可換環のスペクトルはコンパクトである

$X=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }D(I_{\lambda })$ ($I_{\lambda }$は$A$のイデアル) とする. このときDe Morganの法則により
$$V\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }{I}_{\lambda }\right)=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }V(I_{\lambda })=\varnothing$$
となり, これは$\sum _{\lambda \in \Lambda }{I}_{\lambda }=A$を意味するから, ある$a_i\in I_i(I_i=I_{{\lambda }_i},{\lambda }_i\in \Lambda ,1\le i\le n)$が存在して$a_1+\cdots +a_n=1$となる. よって$I_1+\cdots +I_n=A$となるから$\bigcap _{i=1}^{n}V(I_i)=\varnothing$となって, これにDe Morganの法則を使えば
$$\bigcup _{i=0}^{n}D(I_i)=D(A)=X$$
となり, $X$は$D(I_1),\dots ,D(I_n)$の有限個によって覆われる.