この記事では,天下り的になされることの多い微分形式の定義について,なぜそうするのかが納得できるように思考の流れを解説します。
歴史的な経緯とは一切関係がなく,既存の定義を正当化するための個人的な理解の仕方に留まるものなので,軽く読み流して頂ければ幸いです。
また,参考文献に書かれているような厳密な定義とそこからの演繹については,(現時点では)この記事の中では述べられていません。余裕があれば,付録という形で随時書き足していこうと思います。
球面
(リーマン面としての球面
このとき,
となります。
と表現したときの関数
このとき,
が成り立ちます。
(誤解の恐れがなければ,
逆に,
が正則関数であると仮定します。
この両辺を微分すれば
という関係式も得られます。
また,
が正則曲線であると仮定します。
このとき,
したがって,その接ベクトルは
を考えることもできます。
ここで
必ずしも導関数の形をしているとは限らない関数
を満たすならば,直前の計算と全く同様にして
を示すことができます。
この場合
これを積分すると
が定まります。
この節ではリーマン球面
前節と同じように,
曲線は時刻
座標近傍の取り方に応じて,
どういう仕組みで
ありとあらゆる座標関数についてこの操作は実行可能で,結果として,勝手に与えられた座標近傍に基づく速度ベクトルの成分表示が手に入ります。
そこで,座標関数に相当する正則関数
でたらめな入出力関係を採用したのでは“接ベクトル”以外のものも含まれてしまう可能性がありますが,線形性とライプニッツ則という条件を課してやると,このような入出力関係全体の集合が“接ベクトル”たちの集まりになっていることが確かめられます。
(このような入出力関係のことを
座標近傍を指定することで,例えば
座標表示
と求められます。
つまり,この微分作用素は
その意味で,これを
もうひとつの座標近傍でも同じことを考えると,今度は
これと
実際,
なので,微分作用素としての関係式
が成り立ちます。
前々節の最後に積分
ここに現れる“便利な記号”
点
このとき,
となるので,
を満たすような“何か”ということになります。
点
その際,基底の変換が
逆に言えば,どんなベクトル空間であっても,座標近傍に基底が付随していて,必要な変換が行われさえすれば,それが“微分形式”の数学的な定義になり得るということです。
前節で議論した接ベクトル空間はまさにこのような状況になっていますが,基底の変換がちょうど逆数によってなされています。
ベクトル空間の一般論の中に基底変換が逆数によって行われるような構成法があれば,それを接ベクトル空間に適用することで微分形式の定義とすることができます。
その答えが双対空間というわけです。
(双対基底の変換行列は元の基底の変換行列の転置逆行列になるのでした。)