エンゲルの定理・リーの定理

ある自然数$n>0$について$f^{n}=0$が成り立つとする．$End(V)$上の自己準同型を
\begin{align*}\lambda_{f}(g):=f\circ g\ ,\rho_{-f}(g):=-g\circ f\end{align*}
とする．すると，$ad_{f}=\lambda_{f}+\rho_{-f}$が成り立つ．さらに，
\begin{align*}\lambda_{f}\circ\rho_{-f}(g)=\lambda_{f}(-g\circ f)=-f\circ g\circ f=\rho_{-f}\circ\lambda_{f}(g) \end{align*}
となるので，$\lambda_{f}$と$\rho_{-f}$は可換である．よって，
\begin{align*} (ad_{f})^{2n-1}=\sum_{i=0}^{2n-1}\begin{pmatrix}2n-1\\ i\end{pmatrix}\lambda_{f}^{i}\circ\rho_{-f}^{2n-1-i} \end{align*}
が成り立つ．任意の$0\leq i\leq2n-1$に対して，$2n-1-i\geq n$または，$i\geq n$となるので，$2n-1-i\geq n$のときは$\lambda_{f}^{i}=0$，$i\geq n$のときは$\rho_{-f}^{2n-1-i} =0$となるから，$(ad_{f})^{2n-1}=0$が成り立つ．

$\dim \mathfrak{g}$に関する帰納法で示す．
(1) $\dim \mathfrak{g}=0$のとき
このとき，$\mathfrak{g}=0$となるので，任意の$v\in V\setminus\{0\}$に対して，$\mathfrak{g}(v) = 0$が成り立つ．
(2) $\dim \mathfrak{g}=1$のとき
$\mathfrak{g}=\left< f\right>$となる$f\neq 0$が存在し，仮定から$\mathfrak{g}$の任意の元が冪零自己準同型だから，$k \in \mathbb{N}\setminus\!\{0\}$が存在して
\begin{align*} f^{k}\neq 0 ,\ f^{k+1}=0 \end{align*}
となるものとしてとれる．よって，\begin{align*} f^{k}(w)\neq 0 \end{align*}となる$w\in V$が取れる．よって$v:=f^{k}(w)$とすれば，$f^{}(v)=0$となる．したがって，任意の$g\in\mathfrak{g}=\left< f\right>$に対し$g(v)=0$が成り立つ．
(3) $\dim \mathfrak{g}\leq m-1\ (\geq 1)$のとき補題が成り立つとする．すなわち，
$\dim \mathfrak{g}\leq m-1$かつ$\mathfrak{g}$のすべての元が冪零自己準同型となるような任意の部分リー代数$\mathfrak{g}\subset\mathrm{End}(V)$ に対して
\begin{align*} \exists v \in V\setminus\{0\}\ s.t. \ \mathfrak{g}(v) =0 \end{align*} が成り立つとする．
$\dim \mathfrak{g}=m$のときを考える．
ここで，$\mathfrak{h}\subsetneq \mathfrak{g}$を真の部分リー代数とする．
（リー代数とは限らないベクトル空間としての）商空間$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$について考える．任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$\overline{ad_{h}}:\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\to\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$が
\begin{align*} \overline{ad_h}( \bar{g}):=\overline{[h,g]}\ \in\mathfrak{g}/\mathfrak{h} \end{align*}
として定められる．この写像がwell-definedであることを確認する．
$\overline{g_1}=\overline{g_2}\in\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$とする．すると，$g_{1} = g_{2} + h^{\prime}$となる$h^{\prime}\in\mathfrak{h}$がとれる．
\begin{align*} \overline{ad_{h}}(\overline{g_2}) &=\overline{[h,g_2]} \\ &=\overline{[h,g_1 + h^{\prime}]} \\ &=\overline{[h,g_1]+[h,h^{\prime}]} \\ &=\overline{[h,g_1]} \ \ \ \ (\because [h,h^{\prime}] \in \mathfrak{h})\\ &=\overline{ad_{h}}(\overline{g_{1}}) \end{align*}
となるから，この写像はwell-definedである．
ここで，
\begin{align*} \overline{ad(\mathfrak{h})}:=\left\{\ \overline{ad_{h}} \in \mathrm{End}(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}) \ | \ h\in \mathfrak{h}\ \right\} \end{align*}と書くことにする．$\overline{ad(\mathfrak{h})}\subset \mathrm{End}(\mathfrak{g}/\mathfrak{h})$は部分リー代数である．
実際，$\overline{ad_{h_1}},\overline{ad_{h_2}}\in\overline{ad(\mathfrak{h})},r\in\mathbb{K},\ \overline{g}\in\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$に対し，
\begin{align*} (r\overline{ad_{h_1}}+\overline{ad_{h_2}})(\overline{g})&=r\overline{[h_{1},g]}+ \overline{[h_{2},g]} \\ &=\overline{r[h_{1},g]+[h_{2},g]}\\ &=\overline{[rh_{1}+h_{2},g]} \\ &=\overline{ad_{rh_1+h_2}}(\overline{g}) \\ [\overline{ad_{h_1}},\overline{ad_{h_2}}](\overline{g}) &=(\overline{ad_{h_1}}\circ\overline{ad_{h_2}}-\overline{ad_{h_2}}\circ\overline{ad_{h_1}})(\overline{g}) \\ &=\overline{[h_1,[h_2,g]]}-\overline{[h_2,[h_1,g]]} \\ &=\overline{[h_1,[h_2,g]]-[h_2,[h_1,g]]} \\ &=\overline{[h_1,[h_2,g]]+[h_2,[g,h_1]]} \\ &=\overline{[[h_1,h_2],g]} \\ &=\overline{ad_{[h_{1},h_{2}]}}(\overline{g}) \end{align*}
となるので，$ r\overline{ad_{h_1}}+\overline{ad_{h_2}} ,[\overline{ad_{h_1}},\overline{ad_{h_2}}]\in\overline{ad(\mathfrak{h})}$が成り立つ．このとき，$\tau :\mathfrak{h}\to\overline{ad(\mathfrak{h})},\ h\mapsto \overline{ad_{h}}$を考えればリー代数の全射準同型写像となる．
さらに，$\overline{ad_{h}}(\overline{g})=\overline{ad_{h}(g)}$に注意すれば，lemma1より任意の元$\overline{ad_{h}}\in\overline{ad(\mathfrak{h})}$は冪零となる．
$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}(\neq0)$はベクトル空間で，$\tau :\mathfrak{h}\to\overline{ad(\mathfrak{h})}$の全射性に注意すれば，
\begin{align*} \dim \tau(\mathfrak{h})\leq\dim \mathfrak{h}<\dim\mathfrak{g} \end{align*}であり，$\overline{ad(\mathfrak{h})}$の任意の元が冪零自己準同型となるので，$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$と$\overline{ad(\mathfrak{h})}$に帰納法の仮定を使うと，
\begin{align*} \overline{ad(\mathfrak{h})}( \overline{x}) =0 \end{align*}となる$\overline{x}\in(\mathfrak{g}/\mathfrak{h})\setminus\{\overline{0} \}$が存在する．すなわち，任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して
\begin{align*} \overline{[h,x]}=\overline{0} \ \text{かつ} \ \overline{x} \neq \overline{0} \end{align*}となるから
\begin{align*} [h,x]\in\mathfrak{h} \ \text{かつ} \ x \notin \mathfrak{h} \end{align*}
となる$x\in\mathfrak{g}$が存在することがわかる．
したがって，$N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}):=\{x\in\mathfrak{g}\ |\ \forall h \in\mathfrak{h},\ [x,h]\in\mathfrak{h} \}$とおけば，
\begin{align*} \mathfrak{h}\subsetneq N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}) \subset \mathfrak{g} \end{align*}
が成り立つ．ここで，$N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})$は部分リー代数である．
実際，$0\in N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})$であって，任意の$h\in\mathfrak{h},x_{1},x_{2}\in N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}),r\in\mathbb{K}$に対して，
\begin{align*} [rx_1+x_2 , h ]&=r[x_1,h]+[x_2,h]\in\mathfrak{h} \\ [[x_1,x_2],h]&=[x_1,[x_2,h]]+[[x_1,h],x_2]\in\mathfrak{h} \\ \end{align*}
より，$rx_{1}+x_2,[x_1,x_2]\in N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})$が成り立つ．
ここで，$\mathfrak{h}\subsetneq\mathfrak{g}$を極大部分リー代数として取ると，$\mathfrak{g}=N_\mathfrak{g}(\mathfrak{h})$となる．したがって，
\begin{align*} \forall g \in \mathfrak{g},\forall h \in \mathfrak{h} \ s.t. \ [g,h]\in \mathfrak{h} \end{align*}
が成り立つから，$\mathfrak{h}$は$\mathfrak{g}$のイデアルとなる．よって，$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$はリー代数となることが分かる．（商がリー代数となるにはイデアルで割らなけらばならないのであった．）
$\mathfrak{h}$の極大性と真に小さいという条件から$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$は$\dim \mathfrak{g}/\mathfrak{h}=1$となることがわかる．
実際，$\mathfrak{h}\subsetneq \mathfrak{g}$であるので，$\dim \mathfrak{g}/\mathfrak{h}\geq 1$であり，$\dim \mathfrak{g}/\mathfrak{h} >1$と仮定すると，$\dim \mathfrak{p}=1$となる$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$の部分リー代数$\mathfrak{p}$が取れる．射影を$\pi:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}/\mathfrak{h}$とすると，$\pi^{-1}(\mathfrak{p})\subset \mathfrak{g}/\mathfrak{h}$は部分リー代数である．
実際，$ g_{1},g_{2}\in \pi^{-1}(\mathfrak{p}),r\in\mathbb{K}$を考えると
\begin{align*} \pi( rg_{1}+g_{2} ) &= r\pi(g_{1}) + \pi(g_{2}) \in \mathfrak{p} \\ \pi([g_{1},g_{2}]) &= [\pi(g_{1}),\pi(g_{2})] \in \mathfrak{p} \end{align*}
となる．さらに，定義から$\overline{0}\in\mathfrak{p}\subset \mathfrak{g}/\mathfrak{h}$であり，$p\neq0\subset\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$となる$p\in\mathfrak{p}$が存在し，$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$の基底で$\mathfrak{p}$に入らないものがあるので
\begin{align*} \mathfrak{h}\subsetneq\pi^{-1}(\mathfrak{p})\subsetneq \mathfrak{g} \end{align*}
が成り立つ．しかし，これは$\mathfrak{h}$を極大と仮定したことに矛盾する．
以上から，$\dim \mathfrak{g}/\mathfrak{h}=1 $がわかり，$\dim \mathfrak{h} = \dim\mathfrak{g}-1$がしたがう．
$f\in\mathfrak{g}\setminus\mathfrak{h}$をとれば，任意の元$g\in\mathfrak{g}$に対し，
\begin{align*} g = h + rf \ \ (\exists h\in \mathfrak{h},\exists r \in \mathbb{K}) \end{align*}
とかける．つまり，$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}+\mathbb{K}f$とかける．
ここで，
\begin{align*} W:=\left\{ v\in V \ | \ \forall h \in \mathfrak{h} , \ h(v) =0 \right\} \end{align*}
とおくと，帰納法の仮定から$W\neq 0 $である．
（つまり，$\mathfrak{g}$より次元が低く，すべての元が冪零となるリー代数$\mathfrak{h}$について帰納法の仮定を適用した．）
さらに，$\mathfrak{h}$は$\mathfrak{g}$のイデアルであることに注意すると，任意の$w\in W,h\in\mathfrak{h}$に対して，
\begin{align*} h(f(w)) &= h\circ f(w) \\&= f\circ h (w)-[f,h](w) \\ &=f(0)-0 \\&=0 \end{align*}
が成り立つ．したがって，$W$は$f$不変．つまり，
\begin{align*} f(W)\subset W \end{align*}
となる．$f\neq 0 $と$f$の冪零性から
\begin{align*} f^{k}(w)\neq0,\ f^{k+1}(w)=0 \ \ (\exists k\in\mathbb{N}\setminus\{0\})\end{align*}となる$w \in W$がとれ，$v:=f^{k}(w)$とおけば，$W$が$f$不変であることから$v\in W$であるので，任意の$g\in\mathfrak{g}$に対して
\begin{align*} g(v) &= (h + rf)(v) \ \ (\exists h\in\mathfrak{h},r\in\mathbb{K})\\ &=h(v)+rf(v) \\ &=0 \end{align*}
となり，補題の主張が従う．

$Z(\mathfrak{g})$がイデアルとなることは明らか．$[Z(\mathfrak{g}),Z(\mathfrak{g})]=\{0\}$より冪零となる．
商リー代数$\mathfrak{g}/Z(\mathfrak{g}) $が冪零だから，ある$ k\in\mathbb{N}$が存在して,
\begin{align*} \ C^{k}(\mathfrak{g}/Z(\mathfrak{g}) )=\{0\} \end{align*}
となるから，
\begin{align*} \ C^{k}(\mathfrak{g})/Z(\mathfrak{g}) =\{0\} \end{align*}
となる，つまり
\begin{align*} \ C^{k}(\mathfrak{g})\subset Z(\mathfrak{g}) \end{align*}
となるから，
\begin{align*} \ C^{k+1}(\mathfrak{g})&=[\mathfrak{g},C^{k}(\mathfrak{g})]\\&\subset [\mathfrak{g},Z(\mathfrak{g})] \\&=\{0\} \end{align*}
よって$\mathfrak{g}$も冪零となる．

$\mathfrak{g}$が冪零となるならば，ある$ k\in\mathbb{N}$が存在して,
\begin{align*} \ C^{k}(\mathfrak{g})=\{0\} \end{align*}となる．ここで，任意の$x,y\in\mathfrak{g}$に対し
\begin{align*} \ (ad_{x})^{k}(y)\in C^{k}(\mathfrak{g})=\{0\} \end{align*}
よって，$ad_{x}$は冪零である．
以下で，任意の$x\in\mathfrak{g}$に対し$ad_{x}$が冪零となるとき，$\mathfrak{g}$が冪零となることを示す．
$\dim \mathfrak{g}$の次元に関する帰納法で示す．

1. $\dim \mathfrak{g}=0$のとき
   $\mathfrak{g}=\{0\}$より，明らか．
2. $\dim \mathfrak{g}=1$のとき
   このとき$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\{0\}$となるので，$\mathfrak{g}$は冪零である．
3. $\dim \mathfrak{g}\leq m-1(>1)$のとき，任意の$x\in\mathfrak{g}$に対し$ad_{x}$が冪零となるとき，$\mathfrak{g}$が冪零となるとする．
   $\dim \mathfrak{g}=m$のときについて考える．
   任意の$x\in\mathfrak{g}$に対し$ad_{x}$が冪零となるとする．このとき，$ad(\mathfrak{g})\subset \mathrm{End}(\mathfrak{g})$の任意の元は冪零となる．lemma2を用いると，$ad(\mathfrak{g})(x)=0$を満たす元$x\in\mathfrak{g}\setminus\{0\}$が存在する．つまり，
   \begin{align*} \forall y\in\mathfrak{g}, \ [y,x] =0 \end{align*}を満たす元$x\in\mathfrak{g}\setminus\{0\}$が存在する．よって，$\mathfrak{g}$の中心$Z(\mathfrak{g})\neq 0$となる．$\dim \mathfrak{g}/Z(\mathfrak{g})<\dim \mathfrak{g}$なので，帰納法の仮定を用いると$\mathfrak{g}/Z(\mathfrak{g})$が冪零となることがわかる．よって，lemma3より$\mathfrak{g}$も冪零となる．

$\mathfrak{g}$を冪零とする．$ad(\mathfrak{g})$にlemma2を用いると，任意の$ad_{x}\in ad(\mathfrak{g)}$に対して
\begin{align*} ad_{x}(v_1)=0 \end{align*}
となる$v_1 \in \mathfrak{g}\setminus\{0\}$が取れる．$V_{1}=\left< v_1 \right>$とおき，ベクトル空間$W_{1}=\mathfrak{g}/V_{1}$と$\overline{ad}(\mathfrak{g})$に関してlemma2を用いて，
\begin{align*} \overline{ad_{x}}(\overline{v_2})=\overline{0} \end{align*}
となる$\overline{v_2} \in (\mathfrak{g}/V_{1})\setminus\{0\}$が取れる．すなわち，
\begin{align*} ad_{x}(v_2)\in V_1=\left< v_1\right> \end{align*}
となる$v_2 \in (\mathfrak{g}\setminus V_{1})$が取れる．これを繰り返して，
\begin{align*} V_{i}=\left< v_{1},\cdots,v_{i}\right>,\ W_{i}:=\mathfrak{g}/V_{i}\\ ad_{x}(v_{i+1})\in V_i,\ v_{i+1}\in \mathfrak{g}\setminus V_{i} \end{align*}
を満たすように，$v_{1},\cdots,v_{n}$が取れ，これらは$\mathfrak{g}$の基底となる．この基底に関して，任意の$ad_{x}\in ad(\mathfrak{g})$の表現行列を考えると，
\begin{align*} (ad_{x}(e_1),\cdots,ad_{x}(e_n)) = (e_1,\cdots,e_n)\begin{pmatrix}0 &&{\Huge *}\\ \vdots& \ddots \\ 0 & \cdots &0 \end{pmatrix} \end{align*}
となる．

逆を示す．$\mathfrak{g}$の基底を適切にとることによって，$ad(\mathfrak{g})\subset \mathrm{End}(\mathfrak{g})$を行列表示すると$\mathfrak{n}_{n}(\mathbb{K})$に含まれるようにできるとする．
\begin{align*} (ad_{x}(e_1),\cdots,ad_{x}(e_n)) = (e_1,\cdots,e_n)\begin{pmatrix}0 &&{\Huge *}\\ \vdots& \ddots \\ 0 & \cdots &0\end{pmatrix}\end{align*}
となる$\mathfrak{g}$の基底$e_1,\cdots,e_n$がとれる．
\begin{align*}\begin{pmatrix}0 &&{\Huge *}\\ \vdots& \ddots \\ 0 & \cdots &0\end{pmatrix}^{\! \huge n} = 0\end{align*}だから，$(ad_{x})^{n}=0$がわかる．よって， エンゲルの定理 より$\mathfrak{g}$は冪零となる．

$\dim\mathfrak{g}$に関する帰納法で示す．

1. $\dim \mathfrak{g}=0$のとき$\mathfrak{g}=\{0\}$より明らか．
2. $\dim \mathfrak{g}=m-1 >0$のとき，可解リー代数$\mathfrak{g}\subset \mathrm{End}(V)$について，$V\neq 0$ならば
   \begin{align*} \exists v \in V\setminus\{0\}\ s.t\ \ \forall g \in \mathfrak{g} , \ g (v)=\lambda_{g}v. \end{align*}
   が成り立つと仮定する．
   $\dim{g}=m$のときについて考える．$\mathfrak{g}$は可解なので，$D^{1}\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subsetneq \mathfrak{g}$が成り立つ．$\left[\mathfrak{g}/D^{1}\mathfrak{g},\mathfrak{g}/D^{1}\mathfrak{g}\right]=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]/D^{1}\mathfrak{g}=\{0\}$であるから$\mathfrak{g}/D^{1}\mathfrak{g}$は可換リー代数となる．$ \mathfrak{g}/D^{1}\mathfrak{g}$の部分線形空間はすべてイデアルとなる．
   $\mathfrak{h}_{0} \subset \mathfrak{g}/D^{1}\mathfrak{g}$を$\dim \mathfrak{h}_{0}=\dim (\mathfrak{g}/D^{1}\mathfrak{g})- 1$となるものとして取ると，
   \begin{align*} \mathfrak{h}=\pi^{-1}(\mathfrak{h}_{0})\ \ (\pi:\mathfrak{g\to\mathfrak{g}}/D^{1}\mathfrak{g}) \end{align*}
   は$\mathfrak{g}$のイデアルとなる．
   実際，任意の$g\in\mathfrak{g},h\in\mathfrak{h}$に対し，$\pi([g,h])=[\pi(g),\pi(h)]\in\mathfrak{h}_{0}$となることからわかる．
   さらに，$\dim \mathfrak{h}_{0}=\dim (\mathfrak{g}/D^{1}\mathfrak{g})- 1$より，
   \begin{align*} \dim \mathfrak{h}= \dim \mathfrak{h}_{0} + \dim D^{1}\mathfrak{g} = \dim \mathfrak{g} -1 \end{align*}となる．
   ゆえに$\dim \mathfrak{h}<\dim\mathfrak{g}$であって，可解リー代数の部分リー代数は可解だから，$\mathfrak{h}$は可解である．
   したがって，$\mathfrak{h}$について帰納法の仮定が使え，任意の$h\in\mathfrak{h}$に対し，$\lambda_{h}\in\mathbb{K}$が存在して，
   \begin{align*} h(v)=\lambda_{h} v \end{align*}
   となる$v\in V\setminus\{0\}$が存在する．よって，
   \begin{align*} W:=\{ v\in V \ |\ \forall h \in\mathfrak{h},\exists \lambda_{h}\in\mathbb{K}, h(v) = \lambda_{h}v \} \end{align*}とすると，$W\neq 0$である．
   $W$は$\mathfrak{g}$不変，すなわち，
   \begin{align*} \forall g \in \mathfrak{g},\ \forall w\in W,\ g(w) \in W \end{align*}
   が成り立つ．これを以下で確認する．
   任意の$g\in\mathfrak{g},h\in\mathfrak{h},w\in W$に対し，
   \begin{align*} h\circ{g}(w) = g\circ h (w) - [g,h](w)=\lambda_{h}g(v) - \lambda_{[g,h]} w \end{align*}
   が成り立つ．$\lambda_{[g,h]}=0$となることが示されればよい．
   $\lambda(x):=\lambda_{x}$と書くと，$\lambda:\mathfrak{g}\to \mathbb{K}$は線形写像であることがわかる．
   ここで，$w\in W, g\in \mathfrak{g}$を固定し，$w,g(w),\cdots , g^{k}(w)$が線形従属となるもので最小の自然数を$k$とする．
   \begin{align*} W_{0}:=0,\ W_{i} := \left< w,g(w),\cdots,g^{i-1}(w) \right> \end{align*}とおけば，$\dim W_{k}=k,\ W_{k}=W_{k+i}\ (i\geq 0)$が成り立つ．$W_{k}$の定義から，$g(W_{k})\subset W_{k}$となることから，$g:W_{k}\to W_{k}$という線形変換とみなせる．$W$の定義と$\mathfrak{h}$が$\mathfrak{g}$のイデアルであることに注意すれば，任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して，$h(W_{i})\subset W_{i}$となる．
   実際，
   \begin{align*} h(w) &= \lambda_{h} w \in W_{i}\\ h(g(w)) &= \lambda_{h} g(w)-\lambda_{[g,h]} w \in W_{i} \\ h(g^{2}(w)) &= g(h(g(w)))-[g,h](g(w)) \in W_{i} \\ &\ \ \vdots\\ h(g^{i-1}(w)) &= g(h (g^{i-2}(w))) - [g,h](g^{i-2}(w)) \in W_{i} \end{align*}
   となることからわかる．
   このとき，$W_{k}$の基底$w,g(w),\cdots,g^{k-1}(w)$に関して，$h\in\mathfrak{h}$は対角成分が$\lambda(h)$の上三角行列で表現できる．つまり，
   \begin{align*} (h(w),\cdots,h(g^{k-1}(w)))=(w,\cdots,g^{k-1}(w))\begin{pmatrix} \lambda(h)& & \\ & \lambda(h) & &{\Huge*} \\ & &\ddots \\ {\Huge 0}& & & \lambda(h)\\ \end{pmatrix} \end{align*}
   と表されることがわかる．
   これを示すために，
   \begin{align*} h\circ g^{i}(w) =\lambda(h)g^{i}(w) +w^{\prime} \ (\exists w^{\prime}\in W_{i}) \end{align*}
   を示す．
   簡単のため，
   \begin{align*} h\circ g^{i}(w) =\lambda(h)g^{i}(w) (mod\ W_{i}) \end{align*}
   のように書くことにする．
   \begin{align*} h\circ g^{i}(w) &=h\circ g \circ g^{i-1}(w) \\ &=g\circ h \circ g^{i-1}(w)-[g,h]\circ g^{i-1}(w) \\ &=g\circ h \circ g^{i-1}(w) \ \ \ (mod \ W_{i}) \end{align*}
   となり，帰納法の仮定から，
   \begin{align*} h\circ g^{i-1}(w) =\lambda(h) g^{i-1}(w) \ \ (mod\ W_{i-1}) \end{align*}
   となるが，$W_{i}$の構成方法から
   \begin{align*} g(W_{i-1})\subset W_{i} \end{align*}
   であり，
   \begin{align*} h\circ g^{i}(w) =\lambda(h)g^{i}(w) +w \ (\exists w\in \ W_{i}) \end{align*}
   が従う．
   ゆえに，
   \begin{align*} \forall h\in\mathfrak{h}, \ Tr_{W_n}(h)=n\lambda(h) \end{align*}
   が成り立つ．特に，$[g,h]\in \mathfrak{h}$なので，
   \begin{align*} Tr_{W_k}([g,h])=k\lambda([g,h]) \end{align*}
   となる．$g(W_{k})\subset W_{k},\ h(W_{k})\subset W_{k}$であったので，
   \begin{align*} Tr_{W_k}([g,h])=Tr_{W_{k}}(g\circ h)-Tr_{W_{k}}(h\circ g)=0 \end{align*}
   $\mathbb{K}$の標数が$0$であることに注意すれば，
   \begin{align*} k\lambda([g,h])&=0 \\ \therefore \ \lambda([g,h])&=0 \end{align*}
   となる．
   以上から，$W$は$\mathfrak{g}$不変となる．
   $\dim\mathfrak{h}=\dim\mathfrak{g}-1 $であったので，$\mathfrak{g} = \mathfrak{h}+\mathbb{K}f$となる．$W$は$\mathfrak{g}$不変となったことから，$f$は$W$の線形変換を定める．$\mathbb{K}$は代数閉体だったので，$f$の固有多項式は必ず$\mathbb{K}$に根$\alpha$をもつ．（つまり，固有値$\alpha$を必ずもつということ．）したがって$f$に対し，その固有値$\alpha$に対応する固有ベクトル$v_{0}\in W\setminus\{0\} $が存在する．このとき，任意の$h\in\mathfrak{h},r\in\mathbb{K}$に対し，
   \begin{align*} (h+rf)(v_{0}) &=h(v_{0}) + rf(v_{0})\\ &=\lambda_hv_{0} + r\alpha v_{0}\\ &=(\lambda_h + r\alpha )v_{0} \end{align*}
   となるので，$v_{0}$は題意を満たす固有ベクトルである．

エンゲルの定理 と同様に示せばよい．