Fubiniの定理に関するRemark 4に証明なしで書いてあることの証明

Problem 3-7 の$x$と$y$の役割を交換した関数を$g:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb{R}$とすると、${\int }_{[0,1]\times [0,1]}g=0$であり、任意の$(x,y)\in [0,1]\times [0,1]$に対して、$f(x,y)+g(x,y)=1$である。
${\int }_a^{b}f(x)-g(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx$が成り立つことの証明と同様にして、$f,g$が$[0,1]\times [0,1]$で積分可能であるとき、$f-g$も$[0,1]\times [0,1]$で積分可能であり、${\int }_{[0,1]\times [0,1]}f-g={\int }_{[0,1]\times [0,1]}f-{\int }_{[0,1]\times [0,1]}g$が成り立つことを証明することができる。
$1$および$g$は$[0,1]\times [0,1]$で積分可能であるから、$f=1-g$も$[0,1]\times [0,1]$で積分可能であり、${\int }_{[0,1]\times [0,1]}f={\int }_{[0,1]\times [0,1]}1-g={\int }_{[0,1]\times [0,1]}1-{\int }_{[0,1]\times [0,1]}g=1-0=1$が成り立つ。