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大学数学基礎解説

可換環のスペクトルはコンパクトである

可換環論,位相空間論,コンパクト
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$$\newcommand{Ast}[0]{\operatorname{Ast}} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{Max}[0]{\operatorname{Max}} \newcommand{Spec}[0]{\operatorname{Spec}} $$

$A$を可換環, $I$をイデアルとするとき, $\Spec(A)$の部分集合$V(I), D(I)$を次のように定義する.
(1) $V(I) \coloneqq \set{\mathfrak{p} \in \Spec(A) \mid I \subseteq \mathfrak{p}}$
(2) $D(I) \coloneqq \Spec(A) \setminus V(I)$

Zariski位相

$\Spec(A)$は$D(I)$ ($V(I)$) を開集合 (閉集合) として位相空間になる. この位相をZariski位相という.

$A$を可換環, $X = \Spec(A)$を環$A$のスペクトルとする. ($X$にはZariski位相を入れる.) このとき$X$はコンパクトである.

$X = \bigcup_{\lambda \in \varLambda} D(I_\lambda)$ ($I_\lambda$は$A$のイデアル) とする. このときDe Morganの法則により
$$ V\left(\sum_{\lambda \in \varLambda} I_\lambda\right) = \bigcap_{\lambda \in \varLambda} V(I_\lambda) = \varnothing $$
となり, これは$\sum_{\lambda \in \varLambda} I_\lambda = A$を意味するから, ある$a_i \in I_{i}\ (I_i = I_{\lambda_i}, \lambda_i \in \varLambda, 1 \le i \le n)$が存在して$a_1 + \dotsb + a_n = 1$となる. よって$I_1 + \dotsb + I_n = A$となるから$\bigcap_{i = 1}^n V(I_i) = \varnothing$となって, これにDe Morganの法則を使えば
$$ \bigcup_{i = 0}^n D(I_i) = D(A) = X $$
となり, $X$は$D(I_1), \dotsc, D(I_n)$の有限個によって覆われる.

投稿日：1日前
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