東大数理院試過去問解答例(2023B08)

$4$次実正方行列全体のなす位相空間$M_4(\mathbb{R})$の部分位相空間$M$を、行列$A=(a_{ij}{)}_{i,j}$で、以下の条件
(a) $\mathrm{rank}A=1$
(b) $A$は対称行列
(c) $A$の対角成分は全て非負
(d) $\sum _{i,j}{a}_{i,j}^2=1$
を満たすもの全体からなる空間とする。ここで写像
$$\begin{array}{rl}\varphi :{\mathbb{R}}^4& \to M_4(\mathbb{R})\\ x& \mapsto x{x}^T\end{array}$$
を考える(ここで$x^T$は$x$の転置である)。
(1) $\varphi {|}_{{\mathbb{R}}^4\mathrm{\setminus }\{0\}}:{\mathbb{R}}^4\mathrm{\setminus }\{0\}\to M_4(\mathbb{R})$ははめ込みであることを示しなさい。
(2) $M$は$M_4(\mathbb{R})$の$C^{\mathrm{\infty }}$級部分多様体であることを示しなさい。
(3) 比$\frac{\mathrm{vol}(M)}{\mathrm{vol}(S^3)}$を求めなさい。ここで$\mathrm{vol}(M)$及び$\mathrm{vol}(S^3)$は$M_4(\mathbb{R})$及び${\mathbb{R}}^4$のEuclid計量から定まる$M$及び$S^3$の体積を表す。