$N (S, T) : = \prod_{i \notin T} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i \notin T} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{\begin{matrix} i, j \notin T \\ i < j \end{matrix}} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots}$
と定める。

一般化simasima special（goodである場合一般型）

記号を定理1の通りとする。さらに $S$ がgoodであるとする。
また相異なる $i_{1}, \dots, i_{k} \in {1, \dots, r}$ と $h_{i_{1}} \in H_{i_{1}} ∖ {0_{G}}, \dots, h_{i_{k}} \in H_{i_{k}} ∖ {0_{G}}$ を用いて $g = h_{i_{1}} + \dots + h_{i_{k}}$ と表せるとする。このとき $S = {i_{1}, \dots, i_{k}}$ とすると
$| X^{n} \cdot Q_{n} (g) | = | B^{n} \cdot Q_{n} (g) | - | B |^{n} + \sum_{T \subset S} (- 1)^{| T |} N (S, T)$
が成立する。ただし $T$ は $S$ の通常の意味での部分集合全体を走る。

$S$ がgoodであるとき $(a_{1}, \dots, a_{r}, b) \neq (0, \dots, 0, n)$ かつ $a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}} > 0$ ならば
$| B^{b} \cdot Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (g) | = | B |^{b}$
となり, $(a_{1}, \dots, a_{r}, b) \neq (0, \dots, 0, n)$ かつ $a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}}$ のうち少なくとも1つが $0$ ならば
$| B^{b} \cdot Q_{a_{1}, \dots, a_{r}, b} (g) | = 0$
となる。これと定理2の証明の過程で示した
$\sum_{a_{1} + \dots + a_{r} + b = n} \frac{n!}{a_{1}! \dots a_{r}! b!} | B |^{b} \prod_{i; a_{i} > 0} \frac{| A_{i} |^{a_{i}}}{| H_{i} |} = \prod_{i} (1 - \frac{1}{| H_{i} |}) {| B |^{n} + \sum_{i} \frac{| A_{i} + B |^{n}}{| H_{i} | - 1} + \sum_{i < j} \frac{| A_{i} + A_{j} + B |^{n}}{(| H_{i} | - 1) (| H_{j} | - 1)} + \dots}$
を用いると包除原理的に定理1から従う。

これ以上の一般化は可能なのか

結論を言うと可能である。そのことを説明するためにsimasima specialによる解法と多項式による解法との比較を行う。

具体例として次の問題を再び考える。

京都大学前期文系問題4（1994年改題）

さいころを $n$ 回続けて投げるとき、出た目の和が $7$ で割り切れる場合の数を求めよ。

これをsimasima specialで解く方法は
$X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $B = - {0}$
として対称性を生み出す $A$ とそれ以外 $B$ に分けて計算する方法である。

このことを多項式的に解釈する。
まず本問題は $(x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})^{n}$ を $x^{7} - 1$ で割った余りの定数項を求めることに帰着できる。そこで
$(x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})^{n} = {(1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6}) - 1}^{n}$
を二項展開することを考える。ただし $A$ は $1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6}$ に $B$ は $- 1$ に対応していることに注意。
各項は $(1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})^{k}$ の定数倍で表されるが、 $k > 0$ ならば
$(1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})^{k} = (1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})^{k - 1} \cdot (1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})$
と分解できる。
二式目の第一項を展開したときの各項はその次数によらず、二項目との積を考えると $x$ の指数が $7$ の倍数になるものがただ一つだけできる。
よって $(1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})^{k - 1}$ を展開したときの係数の和を求めればよく、これは $7^{k - 1}$ となる。これを足し合わせると答えを得る。

このようにsimasima specialを解釈できる。

次にこの問題を考えよう。

OMC048(C)改題

$a_{1}, \dots, a_{n} \in {0, 1}$ であって、総和が4の倍数になるものは何個存在するか求めよ。

この問題は simasimaさんの記事にも取り上げられている。
まず $n$ が偶数ならば $n = 2 k$ とすると $a_{1} + a_{2}, \dots, a_{2 k - 1} + a_{2 k} \in {0, 1, 1, 2}$ の総和と考えられる。よって
$X = {0, 1, 1, 2}$ , $A = {0, 2}$ , $B = 2 {1}$
とすればsimasima specialから答えを求めることができる。
$n$ が奇数のときは $n = 2 k + 1$ とすると $a_{1} + a_{2}, \dots, a_{2 k - 1} + a_{2 k} \in {0, 1, 1, 2}$ の総和を $4$ で割った余りが $0, 3$ のいずれかになる場合の数と一致するので、偶数の場合と同様simasima specialが適用できる。

では、 $n$ の偶奇を分けずにsimasima specialを適用できるような分割を構成できるだろうか。上記で一般化したsimasima specialそのままでは太刀打ちできない。ではどのような一般化すればsimasima specialを使えるようになるだろうか。

まず、この問題を多項式で解釈しよう。
$(1 + x)^{n}$ を $x^{4} - 1$ で割った余りの定数項が求める答えである。
次のような変形を考える。
$(1 + x)^{n} = {\frac{1}{2} (1 + x + x^{2} + x^{3}) + \frac{1 - i}{4} (1 + (i x) + (i x)^{2} + (i x)^{3}) + \frac{1 + i}{4} (1 + (- i x) + (- i x)^{2} + (- i x)^{3})}^{n}$
ここで
$\begin{aligned} 1 + x + x^{2} + x^{3} & = (x + 1) (x - i) (x + i) \\ 1 + (i x) + (i x)^{2} + (i x)^{3} & = i^{3} (x - 1) (x + 1) (x - i) \\ 1 + (- i x) + (- i x)^{2} + (- i x)^{3} & = (- i)^{3} (x - 1) (x + 1) (x + i) \end{aligned}$
となることに注意すると $(1 + x)^{n}$ を $x^{4} - 1$ で割った余りは
${(\frac{1}{2})}^{n} (1 + x + x^{2} + x^{3})^{n} + {(\frac{1 - i}{4})}^{n} (1 + (i x) + (i x)^{2} + (i x)^{3})^{n} + {(\frac{1 + i}{4})}^{n} (1 + (- i x) + (- i x)^{2} + (- i x)^{3})^{n}$
を $x^{4} - 1$ で割った余りに等しい。よって、この定数項は先ほどと同じ議論をすると
${(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 4^{n - 1} + {(\frac{1 - i}{4})}^{n} \cdot 4^{n - 1} + {(\frac{1 + i}{4})}^{n} \cdot 4^{n - 1} = \frac{2^{n} + (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}}{4}$
と求められる。これを群論的な解釈に落とし込めば、おそらく一般化できるだろう(従来の方法では ${0, 1, 2, 3}$ という形のものが対称性を作り出していたが、 $0$ を $1$ 個、 $1$ を $i$ 個、 $2$ を $- 1$ 個、 $3$ を $- i$ 個持っている重み付き集合なども対称性を生み出すと言うことだ)。

ちなみに
$1 + x = \frac{1}{2} (1 + x + x^{2} + x^{3}) + \frac{1 - i}{4} (1 + (i x) + (i x)^{2} + (i x)^{3}) + \frac{1 + i}{4} (1 + (- i x) + (- i x)^{2} + (- i x)^{3})$
という分割の導出であるが、これは $f (x) = 1 + x + x^{2} + x^{3}$ として
$1 + x = a f (x) + b f (i x) + c f (- x) + d f (- i x)$
の両辺に $x = \pm 1, \pm i$ を代入すると $a, b, c, d$ が直ちに求められる。

すなわち、これは実質的に $(1 + x)^{n}$ の $x$ の指数が $4$ の倍数となる係数の和だから $f (x) = (1 + x)^{n}$ として
$\frac{f (1) + f (i) + f (- 1) + f (- i)}{4} = \frac{2^{n} + (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}}{4}$
とする解法と同じである。